2016-2017届广东省韶关市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

1、2016-2017学年广东省韶关市高三（上）期末数学试卷（文科）一、本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数z=12i，是z的共轭复数，则复平面内复数zi对应的点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设集合S=x|x25x+60，T=x|x1，则ST=（）A2，3B（1，23，+）C3，+）D（0，23，+）3已知为第二象限角，sin（+）=，则tan=（）ABCD4已知函数f（x）=，则f（f（3）的值为（）ABCD5设双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线的渐近线的斜率为（）A±

2、;B±C±D±6正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为（）A6+4B6+2C3+4D3+27执行如图所示的程序框图，则输出S=（）ABCD8下列函数中，最小正周期为且在（0，）是减函数的是（）Ay=cos（2x+）By=|sin（x+）|Cy=2cos2x3Dy=tan2x9若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A1B1CD210四棱锥PABCD的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥PABCD的侧面积等于4（1+），则该外接球的表面积是（

3、）A4B12C24D3611已知函数y=f（x=2）是偶函数，且当x2时其导函数f（x）满足（x2）f（x）0，若2a3，则下列不等式式成立的是（）Af（2a）f（3）f（log2a）Bf（3）f（log2a）f（2a）Cf（log2a）f（3）f（2a）Df（log2a）f（2a）f（3）12如图，某地区有四个公司分别位于矩形ABCD的四个顶点，且AB=1km，BC=2km，四个公司商量准备在矩形空地中规划一个三角形区域AMN种植花草，其中M，N分别在直线BC，CD上运动，MAN=30°，设BAM=，当三角AMN的面积最小时，此时=（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分1

4、3已知向量=（m，1），=（1n，2），若，则2m+n=14在钝角三角形ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c且A=30°，a=4，b=4，则边c的长为15我国古代有着辉煌的数学研究成果周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、辑古算经等算经十书，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为16已知两定点A（2，0），B（1，0），若圆心在直线xy1=0上且半径为1的动圆P上存在一点Q满足|QA|=2|QB

5、|，则点P横坐标a的取值范围为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（）求an、bn的通项公式；（）求数列的前n项和Sn18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AD=4，BD=8，平面PAD平面ABCD，AB=2DC=4（）设M是线段PC上的一点，证明：平面BDM平面PAD（）求四棱锥PABCD的体积19（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，

6、每1吨亏损.3万元根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品现以x（单位：吨，100x150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润（）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（）根据直方图估计利润T不少于57万元的概率；（）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小20（12分）已知点P（2，1）与Q关于原点O对称，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是（）求点M的轨迹C的方程；（）过P作直线l交轨迹C于另一点A，求DPAO的面

7、积的取值范围21（12分）已知函数f（x）=lnxa（x1），g（x）=ex（）若函数f（x）在区间（0，9为增函数，求实数a的取值范围；（）当a0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）=2（）将直线l化为直角坐标方程；（）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+m|+|2x1|（mR）（I）当m=1时

8、，求不等式f（x）2的解集；（II）设关于x的不等式f（x）|2x+1|的解集为A，且，2A，求实数m的取值范围2016-2017学年广东省韶关市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数z=12i，是z的共轭复数，则复平面内复数zi对应的点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】由已知求得，可得复平面内复数zi对应的点的坐标得答案【解答】解：z=12i，zi=|z|2i=5i，则复平面内复数zi对应的点为（5，1），所在象限为第四象限角故选：D【点评】本题考查复数

9、代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2设集合S=x|x25x+60，T=x|x1，则ST=（）A2，3B（1，23，+）C3，+）D（0，23，+）【分析】运用二次不等式的解法，可得S，再由交集的定义，即可得到所求【解答】解：由集合S=x|x25x+60=x|x3或x2；T=x|x1，所以ST=x|x3或1x2，故选：B【点评】本题考查集合的交集运算，注意运用二次不等式的解法，以及交集的定义，考查运算能力，属于基础题3已知为第二象限角，sin（+）=，则tan=（）ABCD【分析】由已知利用诱导公式求得sin，再由同角三角函数的基本关系式得答案【解答】解：sin（+）

