2019-2020学年必修43.1两角和与差的余弦学案

1、3 1 两角和与差的三角函数3 1.1 两角和与差的余弦1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程 2.理解两角和与差的余弦公式的意义与公式结构特征3掌握运用两角和与差的余弦公式进行三角式的化简、求值与证明1.两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C( ay. cos(a =cos %cosB+sinainB.两角和的余弦公式C(卄：cos(a+ B =cos 仇 cossinain.、r-町卩代斛注意2；士a,3n a的诱导公式冗(1)cos 2 -. n-a =Sina,Sin a =COSa.(2)cos 2+a =sinasin 2+ a =cosa.3n.3n(3)cos 2a= S

2、ina, Sin a=3n.3n(4)COS 牙十a =Sina,Sin 十a =COSa.转化转化名称变化：正弦-余弦，余弦-正弦.符号变化：公式右边的函数值前面加上一个把COSa.a看成锐角时原函数值的符号.1判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)cos(60 30 )= COS 60 COS30 .()(2)对于任意实数a,B,COS(a 3)= COSaCOSB都不成立.()(3)对任意a,BR , cos(a+ B=COSaCOSBsin oSinB都成立.()(4)COS30 cos 120+ sin 30 sin120= 0.()解析： 错误.cos(60-30 ) = c

3、os 30=6os 60-cos 30(2)错误.当a= 45B=45 时 cos(a B)= cos( 4545)=cos( 90= 0 , COSB=cos( 45) cos 45=0 ,此匕时 cos(a B= cosaCOSB(3)正确.结论为两角和的余弦公式.正确.cos 30cos 120+in 30 sin 120 =cos(120 -30 )= cos 90=0.答案：(1)X(2)X(3)VVCOSa2. cos 43 cos 13+ sin 43 sin 13 的值为()11A. 2B. 2c 也C. 2D.込2答案：C计算下列各式的值:-1兀n3 .已知 COSa= -,

4、a0,，贝yCOSa+ - =_5231n解析：因为 COSa=-,a0,所以522 .65nn所以 cosa+3 = cos(xcos 3 sin n1126 .：asin3=5 2216.210-答案:16,21011-1两角和与差的余弦公式的应用计算下列各式的值:13n(1)cos 12；(2) sin 460sin(160)+cos 560 cos(280);(3) cos(a20)cos(40 a sin(a+20)sin(40 0).13nnn【解】COS 12 = cosn+12 = cos 123n2nn=cos 12 一 12 = cos 4 一n n n ncos4cos6

5、+sin4sin6=返x3+U2x1=也施22+224原式=sin 100 sin 160 4cos 200cos 280=sin 100 sin 20-cos 20cos 80=(cos 80cos 20+in 80 sin 20 )o1=cos 60=.(3)cos(a+20)cos(40)sin(a+20) sin(400=cos(a+20)+(400=cos 60=|.两角和与差的余弦公式常见题型及解法(1) 两特殊角之和或差的余弦值，利用两角和或差的余弦公式直接展开求解.(2) 含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解.(3) 求非特殊角的三角

6、函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和或差的余弦公式求解.1.化简下列各式的值.(1)cos 40 cos 20 cos 70 cos 50;计算下列各式的值:解：(1)cos 40 cos 20 -cos 70 cos 50 =cos 40 cos 20 -sin 20 sin 40 =cos(40420)2 cos 75+ ?si n 75o1=cos 60=2(2)COS75gsin 75=cos 30cos 754sin 30 sin 75=cos(30帀C=cos(45)=2.给值求值问题设 cosa 2 = 9,sin 扌-B ；,n_ n3a3B其中a2，n

7、, B0,?，求 COS .nn【解】 因为a2,n,氏 0,B n所以a扌 4,n,acos 2_ B =1sin2a B3a3B所以 cos 2 B a=cosa2+2 BB a=cosa2 cos 2 一B_Basina2 sin 2 B=1/5 一2 =逅=9393=3.解答给值求值题目应注意的两点(1)拆拼角技巧三角函数式，以免造成解题时不必要的麻烦 ，认真考虑角的整体运用，恰当运用拆角、拼角所以 sina扌丄=口819先分析已知角与所求角之间的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目处理相关角的等技巧，女口a=(a+內a=(AM；n nn _2a=(a+ 3)+(a ；23=(a+

