2020年九年级数学中考几何探究型问题：线段最值问题——“费马点”问题(包含答案)

1、 几何探究型问题（针对第 25 题） 线段最值问题 【问题背景】“费马点”一一就是到三角形三个顶点的距离之和最小的点.“费马 点”问题在中考考查时主要隐藏在求 PAPA PBPB+ PCPC 的最小值问题，通常将某三角 形绕点旋转一定的角度，从而将三条线段转化在同一条直线上， 利用两点之间线 段最短解决问题. 【模型分析】对于一个各角不超过 120120的三角形，“费马点”是对各边的张角 都是120120。的点，对于有一个角超过 120120的三角形，费马点就是这个内角的顶 点费马点 P P使它到 ABCABC 三个顶点的距离之和 PAPA+ P PB+ PCB+ PC 最小，这就是所谓 的“

2、费马”问题. 如图，将 APC 绕点 A 逆时针旋转 60到厶 AP C，则可以构造出等边三角形 APP，从 而得到 AP= PP，CP= C P，所以将 PA+ PB+ PC 的值转化为 PP - + PB+ P C的值，则线段 BC的长即为所求的最小值. I f 例题 1.如图，已知点 P 为等边三角形 ABC 外接圆的劣弧 BC 上任意一点，求 证：PB+ PC= PA 证明：如答图，在 PA 上截取 PM = PC，连接 CM.2. ABC 是等边三角形, / ABC=Z ACB = 60 BC = AC. / ABC=Z APC，/ MPC = 60 MPC 是等边三角形， / MC

3、P = 60 MC = PC，/ ACM = Z BCP. BC = AC, 在厶 BPC 和厶 AMC 中， / BCP = Z ACM , PC = MC , BPCA AMC (SAS), BP= AM , PB + PC= AM + PM = PA. 2 .已知三个村庄 A, B, C 构成了如图所示的 ABC 其中/ A,/ B,Z C 均小于 120 ),现 选取一点 P作为打水井，使水井 P 到三个村庄 A, B, C 所铺设的 输水管总长度最小.求输水管总长度的最小值. 解：如答图，以 BC 为边在 ABC 的外部作等边三角形 BCD , 连接 AD. 易得/ ABD = 90

4、 AD = .AB2+ BD2= 5(km). 答：输水管总长度的最小值为 5 km. 练习 (2019 陕师大附中六模)问题提出 (1)如图 1 ,在厶 ABC 中，BC= 2,将厶 ABC 绕点 B 顺时针旋转 60得到 A 4 km AD 的长就是厶 ABC 的费马距 H BC,贝 U CC = _ . 【解答】 由旋转的性质可知/ CBC = 60, BC = BC,则/ BCC 是等边三角形，故2. 问题探究 如图 2，在 ABC 中，AB= BC= 3,Z ABC= 30，点 P为厶ABC 内一点， 连接PA PB, PC,求 PA+ PB+ PC 的最小值，并说明理由. 解题思路

5、 将厶 ABP 绕点 B 逆时针旋转 60得到 EBF，连接 PF, EC.易证 PA + PB + PC= EF + PF+ PC;由 PC + PF+ EF EC,推出当点 P, F 在直线 EC 上时，PA+ PB + PC 的值最小，即为 EC 的长，求出 EC 的长即可解决问题. 【解答】 如答图 1，将 ABP 绕点 B 逆时针旋转 60得到 EBF，连接 PF , EC. 由旋转的性质可知 PBF 是等边三角形， PB= PF. / PA = EF , PA + PB + PC= EF + PF + PC . / PC+ PF + EF EC, 当点 P, F 在直线 EC 上时

6、，FA+ PB + PC 的值最小， 易得 BC = BE = BA = 3,Z CBE = 90, EC= 2BC= 3 2,A FA + PB+ PC 的最小值为 3 ；2. 问题解决 (3)如图 3，在四边形 ABCD 中，AD/ BC, AB= 6, AD= 4,Z ABC=Z BCD= 60 在四边形 ABCD 内部有一点 P,满足/ APD= 120 ，连接 BP, CP,点 Q BPC 内的任意一点，是否 存在一点 P 和一点 Q,使得 PQ+ BQ + CQ 有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在, 请说明理由. 解题思路 八 将厶 PBQ 绕点 B 逆时针旋转 60得到

