经济数学基础课后答案概率统计第三分册综述

1、1,写出下列事件的样本空间：(1)把一枚硬币抛掷一次；(2)把一枚硬币连续抛掷两次；(3)掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M).解(1) Q=正面，反面正，反=(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)=(正),(反,正)，(反,反，正)，q=x； 0 x m)2,掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件 除“偶数点”，B= 奇数点”，捻“点数小于5，D= 小于5的偶数点”，讨论上述 各事件间的关系.解 Q =1|,2,3,4,5,6A=2,4,6B=1,3,5C =6,2,3,4)D =也,4A与B为对立事件，即B= A； B与D互不

2、相容；AnD, CnD.3.事件A表示某个生产单位第i车间完成生产任务，i=1, 2, 3, B表示至少 有两个车间完成生产任务，C表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事 件B及B C的含义，并且用A(i=1, 2, 3)表示出来.解 b表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任 务.B =A1A2 A2 A3 A1A3B- C1!示三个车间都完成生产任务B = A1A2 A+ A1A2 Ag+ A1A2A3+ A1A2 A3C = A1A2A3 AA2A3 AA2 A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 AA2A3 B -C = A A2A3.如图1 1,事件

3、A、B C ,都相容，即ABO，把事件A+ B,A+ B+ C, AJ B, C- AB用 厂一些互不相容事件的和表示出来.解 a b=a Ab图 11A + B+C=A+和十 ABCAC B =B ABCC -AB =A BC ABC ABC.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解 两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生.在本书第6页例2中A与D是对立事件，C与D是互不相容事 件.6,三个事件A、B C的积是不可能事件，即ABC=，问这三个事件是否一定 互不相容？画图说

4、明.,解不一定.A B C三个事件厂、0.P(B) nP(A.已知 RA)=a, P(B)=b, ab#O (b0.3a),RA B=0.7a,求 P(B+A), P(B-A) , P( B + A).解 由于A B与AB互不相容，且A= (ABl+AB因此有RA6=RA)- P(A-B)=0.3aRA+ B =RA) +P(B) P(AB =0.7a+bRBA) = P(B)- RAB =b-0.3 aP(B+ A) =1-P( AB =1-0.3 a. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品 的概率.解 设事件A表示“取到废品”，则A表示没有取到废品，有利于事

5、件 久的样本= 1-P( A)= 1-点数目为# A=C：6,因止匕RA)= 0.225520,已知事件BnA, P(A)=lnb丰0, RB)=lna,求a的取值范围.解 因 B=A 故 RB ARA),即 lnanlnb, = anb,又因 RA) 0, P(B)W1, 可得b 1, aw e,综上分析a的取值范围是：1ba-P(AB , RABA0,因此有R AB P(A)P；A+B) =0,93 , RB| a) =0.85_P(A+ B)=P(A +P( AB)=P(A) + P(A)P(B| A)0.92 +0. 08X 0.85=0.988P(Ab) =RA+ B- RB) =0

6、.988-0.93 =0.05825.分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件 A表示数学 成绩优秀，B表示外语成绩优秀，若RA) = RB)=0.4 ,RAB = 0.28,求P(A1 B), RB A) , P(A+ E).解RA|均=迪=空8=。.7P(B) 0.4RB1 A)=fE1:0.7P(A)RA+ B =RA) +P(B)- R AB =0.5226.设A B是两个随机事件,0 RA)1, 0RB) =R B) P( A)- P( AB:整理可得RA6=R A) R B).设 A与 B独立，P( A) =0,4 , R A+ B) =0.7 ,求概率 P (B)

7、，解 R A+ B)=RA)+ RAB = P( A) +P( a) P( B=0.7 =0.4+0.6 P( B )=P( B )=0.5.设事件A与B的概率都大于0,如果A与B独立，问它们是否互不相容，为 什么？解 因P ( A ), P ( B )均大于0,又因A与B独立，因此P ( AB)=P ( A ) P ( B ) 0,故A与B不可能互不相容.某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8 ,求3个这种元件使用 1000小时后，最多只坏了一个的概率.解 设事件Ai表示“使用1 000小时后第i个元件没有坏”，i =1, 2, 3,显然A, A, A相互独立，事件A表示“三个元

8、件中最多只坏了一 个，则A= AAA+ A1AA+AA2A+A1AA3,上面等式右边是四个两两互不相容事 件的和，且 RA) = RA) = RA) =0.8P A) = b(A)+3卜(儿)2P(A1)= 0.83 + 3XO.82XO.2= 0.896.加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3, 0.2, 0.2,并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关， 求零件的合格率.解 设事件A表示“任取一个零件为合格品”，依题意A表示三道工序都合格.RA) =(1 0.3)(1 0.2)(1 0.2)=0.448.某单位电话总机的占线率为0.4,其中某车间分机