10、=，且为第二象限角，sin=，cos=，tan=故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题4已知函数f（x）=，则f（f（3）的值为（）ABCD【分析】由题意先求出f（3）=3×（3）2（3）=30，从而f（f（3）=f（30），由此能求出结果【解答】解：函数f（x）=，f（3）=3×（3）2（3）=30，f（f（3）=f（30）=故选：B【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用5设双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线的渐近线的斜率为（）A±

11、B±C±D±【分析】求出椭圆的半焦距，得到双曲线的实半轴的长，然后求解b，得到双曲线方程，求出双曲线的渐近线方程，即可得到斜率【解答】解：椭圆=1中半焦距为：=4，从而双曲线的半实轴长为：4，半焦距为：5，所以b2=2516=9，所以双曲线方程为：，从而其渐近线方程为：y=，所以双曲线的渐近线的斜率为：，故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质与双曲线的简单性质的应用，考查计算能力6正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为（）A6+4B6+2C3+4D3+2【分析】推导出EF平面BCC

12、1，过EF且过B的平面与面BCC1的交线l平行于EF，l即为BC1由此能求出过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长【解答】解：正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AD、DD1的中点，EFAD1BC1，EF平面BCC1，BC1平面BCC1，EF平面BCC1，由线面平行性质定理，过EF且过B的平面与面BCC1的交线l平行于EF，l即为BC1由正方体的边长为4，可得截面是以BE=C1F=2为腰，EF=2为上底，BC1=2EF=4 为下底的等腰梯形，故周长为6+4，故选A【点评】本题考查截面周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，确定截面形状是关键7执行如图所

13、示的程序框图，则输出S=（）ABCD【分析】由题意可知，该程序的作用是求解S=1+的值，然后利用裂项求和即可求解【解答】解：框图中的S，实际是计算S=1+的值，而S=1+1+=，故选B【点评】本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能8下列函数中，最小正周期为且在（0，）是减函数的是（）Ay=cos（2x+）By=|sin（x+）|Cy=2cos2x3Dy=tan2x【分析】先排除A，B，D，再利用y=2cos2x3=cos2x2，可得结论【解答】解：最小正周期为，可排除D，在（0，）是减函数排除A、B，y=2cos2x3=cos2x2，最小正周期为且在

14、（0，）是减函数，故选C【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，比较基础9（2012福建）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A1B1CD2【分析】根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m1，由此可得结论【解答】解：由题意，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示可得m1实数m的最大值为1故选B【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题10（2017韶关模拟）四棱锥PABCD的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥PABCD的

15、侧面积等于4（1+），则该外接球的表面积是（）A4B12C24D36【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥PABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球由此结合题意，可得正方体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积【解答】解：设正方体棱长为a，则由四棱锥PABCD的侧面积等于4（1+），可得，a=2，设O是PC中点，则OA=OB=OC=OP=，所以，四棱锥PABCD外接球球心与正方体外接球球心重合所以S=12，故选B【点评】本题主要考查了将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于

16、中档题11已知函数y=f（x=2）是偶函数，且当x2时其导函数f（x）满足（x2）f（x）0，若2a3，则下列不等式式成立的是（）Af（2a）f（3）f（log2a）Bf（3）f（log2a）f（2a）Cf（log2a）f（3）f（2a）Df（log2a）f（2a）f（3）【分析】由函数y=f（x+2）是偶函数可知，函数y=f（x）关于直线x=2对称，又（x2）f（x）0，故函数y=f（x）在（，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，确定变量的大小关系，即可得出结论【解答】解：由函数y=f（x+2）是偶函数可知，函数y=f（x）关于直线x=2对称，又（x2）f（x）0，故函数y=f（x）在（

17、，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，又2a3，所以1log2a2，42a8，所以f（log2a）f（3）f（2a），故选C【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性，考查大小比较，属于中档题12如图，某地区有四个公司分别位于矩形ABCD的四个顶点，且AB=1km，BC=2km，四个公司商量准备在矩形空地中规划一个三角形区域AMN种植花草，其中M，N分别在直线BC，CD上运动，MAN=30°，设BAM=，当三角AMN的面积最小时，此时=（）ABCD【分析】由已知可求AM=，AN=，可求三角形面积，利用三角函数的恒等变换化简得到SAMN关于的三角函数，利用正弦函数的性质结合的范围即可计算

