空间向量的应用—距离

1、空间向量的应用（距离）一、教学内容分析：本节内容是学习了空间向量的线性运算、 数量积运算以及坐标运算之后，在 学生初步掌握了一定的直观想象、 数学运算、逻辑推理能力的基础上，对空间向 量的应用探究。二、学生学情分析：学生已经掌握了解决距离问题的综合方法以及向量运算的相关知识，并具备了通过直观想象和数学运算进行逻辑推理的能力。三、教学目标：通过具体情境体会向量在解决距离问题的工具性。通过情境探究引导学生进行观察、运算以及逻辑推理，从而获得向量解决 距离问题的程序性思想。通过类比探究获得利用向量解决点到平面距离的程序性知识。通过对比式学习，体现不同角度解决空间距离问题的特点和优劣， 在情境 中培养

2、学生直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养。四、重点、难点教学重点：用向量方法解决点到面的距离教学难点：用向量方法解决点到面的距离的探究 五、教学策略本节课采用“问题导学”模式（即以数学问题为中心，以学生探索活动为主 线，以培养学生观察和抽象概括为核心的教学模式。）：由教师提出一系列精心设 计的问题，启发学生自主、合作去分析、探索、分享、领悟，从而使学生既获得 知识又发展智能的目的。在教学中通过，对比和类比式探究让学生体会数学问题解决的关联性和差异 性，逐一突破难点。六、教学过程（一）两点间的距离：【师生活动】师：我们常见的距离有哪些？生：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与它

3、平行平面的距离，两平行平面的距离。师：这些距离都可以转化为两点间的距离， 所以先来研究向量法解决两点间的距 离。用向量法解决长度问题的常用方法有哪些？生：两点间距离公式，利用空间向量基本定理，转化为基底向量的数量积运算 【设计意图】明确常见的距离问题，引导出向量解决长度问题的常见方法。例 1:已知平行六面体 ABCD-A1B1cl 口1中，AB 4, AD 3,AA1 5, BADBAAiDAAi 600，求 ACi 的长.【师生活动】师：利用建系写坐标的方式求解例1好不好？生：不好，因为坐标不好写。师：所以我们选择什么方式求解？生：利用空间向量基本定理，将要求的 AC1用基底向量表示出来，转

4、化成基底 向量的数量积运算。【设计意图】将两点间的距离问题转化为向量模长问题， 构建利用空间向量基本 定理将向量模长问题转化为基底向量的数量积运算求解的策略。（二）点到直线的距离:例2:在长方体 ABCD-A1B1c1D1 中，AB 2,AD 1, AA1 3,设点M为 AB1D1的重心，求 M HAC1的距离【师生活动】学生思考并提出自己解决问题的思路和方法对比三种不同角度解决问题的方法【设计意图】通过对比式探究，体会不同角度解决点到直线距离问题的特点, 受向量方法的优越性。学生交流讨论学生展示方法师生点评完善结论【设计意图】通过自主思考，合作探究，获得向量解决点到平面距离的求解方式。例 3

5、:在长方体 ABCD - AiBiCiDi中，AB 2, AD 1,AA 3,求点 A到面 DBCi 的距离【师生活动】带领学生进行解题策略分析将学生分成两组，分别用综合法和向量法求解例 3分组演示写题过程，并讲述对应方法的特点对比分析两种方法的优劣获得用向量方法解决点到平面距离的程序小结：借助向量求解点户到面,的距离的程序是:彳1 I求面（7的法向量（2）选择参考向量（3）求参考向量在法向量上的投影的绝对值 y【设计意图】对比综合法和向量方法解决点到平面距离的特点及优劣，体会向量方法解决点到平面距离的优势。通过具体情境的解决归纳出向量法解决点到平面距离的程序，并培养学生直观想象、数学运算和逻

6、辑推理的核心素养 （四）直线到平面的距离：问题4：如何求直线,与它的平行平面的距离？（五）平面到平面的距离：问题5:如何求两平行平面间的距离？【师生活动】教师提问，学生思考后齐答两平【设计意图】通过类比式探究获得向量方法解决直线与它平行平面的距离、 行平面的距离的程序性知识。（六）归纳小结，画龙点睛：【师生活动】学生进行归纳小结，教师进行适当的评价【设计意图】初步构建向量方法解决距离问题的程序性知识，培养学生的表达能 力，归纳概括能力及反思能力。（七）板书设计:空间向量的应用（距离）.两点间的距离.点到直线的距离.点到平闻的跑离.直线与平行平向的跑离.平行平向的跑离学生展示区（A）作业：一.必