9、的占线率为0.3,假定二 者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打 通的概率以及第m次才能打通的概率(m为任何正整数).解 设事件A表示“第i次能打通”，i =1, 2,，m则RA) =(1 0.4)(1 -0.3) =0.42RA) =0.58 X 0.42 =0.2436RA) =0.58-1 X 0.42. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼 镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解 设A表示“第i人拿到自己眼镜”，i =1,2,3,4, P ( A) = ,设事件B 4表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”.显然E则表示“至少有一人拿

10、到自己的眼镜”,且 b = A1 + A2+A + A.R B) =RA + A+A + A)、4= p(A)- P(AA)P(AAjA)-P(AA2A3A4)i 31 玉:j 岂1 9j k RAA) =P(A)RA I A)RAAA)=RA)RA I A)P(A | AA)= lxlxl432=(1i j k0.5, RA) 0,又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于 p(0p n0 _k _n其中q=1 p.应用全概率公式有P(Bk)八 P(An)P(Bk|A)八 P(A)P(Bk |An) n 3n *二二 nx - ,n !k n _k二 一 e p qn土n! k!(n -k)!(p)

11、ke.-= (q)ni k! n+(n-k)!由于(/严(刈=e用，所以有n_kf(n -k)!-e-e q ( p) e-pk=0,1,2,k10习题二.已知随机变量X服从01分布，并且RXW0=0.2 ,求X的概率分布.解 X只取 0 与 1 两个值，RX= 0 = PX 0-PX0.所以它可以是一个离散型概率分布.随机变量X只取1,2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求 X的概率分布.解 设RX= 2=a, RX= 1=a-d, RX=3=a+d.由概率函数的和为1,可知 a=l,但是a d与a+d均需失于零，3因此1 d | 1, X的概率分布为3P1-

12、d11+d333其中d应满足条件：0312.已知px =m =ce4, m=1, 2,，且入0,求常数c.m!,m解 1 =%, pX =m4= - -e，m 1m.1 m !-. m- - m由于生=1+fL=e%所以有m 卫 m! m4m!.二 c.m、e- =c(e “- 1)e- =c(1-e-) =1m 4 m!1解得c 二1 -e-.甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人 投篮的命中率分别为0.4及0.5,求：(1)二人投篮总次数Z的概率分布；(2)甲投篮次数X的概率分布；(3)乙投篮次数Y的概率分布.解 设事件A表示在第i次投篮中甲投中，j表示在第j次投

13、篮中乙投中，i =1, 3, 5,，j=2, 4, 6,，且A, B2, A, B4,相互独立.PZ 2k -1 ;二 p A1 B1 A2k 3 B2k_2 A2k J. =(0.6 X0.5) J 0.4 TOC o 1-5 h z =0.4(0.3) k=1,2,PZ =2k)= p(A1B1 A2ka B2k 2 A2kB2k)=0.5 x 0.6 x (0.6 X0.5) J=0.3k_ _ k=1,2,p 收 =n .= pA1 B1 A2nj B2n 2 A2n 1 , pA1B1 A2n 与 B2nN A2n/B2n二(0.6 0.5)n1(0.4 0.6 0.5) n 1一=

14、 0.7 0.3n =1,2,p ；丫 =04= P(A) =0.4P 1丫n,=P.A1B1A2n-B2n.P.A1B1A2n1B2nA2n 1J=(0.6 0.5)n1 0.6 (0.5 0.5 0.4)= 0.42 0.3nA n =1,2,14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经 过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，具概率为 0.6 ,遇到红灯或黄灯则停止 前进，其概率为0.4,求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信 号灯数目X的概率分布(不计其他因素停车).解X可以取0,1, 2, 3, 4 .P X= 0 =0.4P X= 1 = 0.6XO.4

15、 =0.24PX=2=0.6 2X0.4 =0.144PX=3=0.6 3X0.4 =0.0864PX=4=0.6 4=0.129615.f(x)rsin x,-0,x Wa , b,其他.13问f (x)是否为一个概率密度函数，为什么？如果3A 33a =0,b =一;(2)a =0,b =兀;(3)a 二兀,b 二一兀.22解在0, m与,兀2 sin xdx =1,而在卜I /上,sinx W0.因此只有(1)中的a, b可以使f (x)是兀 上，Sin X A0,但是 J0sinxdx=1,个概率密度函数. TOC o 1-5 h z xx2x -2c 16. f(x) =cex 0,

16、0,x0,问f(x)是否为密度函数，为什么？解易见对任忖x (00,+00), f ( x ) A 0,又2x0 二 xe/cdx =1cf(x)是一个密度函数17.2x, f(x) =0,avx va +2.其他.确定(xa的值；若不是，说明理由.)0,因此a40,但是，当a问f ( x )是否为密度函数，若是, 解如果f ( x )是密度函数，则f A0时，j22Mdx =x2 |a丰=4a+4 4由于 匿f(x)dx不是1,因此f ( x )不是密度函数.18.设随机变量Xf( x )2上厂,a x 十芯1,f ( x) = J 兀(1 +x )、0 ,其他.= 0.5 ,求b的值.确定