7、 EBG 贝 U PQ= EG, BQG 是 等边三角形，易知 PQ+ BQ+ CQ= EG+ GQ+ QC EC,推出当 EC 取得最小 值时，PQ+ BQ+ CQ 的值最小.延长 BA 交 CD 的延长线于点 $作厶 ADS 的外接圆O 0,将 线段 BO, BP绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BO, BE,连接 E0, OB, 0P 易证 BE0 BPO(SAS)推出 E0= 0P= 甘，故点 E 在以点 0为圆心，甘为半径的圆上，则当 3 3 点 E 在线段 C0上时，EC 的值最小，最小值为 C0 E0的长. 【解答】 如答图 2，将 PBQ 绕点 B 逆时针旋转 60得到 EB

8、G 连接 GQ, EC,贝 U PQ= EG,A BQG 是等边三角形， BQ= QG,. PQ+ BQ+ CQ= EG+ GQ+ QC EC, 当 EC 取得最小值时，PQ+ BQ+ CQ 的值最小. 如答图 3,延长 BA 交 CD 的延长线于点 S,作厶 ADS 的外接圆O 0,连接 0B 将线段 B0, BP 绕点 B逆时针旋转 60得到线段 B0 , BE,连接 E0 , 0P.易证 BE0 也 BP0 (SAS), E0 = P0. / APD + Z ASD = 180, A, P, D, S 四点共圆， 点 E 在以点 0 为圆心，为半径的圆上， 3 当点 E 在线段 C0 上

9、时，EC 的值最小，最小值为 C0 E0 的长， 连接 00 ，延长 00 到点 R,使得 0 R= 00 ，连接 BR,则/ 0BR= 90作 RH 丄 CB 交 CB 的延长线于点 H, 0 T 丄 CH 于点 T, 0M 丄 BC 于点 M. BR= ,30B= 14. 易知在 Rt 0BM 中, BM = 0M 1 仁 3 3 BM2 = RH 易知 BHR0MB , / HR/ O T / OM , 00 = R0,. TM = TH , CO= CT2+ O T2= 26, CE= CO - EO PQ+ BQ + CQ 的最小值为 类型三“阿氏圆”问题 【问题背景】“PA+ k

10、PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点，更是一个难点当 k 的值为 1 时，即可转化为“ PA+ PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”问题 模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理. 当 k 取任意不为 1 的正数时，此类问题的处 理通常以动点 P 的运动轨迹不同来分类，一般分为两类研究，即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动.其中点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题. 【模型分析】如图 1,0 O 的半径为 r,点 A,B 都在O O 夕卜，P 为O O 上一动点，已知 r = k -OB, 连接 PA PB,则当 PA+ k PB 的值最小时，点 P 的位置如何

11、确定？ O T= RH + OM _ 2 = 13. 3 3 ， BT= O B2- O T2 = 3, 如图 2,在线段 OB 上截取 OC,使 OC= k -r，则可证明 BPO 与厶 PCO 相似，即 k PB= PC.故 求 PA+ kPB 的最小值可以转化为 PA+ PC 的最小值，其中 A, C 为定点，P 为动点，当点 P, A, C 共线时，PA+ PC 的值最小，如图 3. “阿氏圆”模型解题策略： 第一步：连接动点与圆心 0（般将含有 k 的线段两端点分别与圆心 0 相连），即连接 0B， 0P; 第二步：计算线段 0P 与 0B 及 0P 与 0A 的线段比，找到线段比为

12、 k 的情况，如例子中 等 k； 第三步: 在 0B 上取点 C,使得 0C_ 0P= 0P； 0B； 第四步：连接 AC,与O 0 的交点即为点 P 例题 如图，在 Rt ABC 中，/ ACB= 90 CB = 4, CA = 6, O C 的半径为 1 P 为圆上一动点，连接 AP, BP,求 AP + 2BP 的最小值. 解：如答图，连接 CP,在 CB 上取点 D,使 CD = 1, 连接 AD, PD . CD = CC = 2，/ PCD BCD, PD _ BP 2 PD = ?BP,.AP+ 2BP= AP + PD, 1 要使 AP +尹 P 最小，贝 U AP+ PD 最