18、得解【解答】解：由于：BAM=，由题意可知，AM=，AN=，则SAMN=AMANsin=×=，当时，三角形AMN面积最小故选：B【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角形的面积公式，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分13已知向量=（m，1），=（1n，2），若，则2m+n=1【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得若，则有2×m=1×（1n），变形可得2m+n=1；即可得答案【解答】解：根据题意，向量=（m，1），=（1n，2），若，则有2×m=1×（1n），即2m=1n，变形可得2m+n

19、=1；故答案为：1【点评】本题考查向量平行的坐标运算，关键掌握向量平行的坐标表示公式14在钝角三角形ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c且A=30°，a=4，b=4，则边c的长为4【分析】由正弦定理可求sinB，利用已知可求B的值，进而可求C的值，可求c的值【解答】解：由于是钝角三角形，且A=30°，a=4，b=4，由正弦定理得，sinB=，可得：B=120°，或60°（此时不是钝角三角形，舍去），C=180°AB=30°，c=a=4故答案为：4【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题

20、15我国古代有着辉煌的数学研究成果周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、辑古算经等算经十书，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为【分析】先求出从10部名著中选择2部名著的方法数，再分别求出2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数和只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数，由此利用互斥事件概率加法公式能求出事件“所选两部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著”的概率【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为9+8+7+

21、6+5+4+3+2+1=45种，2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为6+5+4+3+2+1=21种，只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为7×3=21种，事件“所选两部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著”的概率：p=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用16已知两定点A（2，0），B（1，0），若圆心在直线xy1=0上且半径为1的动圆P上存在一点Q满足|QA|=2|QB|，则点P横坐标a的取值范围为或2a【分析】求出点Q的轨迹为圆，Q在圆P上，也在圆（x2）2+y2=4上，所以两圆有公共点，即可得出结论【解答】解：

22、设Q点的坐标为（x，y），则（x+2）2+y2=4（x1）2+y2，即（x2）2+y2=4，所以点Q的轨迹为圆，而P在直线xy1=0上，所以P（a，a1），所以圆P的方程为（xa）2+（ya+1）2=1，而Q在圆P上，也在圆（x2）2+y2=4上，所以两圆有公共点，所以212+1，从而解得或2a，故a的范围为：或2a故答案为或2a【点评】本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2007全国卷）设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（）求a

23、n、bn的通项公式；（）求数列的前n项和Sn【分析】（）设an的公差为d，bn的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得an、bn的通项公式（）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和Sn【解答】解：（）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且解得d=2，q=2所以an=1+（n1）d=2n1，bn=qn1=2n1（），Sn=，得Sn=1+2（+），则=【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AD=4，BD=8，平面PAD平面ABCD，AB=2DC=4（）设M是线段PC

24、上的一点，证明：平面BDM平面PAD（）求四棱锥PABCD的体积【分析】（）在ABD中，由AD2+BD2=AB2，可得ADB=90°又平面PAD平面ABCD，可得BD平面PAD，夹角证明（）过P作POAD交AD于O，利用线面垂直的性质定理可得：PO平面ABCD即线段PO为四棱锥PABCD的高，利用梯形的面积计算公式可得梯形ABCD的面积为S即可得出VPABCD【解答】（）证明：在ABD中，AD=4，BD=8，AB=4，AD2+BD2=AB2，ADB=90°，即ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BD平面ABCD，BD平面PAD，又BD平面MBD，

25、平面MBD平面PAD（）解：过P作POAD交AD于O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO平面PAD，PO平面ABCD线段PO为四棱锥PABCD的高，在四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，四边形ABCD是梯形，在RtADB中，斜边AB边上的高为=，即梯形ABCD的高为，（10分）梯形ABCD的面积为S=24VPABCD=16【点评】本题考查了空间位置关系、线面面面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售