17、常数a的值，如果P a x b 翻 产 22,也 2兀厂 dx =arctanx =(arctan a)a 100,f (x) x20,x150)P ix 150 ?= 15r 100dx =-150 彳 38P( A)=2720.设随机变量Xf ( xP |X |1 ).解 1 =/Ae 8dx=2A e%x=2Ax )=AeTx1,确定系数A;计算解得A= 12,1P |X | W1 = k ；e,x|dx =e.dx=1 -e- ： 0.63221.设随机变量Y服从0, 5上的均匀分布，求关于4xY+Y+2=0有实数根的概率.解4x2+4xY+Y+2=0.有实根的充分必要条件是 = b2

18、-4ac =167-16( 7+2)=1672- 16Y- 32A0 设事件R A)为所求概率.则P(A) =P 仃6丫2 -16Y -32 _0 = P _2 ) PY -1 )x的二次方程4x2 十22.=0.6设随机变量Xc),f (x) =1 -x2,0,确定常数c,其他.计算 p |X|223.兀P |X|4设随机变量0,F (x)=JAjx ,2212|21 -7dx =arcsinx-欣1 -x2nX的分布函数F (x 0,1一3)为0 x1 ,x -1.确定系数A,计算P0MXM0.25 ,求概率密度f ( x ).解 连续型随机变量 X的分布函数是连续函数，F ( 1 )=

19、F (1 0),有 A= 1.151f (x)=二2.x 0,P10 三 X 0.25 ; F ( 0.25) -F (0) =0.524.求第20题中X的分布函数F ( x )解 F (x) =P ；.X x :(屋如当t 0时,F (x)=dt 二匕edt + j；e-tdt25. 解26.1 1212二一(1-e ) =1 -e2 22函数(1+x2) T可否为连续型随机变量的分布函数,为什么 ？不能是分布函数，因F (s)= 1随机变量Xf ( x ),并且f(x) =丰 0.a兀(1 x2 )，确定a的值；求分布函数F (1=.二)；计算 P|X|2 ，x -2 .28.确定常数A的

20、值，计算由 F ( 2+0 )=FA1 - =0 , A =4p。X 4 .(2 ),可得4P 0 X 4 . = P 1(RX 三4 . = F (4 ) -F (0)=0.75随机变量Xf( x ), f ( x )=，确定A的值；求分布函数161 =.JdX=Aa r cel & 吗A因此A= 2,兀F (x)X兀(e-)dt2 _t x=arctane兀.2 arctan ex7t29.随机变量Xf( x ),0V x a确定a的值并求分布函数F (22相忍 / 声2x , x a a用牛 1=BfIx=f0=f 汽汽汽因此，a = 兀当0c x兀时，2x2t . xF ( x) 0

21、2 dt = 27t7t0,x 02_ xF(x) =,0 x0)e*x 02求X的概率密度并计算P(0X ：；.当x 0时,0, f(x)=a3x2 .丁 ,X的概率密度f ( f ( x )=Fx三0,x 0.x )=0；(x )31.解11P 0V x - = P 0V x 0时，Y的取值为 a2+b , ab+b, TOC o 1-5 h z 1.1x =h( y) ( y _b), h ( y)=xy aa12fY ( y ) =h ( y ) fX h ( y ) =, y e a +b,ab+b, 当 yWa +b,ab+b 时 ，a (b -a)fY ( y )=0.类似地，若

22、a 0还是a0, ax+b均服从均匀分布.-X服从 ,9上的均匀分布Y=c0sx ,求Y的概率密度fY ( y ).解 y=cosx 在0, h ( y )=上单调，在(021 -yfx ( x1)上，h ()=-y ) = x =arccos y0 x 20V y1,其他.,Z 二 1 ln X 1 ,分别求(z ).x=ln y可导， 且因此2fY ( y)=，兀v1 -y20,.随机变量X服从(0 ,1)上的均匀分布，Y=ex随机变量Y与Z的概率密度fY ( y ) 及fZ 解 y = ex在(0 ,1)内单调fX ( x ) =1180 x 0 x 0时，y =原单调，其反函数为x =

23、 y2y = 2yfY( y) = ,二 22ye0,y0, y . 0.当x 0时z = x2也是单调函数，其反函数为x =正fz(z) = 2 Vze.0,-Zz 0 时，f(x)= 一二, 2 222二(1 x )Y=arctan X ,fz工，分别计算随机变量Y与Z的概率密度fY解由于y).=arctan x是单调函数，其反函数 x=tan y ,y=sec2y 在 TOC o 1-5 h z 0,9 i内恒不为零，因此，当0 y 0时,1在x0时也是x的单调函数，其反函数x=1fz ( z )=-12 z21 2/1 ()z22u(1 z )fz(z)= X1+z2) 0,z 0z0