13、小， 当点 A, P, D 在同一条直线时，AP + PD 最小, 1 即 AP+尹 P 的最小值为 AD 的长. 在 Rt ACD 中，T CD = 1 , AC = 6, AD = .AC 2+ CD2= 37, 1 - AP+尹 p 的最小值为，37. 练习 问题提出 (1)如图 1，已知线段 AB 和 BC, AB= 2, BC= 5,则线段 AC 的最小值 为_ . 解题思路 当点 A 在线段 BC 上时，线段 AC 有最小值. 【解答】 当点 A 在线段 BC 上时， 线段 AC 有最小值, 线段AC的最小值为5-2 = 3. 问题探究 如图 2,已知在扇形 COD 中，/ COD

14、 = 90 DO = CO = 6, A 是 OC 的中点，延长 OC 到点 F，使 CF = OC, P 是 CD 上的动点，点 B 是 OD 上 的一点，BD = 1. 求证： OAP OPF. 解题思路 由题意可得 Op = Op = 2由相似三角形的判定可得 OAP OPF. 【解答】 OA 1 / A 是 OC 的中点，DO = CO = 6= OP,. Op=夕 / CF = OC , OF = 2OC = 20P,型 1 OF 2 罟=Op，且/ AOP = z POF , OAPs OPF. 求 BP+ 2AP 的最小值. 解题思路 由相似三角形的性质可得 PF= 2AP,可得

15、 BP+ 2AP= BP+ PF,即当 F, P, B 三点共线时，BP + 2AP 有最小值，最小值为 BF 的长，由勾股定理即可求解. 【解答】 AP OP _ 1 PF = OF = 2 PF = 2AP. / BP+ 2AP= BP + PF, 当 F , P, B 三点共线时，BP + 2AP 有最小值，最小值为 BF 的长. / DO = CO= 6, BD = 1,A BO = 5, OF = 12, BF = .OB2+ OF2 = 13. 问题解决 (3)如图 3，有一个形状为四边形 ABCD 的人工湖，BC= 9 千米，CD- 4 千米，/ BCD- 150, 现计划在湖中

16、选取一处建造一座假山 P,且 BP- 3 千米，为方便游 客观光，从 C, D 分别建小桥 PD, PC.已知建桥 PD 每千米的造价 是 3 万元，建桥 PC 每千米的造价是 1 万元，建桥 PD 和 PC 的总造 价是否存在最小值？若存在，请确定点 P 的位置，并求出总造价 的最小值，若不存在，请说明理由. (桥的宽度忽略不计) 解题思路 以点 B 为圆心，3 为半径作圆交 AB 于点 E,交 BC 于点 F,点 P 为 EF 上一点，连接 BP, PC, PD,在 BC 上截取 BM - 1,连接 MD , PM,过点 D 作 DG丄 CB,可证 BPMs BCP, 可得 PC- 3PM

17、，当点 P 在线段 MD 上时，建桥 PD 和 PC 的总造价有最小值，由勾股定理可 求 MD 的值，即可求出建桥 PD 和 PC 的总造价的最小值. 【解答】 存在.如答图，以点 B 为圆心，3 为半径作圆交 AB 于点 E,交 BC 于点 F ,P 为 EF / OAPs OPF , 上一点，连接 BP, PC, PD，在 BC 上截取 BM = 1,连接 MD , PM，过点 D 作 DG 丄 BC 交 BC 的延长线于点 G. PM =豊=1, PC = 3PM. BP 3 建桥 PD 和 PC 的总造价为 3PD + PC = 3PD + 3PM = 3（PD + PM）, 当点 P

18、 在线段 MD 上时，建桥 PD 和 PC 的总造价有最小值. / BCD = 150 DCG = 30. DG 丄 BC, 1 DG = 2DC = 2 3（千米）,CG = 3DG = 6（千米）， MG = BC+ CG BM = 9+ 6- 1= 14（千米）， MD = DG2 + MG2= 4 13（千米）, 建桥 PD 和 PC 的总造价的最小值为 3X4 13= 12 13 万元. 作业 5. (2019 交大附中三模) 问题提出 (1) 如图 1,点 M , N 是直线 I外两点，在直线 I上找一点 K，使得 MK + NK 最小. 问题探究 如图 2,在等边三角形 ABC

