小学奥数三角形的等积变形(附答案)

1、小学奥数三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底*高+2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）.同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）.这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的最则三角形面积与原来的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无

2、数多个不同的形状.本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等.底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等.若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.例如在右图中,若AABD与AEC的底边相等（KD=DE=EC=1bC）3,它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等.同时也可以知道ABC的面积是ABD或4AEC面积的3倍.例如在右图中，ABC

3、与4DBC的底相同（它彳门的底都是BQ,它所对的两个顶点AD在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等.B/例如右图中，ABC与DBC勺底相同（它彳门的底都是BCC,ABC的高是DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD有AH=2DE,贝1!4ABC的面积是DBC面积的2倍.上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.例1用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.方法L如右图，将EC边四等分（BD二DE二EF=FC=1EC）.连结4AD.AE.AK则ABD.ADE、AAERAAFC等积.方法2:如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD,得到两

4、个等积三角形，即ABD与ADC等积.然后取AGAB中点E、F,并连结DEDF.以而得到四个等积三角形，即4ADFBDRDCEMDE等积.%方法3：如右图，先将EC四等分，即5D二9EC连结&D,再将AD三1等分，即AL=EF=ED连结CE、CF,从而得到四个等积的三角形,即ABD.ACDECEEACE等积.例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1：3：4.方法1:如下左图，将BC边八等分，取1：3：4的分点DE,连结ADAE,从而彳#到4ABDADE4AEC的面积比为1：3：4.方法3如上右图，先取BC中点D,再取AB的;分点E,连结AIXDE,从而得

5、到三个三角形：ADE4BDEACD其面积比为1：3：4.方法美如右图，先取AB中点D,隹结6,再取CD上/分点E,坦吉AE,从而得到三个三角形jACE.ZiADE、ABCD,其回积比为1:3；4.当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.例3如右图，在梯形ABCD43,AC与BD是对角线，其交点O,求证：AO*ACO而积相等.证明：.ABC<DBC?底等高，S；AABC=SDBC又SAAOB=SABC-$BOCSDOC=SDBC-SABOC SAAOB=SCOD例4如右图，把四边形ABC/成一个等积的三角形.分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四

6、边形面积相等.我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A处，A'BD与4ABD面积相等，从而A'DC面积与原四边形ABCD1积也相等.这小就把四边形ABC*积地改成了三角形ADC问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则.过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A'点.解：连结BD;过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A.连结AD,则ACD与四边形ABC可积.ABC的面例5如右图，已知在ABC中，BE=3AECD=2AD若ADE的面积为1平方厘米.求三角形积.解法1:连结BD在ABD中 BE=3AE, SAABD=4J3XADE=4（

7、平方厘米）.在ABC中，CD=2ADSABC=3SXABD=3X4=12（平方厘米）.解法2:连结CE如右图所示，在ACE中, CD=2AD SAACE=3SADE=3（平方厘米）.在ABC中，BE=3AE SAABC=4SXACE=4X3=12（平方厘米）.例6如下页图，在ABC中，BD=2ADAG=2CG求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几?BE=EF=FC=$解：连结BG在ABG中,7BD=2AD,在AABC中,TAG=2CGS21同理,ARDI：=岫（J，函SAADG+SBDE+SCFG=（W3s=ls,阴影部分面积=（1如.亭.例7如右图，ABCM平行四边形，EF平行AC,如果

8、ADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面积.解：连结AF、CESAADE=J3ACE;SACDF=SACF又AC与EF平行，SAACE=SACF;SADE=SCDF=4（平方厘米）.例8如右图，四边形ABC面积为1,且AB=AEBC=BFDC=CGAD=DH求四边形EFGH勺面积.E解：连结BD,将四边形ABCM成两个部分S1与S2.连结FD,有$FBD=SXDBC=S1所以SACGF=SDFC=2S1同理SAAEH=2S2因此SAAEH+SCGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2X1=2.同理，连结AC之后，可求出SHGD+SEBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）.例9如右图，在平行四边形ABCD43,直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若SAADE=1求BEF的面积.解：连