24、-1 z19X与X同分布.38. 一个质点在半径为 R圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动求该质点横坐标X的密度函数fx ( X ). 解如图，设质点在圆周位置为 M弧MA的长记为L,显然L是一个连续型随机变量，L服从0,兀以上的均匀分布.1I ,0 l kR,fL (l ) =成0, 其他.M点向横坐标X也是 数，且随机变量，它是弧长L的函X =函数X 反函数为l =FCos 0=FtoslFCos L RR是l的单调函数 (0 l 兀R ),其lx-R当一RR2fx ( x)Rarccos -R2-XX -R一 : 2 至VR -X一R或XR时,39.计算第2 ,3L x ?1:-22R.

25、R - XR时，fX (5,6,0,此时有X )= 0 .11各题中的随机变量的期望.解 根据第2题中所求出的X概率分布，有211521EX =012二一383838 2亦可从X服从超几何分布，直接计算EX =n N1 = 2 =-N 20 2在第3题中EX =0 M2+1父9+2父工=16亦可从X服从二项分布(2 ,16161),直接用期望公式计算: 411EX =np =2 - 4 2在第5题中(1) EX =13 2 344439EY =0 - 1 2444-9- 4 =1.3220220913 =0.3在第6题中，EX =0父2202201力 X-27 +2M108 +3X-84 =2

26、 2522022022022020在第 11 题中，EX =1 xjL_d 1+2/+3M 口 +d ；333,1二2 2d0V | d | 0 )，因 a +1三个值，且相应概率的比为1 :2 : 3,计算a,则 P X =0 =2a,P X=2a + 3a = 1 ,故 a =1/642.解43.1231EX - 10-1-6663随机变量X服从参数为0.8的01分布，通过计算说明 EX是否等于(EX )2 ?EX= P X= 1 =0.8, ( EX )2 =0.64EX=1X0.8 =0.8 ( EX )2随机变量Xf ( x ) , f ( x ) =0.5e- 1 x 1,计算EX

27、, n为正 整数.当n为奇数时，xnf(x)是奇函数，且积分xnedx收敛，因此 EXn - _0.5xnex|dx =0当n为偶数时，EXn=0.5xnex|dx =2 0 0.5xnedx 二0 xnedx =1(n 1) =n!44.随机变量Xf( x ),-|- x ,0 _x _1,f(x)E-x,1x 2,0 ,fe .计算EX( n为正整数).解EXn =jxnf (x)dx= (xn%x + 2 (2x) xndx=(2n1-1)-(2n2)-1 n 2 n 1n 2_2n 2 -2一(n 1) (n 2)45.随机变量Xfcx0,(x ) 0 Ex E1 , 其维他.21b,

28、c均大于0,问EX可否等于1,为什么？解 dj ( x )dx = 0 cxbdx =-c =1 b 1而b 1 cEX =cx dx =b 2由于方程组上二1b 1c =1,b +2无解，因此EX不能等于1.46.计算第6, 40各题中X的方差DX.解 在第6题中，从第39题计算知EX= 9 ,4 TOC o 1-5 h z 2274 108 9 841215EX =- =220220220220DX= EX ( EX ) 2=0.46在第40题中，已计算出EX= 30013725 2 c 5EX = n = cn =15c n 1 n n 1= 900137DXEX-( EX &1.774

29、7.计算第23, 29各题中随机变量的期望和方差.解在第23题中，由于f ( x )=氏(1),因此EX =1x10 dx =二24 x 3EX21x210 2.,”DX = EX5(EX )2 =45在第29题中，由于2x (0Vxe兀),因此兀EX2俨 2x1202-dx =一 式n 3C 322x ,汽,02 dx = HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 兀2DX= EX(一 2 ,EX )2=工1848.计算第34题中随机变量Y的期望和方差.解 EY=岛fY(y)dy=1T兀 1 - y2y2 “1dy =一y222249.DY=1_2T

30、t27已知随机变量X的分布函数0,1x2+x +, 221x2+x221,F ( x )为:x -1 ,-1 x0,0 x 1,x _1 .计算EX与DX .依题意，X的密度函数fx ) 为:f (x)=1 +x,1 -x,0,-1 x0,0 x1,其他.EX= ；x (1 x ) dx i；x (1 - xeX= IDM1621 2x (1 x ) dx 0 x (1 一)dx =0、.1x) dx = 650.已知随机变量X的期望EX=w ,方差DX=随机变量Y = T,求CJ51.EY和 DY .EY =1( EX-p aDY =四=1 a随机变量YB (n,=0;)，分别就n=1,2,