7、做题在正方体ABCD-AB1GD1中，棱长为1,E为D1cl的中点，求D1c到面AE的距离.二.选做题如何借助向量求两条异面直线间的距离?【设计意图】分层作业设置，弹性要求，让基础厚的学生勇于挑战，基础稍弱的 学生也得到充分的思维锻炼。在类比探究中提升数学素养-观摩蒋俊琦老师的空间向量的运用录像课的感悟广西桂林市第十八中学数学组易斌空间向量的运用专题课的精彩生成，给人“循循善诱凸现严谨，直观想 象达形化数，合作探究优化思维”的美好感受，呈现以下鲜明特色： 1.严谨性设计：教学设计以“向量法优化立体几何运算”为背景，激趣导思，归纳提炼空间 中点到面距离的距离公式，用类比的教学方法，采用“点 一线

8、一面”（即从二维 拓展到三维）升维的方式，形成点到面的距离公式，激发了学生探究的欲望。从 “数”与“形”角度认知“点到平面”的距离公式，简明清新，自然流畅。2 .问题链导学“问题是数学的心脏”，蒋老师以“问”启思，巧用“问题链”激活学生思维。 设计的问题层次递进，环环相扣，开放适度，能使学生产生好奇心，激发学生的 求知欲。如：例1,学生通过运算求解，发现传统几何算空间两点距离，难算， 通过“同学能否用前面学过的空间向量方法求AC1的长”求引入向量化归成线段长，简洁明了，培养了学生寻求合理方法优化运算的运算求解素养，动态的建构享受成功的愉悦和发展的快乐！ 3.类比式探究蒋老师激情洋溢、民主开放、

9、适度启发，以合作的方式组织教学活动，把课 堂还给学生。课堂中让学生充分发表自己的感受和见解， 鼓励并启发学生类比探 究、交流分享。如，在教学中通过 “用法向量求点到直线的距离” 类比到“用 法向量求点到平面的距离”，让学生体会数学问题解决的关联性和差异性， 4.高效性教学本节课学生不仅有效地构建了知识（从“两点间距离”到“点到线距离”，再至“点到面距离”，最后拓展到“线面距和面面距”，使向量法求距离方法深印 脑海），感悟了方法（数学思想方法及求空间距离的方法）、掌握了技能，更是分 享了快乐、养育了习惯、陶冶了情操，生成了智慧，激发了创新意识，学生的理 性思维和精神世界都有实质性的发展和提升。对

10、蒋俊琦老师的空间向量的应用（距离）点评桂林市第十八中学数学组畦道祥蒋俊琦老师的空间向量的应用（距离）的教学课呈现了以下三个鲜明 特色：一、体现教师数学素养，深入理解教材内涵蒋老师将教学重点设置为用向量方法解决点到平面距离， 从学生熟悉的两点 间的距离出发，顺应学生的思维发展和学习规律， 真正做到了 “课堂教学以学生 为主体”的教学理念。教学内容科学严谨，材料充足，语言准确，体现出一名数 学教师良好的数学素养与教学素养。二、课堂是学生学习与展示交流的空间新课标要求把课堂还给学生，学生是课堂中的主体，课堂是学生学习的重要 空间，蒋老师这节课充分凸显了新课标这一理念，在课堂中，蒋老师民主开放， 启发探究，十分尊重学生的思维，让学生有充分的展示与交流，在生生互动，师 生互动中不断突破教学难点。三、设计有形，执行有序，教学有效蒋老师设计自然流畅，环环相扣，层次递进，她首先从学生熟悉的两点间距 离出发，在具体情境中让学生体会向量在解决距离问题中的工具性。在例2的探究中，蒋老师组织学生自主思考并让学生展示不同角度的解决方法，让学生初步体会到向量在解决点到直线距离上的优越性。 紧接着让学生通过类比式探究获得 向量方法解决点到平面距离的程序性方法， 从