19、内有一点 P,且 PA= 3, PB= 4, PC = 5，求/ APB 的度 数. 问题解决.BM _ 1 BP = 3 BP BC， 且/ PBM =Z CBP, E BE 是等边三角形， BE= EE 如图 3,矩形 ABCD 是某公园的平面图， AB = 30 3 米，BC = 60 米，现需要在对角 线 BD 上修一凉亭 E,使得到公园出口 A, B, C 的距离之和最小.问：是否存在这样的点 E ? 若存在，请画出点 E的位置，并求出 EA + EB + EC 的最小值；若不存在，请说明理由. 解：如答图 1，连接 MN，与直线 I交于点 K，点 K 即为所求. 如答图 2,把厶

20、APB 绕点 A 逆时针旋转 60。得到 AP C,连接 PP . 由旋转的性质，得 P A = FA= 3, P C= PB= 4，/ PAP= 60 / AP C=Z APB , APP 是等边三角形， PP= PA = 3,Z AP P= 60 . PP 2+ P C2= 32+ 42= 25, PC2= 52= 25, . pp 2+ p C2= PC2, PP C 为直角三角形，且/ PP C= 90 /AP C=Z AP P+Z PP C= 60 + 90 = 150 / APB =Z AP C = 150 . 存在如答图 3，把 ABE 绕点 B 逆时针旋转 60。得到 A BE

21、 ，连接 EE 答图 由旋转的性质，得 A B= AB= 30 ,3 米，BE = BE, A E= AE,Z E BE = 60 Z A BA = 60 EA+ EB + EC= A E + EE + EC. 根据两点之间线段最短，可知当 EA+ EB + EC= A C时最短，连接 A C,与 BD 的交 点 E2 即为所求，此时 EA + EB+ EC 最短，最短距离为 A C 的长度. 过点 A 作 A G 丄 CB 交 CB 的延长线于点 G. /A BG= 90 / A BA = 90 60 = 30 1 11 A G = 2A B = AB = 2X 30 3= 15 3（米），

22、 GB= 3A G = ,3X 15 3= 45（米）, GC= GB + BC = 45 + 60= 105（米）. 在 Rt A GC 中，A C = A G2+ GC2= 15 _ 3 2+ 1052= 30 13（米）, 因此 EA + EB+ EC 的最小值为 30 13 米. 6问题提出 （1）如图 1,已知 OAB 中，OB = 3,将厶 OAB 绕点 O逆时针旋转 90得厶 OA B,连 接 BB ，贝 U BB = _3 返_ 问题探究 如图 2，已知 ABC 是边长为 4.3 的等边三角形，以 BC 为边向外作等边三角形 BCD , P ABC 内一点，将线段 CP 绕点

23、C 逆时针旋转 60 点 P 的对应点为点 Q. 求证： DCQ BCP. 求 PA+ PB + PC 的最小值. 问题解决 如图 3,某货运场为一个矩形场地 ABCD，其中 AB= 500 米，AD = 800 米，顶点 A, D 为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台 P,在 BC 边上（含 B, C 两点）开 一个货物入口 M，并修建三条专用车道 FA, PD, PM.若修建每米专用车道的费用为 10 000 元，当 M , P 建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？ （结果保留根号） 解：由旋转的性质，得/ BOB= 90 OB= OB = 3, 根据勾股定理，

24、得 BB= 32. (2) 证明： BDC 是等边三角形, CD = CB ,Z DCB = 60 . 由旋转的性质，得/ PCQ = 60 PC = QC, / DCQ = Z BCP. CD = CB, 在厶 DCQ 和厶 BCP 中，/ DCQ =Z BCP, CQ = CP, DCQ BCP(SAS). 如答图 1，连接 AD, PQ. / PC= CQ, / PCQ = 60 CPQ 是等边三角形， PQ= PC, 由知 DQ = PB, PA + PB + PC= PA + QD+ PQ, 由两点之间线段最短，得 PA+ QD + PQ AD, FA + PB + PC AD ,