31、 4, 8,列出Y的概率分布表，并画出概率函数图Yi01Y012P31P96144161616Y0123P27279164646464Y01234P811085412125625625625625623Y8012345678P6561 a1749 6a2041 2a1360 8a5670 a1512 a252 a24 aa其中a = 1/65536 . 图略.设每次试验的成功率为0.8,重复试验4次，失败次数记为X,求X的概率 分布.解 X可以取值0,1, 2, 3, 4 .相应概率为P ( X= m )=c：0.84、o.2m (m=0, 1,2, 3,4 )计算结果列于下表X01234P0

32、.40960.40960.15360.02560.0016.设每次投篮的命中率为0.7,求投篮10次恰有3次命中的概率 ；至少命 中3次的概率.解记X为10次投篮中命中的次数，则XB ( 10 , 0.7 ).P(X =3 )=C；0 0.730.37 0.009P IX _3 )=1 -P IX =0 ；-P IX =1)-P tX =2)=10.3 1010X0.7 X0.39-45X0.72X0.38- 0.9984.掷四颗骰子，求“ 6点”出现的平均次数及“ 6点”出现的最可能(即概率 最大)次数及相应概率.解掷四颗骰子，记“ 6点”出现次数为X,则XB (4, -1).6EX = n

33、p =23由于np + p = 5,其X的最可能值为np + p =065、4625P .X =0 ；=()=61296若计算 px=i=迎,显然 P“=2,Px=3,1296px=4 概率更小.已知随机变量XB (n,p),并且EX=3, DX=2,写出X的全部可能取值，并计算PX E8 .解根据二项分布的期望与方差公式，有np =3npq =2解方程，得 q=2, p=1 , n=9 . 33X的全部可能取值为0, 1,2, 3,，9 .P IX 8 )=1 -P IX =9 ?=1(工)90.99993.随机变量XB (n, p), EX=0.8, EX=1.28,问X取什么值的概率最大

34、，其24概率值为何？解由于 DX = EX (EX)2=0.64,EX=0.8,即npq =0.64np =0.8解得 q = 0.8 , p = 0.2 , n = 4 .由于np+p=1,因此X取0与取1的概率最大，其概率值为P(X =0 ) = P1X =1 ) = 0.84 =0.4096.随机变量XB (n,p), Y=eaX,计算随机变量Y的期望EY和方差DY .解 随机变量Y是X的函数，由于X是离散型随机变量，因此 Y也是离散型随 机变量，根据随机变量函数的期望公式，有 nnEY=eaiP X =i=eaiC：piqj i _0i 0n二 Cn(e p) q 一 二(e p q)

35、 i金nEY2 =(eai)2P X =i i -0 n 3-i 2a i n i 2an三，,Cn (e p) q - =(e p q) i &DY =(e2ap q)n (eap q)2n.从一副扑克牌(52张)中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量X, Y分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X, Y的概率分布以及期望和方差.X服从超几何分布，丫服从二项分布B (4, ?P X =m=4_m26452(m=0,1,2,3,4) P 丫 =m =C4m(1尸“旧二。？?，)具体计算结果列于下面两个表中X01234P46/833208/833325/833208/8334

36、6/833Y01234P1/164/166/164/161/16N52N126EX =n =4 =2N1N2N -n262648 _16DX n , , - 4 NNN -1525251171EY =np =4 - =2DY = npq =1.随机变量X服从参数为2的泊松分布，查表写出概率P X=m,m = 0,1,2,3,4并与 上题中的概率分布进行比较.X01234P0.13530.27070.27070.18040.090260.从废品率是0.001的100000件产品中，一次随机抽取500件，求废品率不 超过0.01的概率.解 设500件中废品件数为X,它是一个随机变量且 X服从N=1

37、00000 M=100,25n=500的超几何分布.由于n相对于N较小，因此它可以用二项分布 B 500,0.001 ) 近似.又因在二项分布 B (500, 0.001 )中，n=500比较大，而p=0.001非常小， 因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数 1=np=0.5.XPw_0.001 J = P X 4 =1 _P X W33二1 八 P X =m =0.0014 m -0(2)设一件产品的产盾为 Y元，它可以取值为0, 8, 10.EY =0MP Y =0 +8MP Y =8 +10MP Y =10=8P 1X 0 =1 -P X =0 =1 -e= q =e二PY_2

38、= PY=0 PY=1 PY=2=e(36e，-80e 45)2665.设随机变量X服从2,3止的均匀分布，计算R2X), D (2X), D(2X)2 .EX=2.5, DX,EX2 =DX (EX)2 TOC o 1-5 h z 1212E(2X)=5, D(2X)=4D=1,3D(2X)2 =D(4X2) =16DX2 =161EX4 -(EX 2)2 143 4211EX = 2X dx = 52 ex 42 221157761504DX = EX - ( EX ) =-=5144720221504D(2X)2 =16DX2 4566.随机变量X服从标准正态分布，求概率PX 工3, P