8、3 (a 3)；=4+a +4 a等.(2)角的范围问题许多题都给出了角的取值范围，解题时一定要重视角的取值范围对三角函数值的制约从而恰当、准确地求出三角函数值.n42.(1)已知a, 30；，且 Sina=,25COS(a+ 3) = 65，求C0S3的值.2冗33n(2)已知 sina=3,a?,n, COS3= 4,3 n,，求 COS(a 3)的值.解：因为a, 30, f ,所以 0V a+ 3 n,由 COS(a+ 3)= T6，得 sin(a+ 3 =63,26565又 sina=4所以 COSa=3,55所以 COS3=COS(a+ 3a=COS(a+ 3)COSa+sin(a

9、+ 3)sina=迤x3+63x4=204=655+655=325.(2)因为an n,sina=f,又氏n,3n ,cos3=4,所以 sin3= -1cos23=所以 cos(a 3= cosacos3+ sinasin33 .52,712所以 cosa= 1sin2a=53.给值求角问题(1)已知a,B均为锐角，且 cosa=2t5cos a 讣，则a3=774-X2 - 3+3 - 4-113n已知 COSa=7, cos(a=和，且 0aVQ，【解】(1)因为a, B均为锐角，所以 sina= 5，sin3=3诂0,所以 cos(a 3 =cosacos3+sinasin3= 返远

10、0+昆更=犬=510+510 = 2.又 sinaVsin3,n所以 0V aV 3V2,n所以2V a 3V0.,n故a 3=4.1n由 cosa=7,0V aVQ,得 sina=由 0V 3 aV n得 0v a 3 n由3= a(a 3 ,得 cos3=cosa(a =cosacos(a 3 +sinasin(a 31/34.3、，3；3 1=_x + x =_,7147142又因为 cos(a所以 sin(a3的值.111cos2a=_n所以3=3.求解给值求角的三个步骤(1) 求所求角的一种三角函数值.(2) 确定所求角的范围.(3) 在所求角的范围内，根据三角函数值确定角.34已知

11、 Sina+Sin3=5，cosa+COS3=5，Ov aV 3 n，求a 3的值.n解：(1)由a氏 2，n ,125且 COS(a3=13,得 sin(a3 =133.(1)已知COS(a123 =13,cos(a+ 3若，且a氏n，a+氏3n2n，3 冗12又由a+氏,2n,且 COS(a+ =13,5得 sin(a+ 3=13.COS 23=COS(a+ 3 (a=cos(a+ 3)cos(a 3 +Sin(a+ 3sin(a 312、/ 12=一x +1313+55x =一 11313又因为a+ 33c厂n2n2n , a 32，n，n3nr-r-* r、r所以 232，2，所以23

12、=n，n所以3=2*2+ 2COS(a3= 1，所以 COS(a因为 Ov aV3n,所以一nV a 33 = $和(a+ 3),54所以 cosa= ,cos(a+ =?55cos3=cos(a+ 3) a =cos(a+ COSa+Sin(a+ Sina=25答案:2、；525n ncos12+6=cos4=n10C.解析： 选 B .因为 cos 5xcos( 2x) sin( 5x) sin 2x= cos 5xcos 2x+ sin 5xsin 2x= cos(5xn2x) = cos 3x= 0,所以 3x = + knk Z , 即x=n+导，k Z ,所以当 k= 0 时，x=

13、：6363.已知a为锐角，B为第三象限角，且123cosa= ,sinB=，则 cos(a B的值为()135A.-fl336563C.653365解析：选 A .因为a为锐角，且 cos12a= 13，A基础达标1.n n n n ,cos1ncos6sin1Tsin6=(C.解析：选 B .n n ncos石cos6sin存=71学生用书 P120 （单独成册） ）2. 若 cos 5xcos( 2x) sin( 5x)sin 2x= 0,则 x 的值可能是（3解析：选 B .由 sin osin 3= 1 可知，sina= 1,sin3=1 或 sina=-1,sin3=-1,此时所以