26、出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损.3万元根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品现以x（单位：吨，100x150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润（）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（）根据直方图估计利润T不少于57万元的概率；（）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小【分析】（）计算x100，130）和x130，150时T的值，用分段函数表示T的解析式；（）计算利润T不少于57万元时x的取值

27、范围，求出对应的频率值即可；（）利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，根据中位数两边频率相等求出中位数的大小【解答】解：（）当x100，130）时，T=0.8x39；（1分）当x130，150时，T=0.5×130=65，（2分）所以，T= （3分）（）根据频率分布直方图及（）知，当x100，130）时，由T=0.8x3957，得120x130，（4分）当x130，150时，由T=6557，所以，利润T不少于57万元当且仅当120x150，于是由频率分布直方图可知市场需求量x120，150的频率为（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，所以下一个

28、销售季度内的利润T不少于57万元的概率的估计值为0.7； （7分）（）估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为=105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.25+145×0.15=126.5（吨）；（9分）由频率分布直方图易知，由于x100，120）时，对应的频率为（0.01+0.02）×10=0.30.5，而x100，130）时，对应的频率为（0.01+0.02+0.03）×10=0.60.5，（10分）因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间120，130），于是估计中位数应为120+（0.50.

29、10.2）÷0.03126.7（吨）（12分）【点评】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目20（12分）已知点P（2，1）与Q关于原点O对称，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是（）求点M的轨迹C的方程；（）过P作直线l交轨迹C于另一点A，求DPAO的面积的取值范围【分析】（）设出点M的坐标，表示出直线MP、MQ的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程；（）分类讨论，设出直线方程，结合题设条件求出三角形的面积，即可得出结论【解答】解：（）设点M（x，y），（1分）因为点P（2，1）与Q关于原点

30、O对称，所以Q（2，1），因此，直线PM，QM的斜率之积是=，化简，得=1（x±2），所以点M的轨迹C的方程为=1（x±2）（4分）（）当直线PA的斜率不存在时，则直线PA的方程为x=2，则点A的坐标为A（2，1），SAOP=2当直线PA的斜率存在时，设斜率为k，则直线PA的方程为y1=k（x2），设设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线与椭圆，消去y得（4k2+1）x2（16k28k）x+16k216k4=0，（6分）由已知=16（2k+1）20，所以k，由题意，x1=2，则y1=+1，|PA|=（7分）而原点O到直线l的距离为d=，（8分）所以SAOP=2|1|（

31、9分）因为k，所以0|1|1，从而0SAOP2 （11分）综上可知，0SAOP2（12分）【点评】本题考查轨迹方程的求解，注意表示出直线MP、MQ的斜率，考查三角形面积的求法，属于中档题21（12分）已知函数f（x）=lnxa（x1），g（x）=ex（）若函数f（x）在区间（0，9为增函数，求实数a的取值范围；（）当a0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a【分析】（）求出函数的导数，问题转化为即0在区间（0，9恒成立，即a，求出a的范围即可；（）设切线l2的方程为y=k2x，从而由导数及斜率公式可求得切点为（1，e），k2=e；再设

32、l1的方程为y=x；设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），从而可得y1=1ax1，a=；结合y1=lnx1a（x11）可得lnx11+=0，再令m（x）=lnx1+，从而求导确定函数的单调性，从而确定a，问题得证【解答】解：（）由f（x）=lnxa（x1）得，f（x）=a=，函数f（x）在区间（0，9为增函数，f（x）0在区间（0，9恒成立，即0在区间（0，9恒成立，a，而=，a（，；（）证明：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则y2=ex2，k2=g（x2）=ex2=，所以x2=1，y2=e，则k2=e由题意知，切线l1的斜率为k1=，l1的方程为y=x；设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则k1=f（x1）=a=，所以y1=1ax1，a=又因为y1=lnx1a（x11），消去y1和a后，整理得lnx11+=0令m（x）=lnx1+=0，则m（x）=，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增若x1（0，1），因为m（）=2+e0，m（1）=0，所以x1（，1），而a=在x1（，1）上单调递减，所以 a若x1（1，+），因为m（x）在（1，+）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以a=0（舍去） 综上可知，a【点评】