39、2.35 MX M5 ,PX 工1, PX M 7.解PX 3=0.9987P2.35 X 5 =中(5)(2.35) =0.0094PX 1 =(1)=0.8413PX -7 =1 -(7) =0.随机变量X服从标准正态分布，确定下列各概率等式中的a的数值:PXWa=0.9; 叫 X|Ea=0.9;PX Wa=0.97725; (4) PX Wa=0.1;解 (1)P(X Ma = D(a) =0.9 ,查表得 a=1.28p X Wa=2-1=0.9,得 (a) =0.95,查表得a=1.64PX Ma = (a) =0.97725,查表得 a =2PqX Wa)=26(a)-1=0.1

40、,得 (a)= 0.55 ,查表得a = 0.13.随机变量X服从正态分布N(5,22),求概率P晨XV8),PX _0，P;X -521解 P5vXv8：-；1 .5 中 5522=(1.5) (0) =0.4332P X 0/ -2.5 )=1 2.5 )=0.0062P1X -52=P-1=2力(1) -1=0.682669.随机变量X服从正态分布N（E。2）,若P6）.解PXV9= 61纥上=0.975PX6=1 _PX ，一 ：2J=2可 1=0.952中。=0.975 , 2pXvd=0.023 ,确定 C 和 d 的值.查表得:二1.96,.92PHvd”-10=0.023,21

41、0 -d0.977 ,2查表得 110 d 2, d=671.假定随机变量X服从正态分布nct2),确定下列各概 率等式中a的数值：P(k -acrX a +acr=0.9;pRacrXv N+acr=0.95;PR-acrXv N+acr=0.99;解Pm-acrX a +acr=P-2X01200.160.200.0410.200.250.0520.040.050.01.将3个球随机地放入四个盒子，记Xi表示第i个盒子内球的个数，i=1, 2, 求随机变量X1与X2的联合概率分布及关于X2的边缘分布.解（X1,X2 双值为（0, 0）, （0, 1）,（3, 0）PX1 =0,X2 =0）

42、= 4 =46431Pli二0,X= 1=PXi =1, X 2 =0J =C3 22124364Pli二0,X=2 J = P Xi =2,X2 =0J =C；C26464P1=1, X2=1”111C3c2c21243-64P：X1 =1,X2 =2)= P：X1 =28=1)=C3334364P 汉1 = 0, X 2 =3=P 1X 1 = 3, X 2 二0 .二 3 二464列成联合分布表如下，表中最下一列为X2的边缘分布PX2=j=p.j, j =0, 1, 2,3.2XX01230864126466416411264126436402664364003164000P.j2764

43、27649641647.将3个球随机地放入四个盒子，设 X表示第一个盒子内球的个数，Y表示有 球的盒子个数，求随机向量（X, Y）的概率分布.解（X,Y）的取值为（0, 1）,（0,2）,（0,3）,（1,2）,（1,3）,（2,2）.P；X =0,Y =1）名=464类似地可以依次计算出Pij的值（见下表）：X123036418646641096418642096403164008.已知随机向量（X, Y）只取（0, 0）, （-1 ,1）, （-1 , 2）及（2, 0）四对值，相32应概率依次为1 , 1, 1和5 .列出（X, Y）的概率分布表，求Y的边缘分布及 126312X+Y勺概

44、率分布.解X，012-101613011200251200P.j121613（X, Y）的联合概率分布如上表所示，表中最下一行为 Y的边缘分布，X+Y勺分 布见下表：X+Y012P11543129.袋中有10张卡片，其中有m张卡片上写有数字m mrl, 2, 3, 4,从中不重 复地抽取两次，每次一张,记 X表示第i次取到的卡片上数字，i=1, 2.求 （X1,X2 ）的概率分布以及X+K, XK的概率分布.解 的？2 ）可以取（1, 2）, （1, 3）,（4, 4）,其相应概率见下表：一XX12341023490909022268909090903366129090909044812129

45、0909090X+X可以取3, 4,，8各值，XX可以取2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16各值, 其相应概率见以下二表：X1 +X2 356833241011126P454545454545X1X22346891216P235683126454545454545454510.随机向量(X, Y) f(x,y)二上-(1 x2)(1 y2)f (x, y), x, y 0确定系数A的值，求联合分布函数解；：f(x,y)dxdy = 0 丁 x2Al y2)dxdyF(x, y).F (x, y)=2冗XA = 14A27t4-arctanxarctan y, x, y 011.随机

46、向量(X, Y)服从区域D上的均匀分布，求分布密度 D为下面给定的区域：D =(x,y), -1 x 1, 1 y 、 4 9 ,D =(x,y),x2 y2 2y).1-解(1) Sd =2,f(x,y)=/2, ( y) D,0,(x,y)D;H (DSd =6 4 f (x, y)=6 冗0, (x,y产 D;1Sd (x,y)， (x,y)20,(x, y) D.12.求上题中关于X及关于Y的边缘密度.解 fX(x)=d2, 一口三1,0, 其他；1, 1 y 2时，fx (x) =0,类似地y 3心，9 y2, fY(y) =9/、0，(3)当 | x | 1 时，fx2.1-x2花