14、sina= 1cos2a=池.因为3为第三象限角，且sin3=-5，所以 cos3=-1-sin23=-5,12所以 cos(a- 3 =cosacos3+sinain3=飞X-4+ X5+13363 ,5 =-65.故选A.4.若 sin osin3=1，贝Ucos(a- 3=()C. 1均有 cosa=cos3=0,从而 cos(a- 3=cos ocos3+sinasin3=0+1=1.355.已知锐角a, 3满足 cosa=5 , cos(a+ 3)=-后，贝卩 cOS(2 3的值为()54C. 6554D.-65解析：选 A .因为a, 3为锐角，cosa=5,5cos(a+3)=-

15、 13,412所以 sina=,sin(a+ 3 =5131213所以 cos(2 3)=cos3=cos(a+ 3)- a=cos(a+ 3)cosa+sin(a+ sina4oo6 .已知 cos(a+ 3)cos3+ sin(a+ 3)sin3=-5 且 180v av270 ，贝Vtana等于解析：由已知知 cos(a+3-3=-5，4 即cosa=-5.又 180VaV270,所以sina=-5,所以 tana=sina=3.cosa437右三角形两内角a,3满足 tana -tan 卩 1,则这个三角形是 _解析：因为 tanatan31,所以a,3均为锐角,sin处? 1,所以

16、cosacos3 sin o(sin cosacos330 ,即 COS(a+ 3 V0 ,所以a+ 3为钝角，nr(a+ 3)为锐角.所以这个三角形为锐角三角形.答案：锐角三角形&已知 x R , sin x cos x= m,贝 U m 的取值范围为sinxcos x= 2-sin xcos x3n3nsin7sin x+cos匸cos x=2cos x 4 ,3n因为 x R ,所以 x R ,3n所以一 1Wcos x4W1 ,所以一.2WmW2.答案：,2WmW29.求下列各式的值：(1)sin 44 sin 16 cos 44 cos 16;cos 80 cos 35+ cos 1

17、0 cos 55 .解：(1)原式=(cos 44cos 16-sin 44 sin 16 )=cos(44+6o1 =cos 60 =-空(2)原式=cos 80 cos 35+in 80 sin 35(1)求 cos(a 3)的值；(2)求a+ 3的值.解: (1)因为 sina= - , a为锐角.5解析:=.2=cos(80 -35 = cos 45与.10.已知锐角3满足 sina肓,cos3=31010所以 cosa= “ i1sin?a=因为 cosA 爭，B为锐角.所以 sinB= 1cos2B=所以 cos(aB =cosaosB+sinainB2530.51072510k5

18、1010 -(2)COS(a+B=cosacosBsin sinB2 匹3_ 质xi0=V2510510 = 2 .因为a B均为锐角,所以 0a+ Bnn所以a+ B=4.B能力提升1.已知 sin A+ 4 =7102, A 4，2，贝卩 cos A=_解析：由 An n,可知 A +nf弓，则 cos A +n= ,4 2424410ncos A=cos A+： 4n八n4=cosA+4nncos4+sinA+4sin3答案：352.设 a= 2cos 66, b = cos 565所以 cos 67cos 66 ac.答案：bacxnn 3.已知函数 f(x) = Acos 4 +，x R，且 = 2.求 A 的值；nr4设a,共 0,2，f4a+3n2 8f 43- 3n= 5，求 cos(a+的值.n解：由 f = 2 得即 Aosn=, 2,所以 A=2.xn由知 f(x)= 2cos 4+ 6 .、/ 二_8_cosa=1sina=仃,sin3= 1cos23= *所以 cos(a+ 3= cosacos3 sinasin38x4举 3 =13175175 =85.3017,n nAcos 12+6=.2,解得因为f 4a+3n =32 8f 433n=5,n n2cosa+3+62cos3 n+n36 十 6sin15a=仃，4