25、当点 A, P, Q, D 在同一条直线上时，PA + PB + PC 取得最小值，即为 AD 的长, 过点 D 作 DE 丄 AC,交 AC 的延长线于点 E. ABC 是边长为 4,3 的等边三角形， CB= AC = 4 3，/ BCA = 60 CD = CB = 4 3,/ DCE = 60 .DE = 6, / DAE =/ ADC = 30 .AD = 12 ,即 PA+ PB+ PC 的最小值为 12. 答图 (3) 如答图 2,将厶 ADP 绕点 A 逆时针旋转 60 得厶 AD P . 由(2)知，当点 M , P , P , D在同一条直线上时，PA+ PM + PD 最

26、小，最小值为 D M 的长. / M 在 BC 上，.当 D M 丄 BC 时，D M 取得最小值. 设 D M 交 AD 于点 E,连接 DD , AM , DM. 易知 ADD 是等边三角形，. EM = AB= 500 米， .BM = 400 米，PM = EM PE = (500 - 4。 3)米， 3 D E=2AD = 400 , 3(米), D M = (400 , 3 + 500)米， 最少费用为 10 000 x (400 3 + 500) = 1 000 000(4 .3+ 5)元. 当 M 建在 BC 的中点(BM = 400 米)处，点 P 在过 M 且垂直于 BC

27、的直线上，且在 M 上方(500 403 卫)米处时，修建专用车道的费用最少，最少费用为 1 000 000(4 3 + 5)元. 类型三“阿氏圆”问题 7. (2018 西工大附中三模) 问题提出 (1) 如图 1,在厶 ABC 中，AB = AC, BD 是 AC 边的中线，请用尺规作图作出 AB 边的中 线 CE，并证明 BD = CE; 问题探究 1 (2) 如图 2,已知点 P 是边长为 6 的正方形 ABCD 内部一动点，PA= 3，求 PC + qPD 的 最小值； 问题解决 (3) 如图 3,在矩形 ABCD 中，AB= 18, BC= 25,点 M 是矩形内部一动点， MA=

28、 15 , 3 3 当 MC + 5MD 最小时，画出点 M 的位置，并求出 MC + -MD 的最小值. A J p , j nL ai I a 1SI 5t: 1 S2 c 解：如答图 1，线段 EC 即为所求. 证明：/ AB = AC, AE = EB, AD = CD , A AE= AD, AB= AC, 在厶 BAD 和厶 CAE 中， /A =Z A, AD = AE, 答图 1 BAD CAE (SAS) BD = CE. 3 如答图 2,在 AD 上截取 AE，使得 AE = 2. / PA1 2= 9, AE AD = -X 6 = 9, 2 1 15 PC+ PD的最小

29、值为2. / RAE = Z DAP , RAEs DAP , PE PA 1 1“ DP = DA = 2，=2PD， PC+ 1pD = PC+ PE. / PC+ PE EC, 1 - PC+ -PD 的最小值即为 EC 的长, 9 在 Rt CDE 中，/ CDE = 90 CD = 6, DE =-, 答图 如答图 3,在 AD 上截取 AE，使得 AE= 9. / MA2= 225, AE AD= 9 X 25= 225, PA2= AE AD , PA _ AE AD _ PA. LS2 图 m / MAE = Z DAM MAE s DAM , MC + 3MD = MC + ME. 5 / MC + ME EC, 3 - MC + 5MD 的最小值即为 EC 的长. 如答图 3，以点 A 为圆心，AM 长为半径画弧，交 EC 于点 M ，点 M 即为所求. 在 Rt CDE 中，/ CDE = 90 CD = 18，DE = 16， EC= 162+ 182= 2 145， MC+5MD的最小值为 2 145. & (1)如图 1,已知正方形 ABCD 的边长为 4, O B 的半径为 2，P 是O B 上的一个动点, 1 1 求 PD + 2PC 的最小值和 PD 2PC 的最大值； (2) 如图 2,已知正方形 A