47、(x) =0,类似地,0 y 0,Fy (y) =0,y 40.由于对任何x、y均有F(x, y尸FXx)FYy),因此随机变量X与Y独立;在第11题 第11题的(2) (y),因此(2) 16.设随机变量(1)中的f (x, y) =fx (x) fY(y),因此X与Y是独立的，而在 与(3)中，不能对于所有x, y均满足等式 f (x,y ) = fx( x) f与(3)中的X, Y是不独立的.X与又独立，其概率分布由下面两表确定，令X =x+X2，丫 =X1 X2 ,求随机向量(X, X)的概率分布及X、Y的概率分布.X_ 01X123p0.60.4P0.50.30.2解由于X与K独立,

48、因此有PlX = i ,Y = j1= p1X =i P Y 二 j) 具体计算结果列于下表X00.300.180.1210.200.120.0835X的取值为1, 2, 3, 4.P；X =1:= P；Xi X2 =1)= P；Xi =0,X2 =1=0.30类似地，可以计算出pX=i , i =2,3,4列于下表X1234P0.300.380.240.08随机变量Y可以取0, 1, 2, 3各值.PY =0二 P乂X2 =0二 P乂 =0二0.60P Y =1 = P11X2 =1?=P1 =1,X2 =1=0.20P Y =2?=Pa1X2 =2：i乂 =1,X2 =2= 0.12P Y

49、 =3)= pI*2 =3)= PX =1,X2 =3)=0.08.有一种两版面的报纸，每版印刷错误数服从参数为1的泊松分布，假定各版印刷错误相互独立，求一份这种报纸上印刷错误总数X的概率分布.解 设X, %分别表示第1、第2版面上的印刷错误，X=X+%, X可以取一切非负整数.P% =n =P1 X2 =n)= n P【X=k,X2 =n -k)k zQ=n PX =k：PlX2 =n -k)k z411 1 e 2 ? n! TOC o 1-5 h z eekek! n -k ! n! ”k! n -k !a 2 n9n= e-%ck，e2 n =0,1,2,.i=1,2 令 X=X+X,

50、 Y=X X,n! k3n!.设随机变量 X与K独立，且X艮2,0.8), 求X、Y的概率分布.解X可以取0, 1, 2, 3, 4各值P ,X = k . = P X 1X 2 = k 八 P 奴1 = m, X 2 = k -mm 0p v P；X1 =m.PlX2=km;mzSkm m2 _mkmk _m2 ,k m=C2 0.80.2C2 0.80.2mqSk八匕优了0.8k 0.2m佥=C：0.8k 0.24* k =0,1 2,3,4Y可以取0, 1, 2, 4各值36p Y =0 Lp1x1 =0 X2 =0= P11 =0PX2 =0)_P1X1 =0：P：X2 =0) =0.

51、0784P Y =11=P&1 =1 PI2 =14=0.1024P Y =4； =PX1 =2pX2 =2) = 0.4096P Y =2)=1 P1y =0)P1y =1)P1y =4= 0.4096.求上题随机向量（XY）的协差矩阵V.解由上题知，XB (4, 0.8), EX=3.2, DX0.64E2.56, D1.7408EXY =E X1 X2 X1X2 =EX：X2 EXM 二EX；EX2 EX1 EXf =2EX；EX1 =9.216 Cov X,Y )=EXY -EXEY =1.024 V _-0.64 1.024 1 |1.024 1.7408.求第6题中随机向量(X,

52、%)的协差矩阵V.解EX1EX 2 =3,EX；4EX22 =9,DX18DX2916EXE3 一3=一，Cov Xi,X2 = 一884316一9163 1631691621.求第7、8各题中随机向量（X,Y）的均值向量及协差矩阵.解在第7题中， EX =-,EX2 9- ,DX 9 48372 9187EY = ,EY =,DY =161625616EXY352EY = ,EY6618329,DY 二 236在第8题中EX =,EX2 = ,DX =37EXY - -5,Cov X,Y -69一1135 一一3718_109109293637解 EXDXEY2y .2兀,22.1 2x 2

53、1 4x 21：1 -x dx = 0. 1 -x dx =一兀兀42y -y dy =122.计算第11题（3）中随机向量（X, Y）的协差矩阵V12 ：-2=0 x V1 -x dx =0EY2 =汉 _y2dy=5 兀4221DY =EY2 EY =-EXY2y32 xynffixyflxydxdynjdy&y)27tdx =0Cov X,Y )=EXY -EXEY -023.设随机向量（X, Y）f (x,y)2f (x,y )=*Axy 0 x 2,0 y 10 其翼他求系数A X的边缘概率密度h（x）,并计算（X, Y）在以（0, 0）, （0, 2）, （2, 1）为顶点的三角形

54、内取值的概率.解点爵（x, y dxdy = Jdy cfAxy2dx2A=1,A =1.53当0WxW2时，f x (x )= 11.5xy2dy =0.5x当 x2 时,fx(x)=0记所求概率为p,则有p = jdy/1.5xy2dx =0.624.计算上题中随机向量(X, Y)的均值向量及协差矩阵.解 EX = 00.5x2dx =432232EX -0.5x dx =2,DX = 一9EX = Jdy 21.5xy2dx =-4EY2 = 1dy 01.5xy4dx = 3, DY =580EXY = jdy/1.5x2y3dx =1Cov X,Y )=038一4133.429,03

55、8025.随机变量X与Y独立，且X服从0, 2上的均匀分布，Y服从入=2的指 数分布，写出随机向量（X, Y）的概率密度，计算概率 RXw Y.-,0 x00, y0由于X与Y独立，因此有f(x、y Afx(xfY(y Xe-y ,0 x0, 0,其他.PIX _Y - f x, y dxdyX：工=jdx 产e 2ydy = jg e-xdx1 d 4 j26.已知随机向量(X, Y)的协差矩阵V为计算随机向量(X+Y, X-Y)的协差矩阵.D (X+Y)=D2Cov (X,Y ) + DY = 25D (X-Y)=DX2Cov (X,Y ) + DY = 1Cov ( X+Y, X-Y )

56、 = DXDY = -525-5V 二-5 127.设随机变量Y是X的线性函数，Y=aX+b, (a?0),且随机变量X存在期望EX=p ,方差 DX=(/,求随机向量（X, Y）的协差矩阵. TOC o 1-5 h z _2 _22DY =a DX =aCovX,丫 =CovX,aX b =aDX =a/o-2a o-2I22 2a aa d28.一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为5, 10, 15, 20, 25 （单位：厘米）， 假定射击时弹着点的位置为（X, Y）,且（X, Y）服从二维正态分布，其密 度为_x2 72f x,y =,ef200兀现规定弹着点落入最小的圆域得 5分，落

57、入其他各圆环（从小到大）的得分 依次为4分、3分、2分及1分，求1次射击的平均得分.解 设随机变量W的一次射击白勺得分,则 W可以取0, 1, 2, 3, 4, 5各值.39pW =。=f(x, ydxdy 令x = rcos8,x2 .y2625y =r sin 2 r=0211dH 2?(e00dr =0.043925 200同样方法可以计算出.P W =1? = 0.0914,P W =2)=0.1893，P W =3)= 0.2819pW =4) = 0.2760,P W =50.1175.EW =； iP W =i )=3.0072 i -Q.上题中设Z为弹着点到靶心的距离，求 Z的

58、概率密度fz (z)及期望EZ 解 依题意随机变量Z是X与Y的函数，且z =Jx2 y2，1x2 ,y2当 z0 时，FZ(z)=Pk 0EZ = /zz =0100ez .0z2200dz = . 2 兀.随机向量（X, Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别是1612求出密度函数f （ 解：=C=0612I25x, y)的表示式邛-0, 52=16高=25, p =0.6代入二维正态分布的概率密度公式，得f x,y =32 %25 x2 3e 2忑唾xy31.设随机向量（X, Y）f (x,y),求（X, Y）的均值向量与协差矩阵.解 易见（X, Y）服从二维正态分布 W 1-0,2

59、-1且（T 1 , （T2, P满足下列等式：40-2 ：2、2(1 i ,)二i二21_222(1 -：)二22解上面方程组，得二-1 =1，二2 =2,:1一丑2Cov X ,Y = ：Im =1 2 = 一 . 32-3432.随机向量（X, Y）f x,y =Aef （x,y）,确定A的值，并求X与Y的相关矩阵.其中-4 52 8x 5 y 3 25 y 工2 |解法一:.;：,j：f x,y dxdy=Aa彘4)维工产)dxdy W -J C-JJ=Ajy 整二 LQgdx=A熊(jdy =:兀=1A =3兀fY y = ；3e兀_书 2)*x$ V3 25y 42 dx=3 e32

60、V TT,21EY =3 DY =。2 = 18类似地 fX (x )=防(x,y dy = eI25”)5 .：兀o 25EX = T = -5, DX =；一1 = 28Cov X,Y = _： _：x 5 y -3 f x,y dxdy=3 百&te* 8st 25t2dsdt_- _JI29Cov X,Y计算表明X与Y的相关系数矩阵R为45415解法二：与31题解法相同，略.33.随机向量（X, Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为41P*i -II 52 曲仃2 Iw = i v =2，2 J|_g02 02求随机向量(9X+Y, X-Y)的均值向量与协差矩阵解 E (9X