线性代数行列式经典例题

1、1=01=0线性代数行列式经典例题例1计算元素为aq=Iijl的n阶行列式.亍法1由题设:知，a=(0,a_1,a_n一1,，故11121n01n-101n-11)0n-2r二川l1-1III-1ni_n,n-1,2n-1n-2lu011r-1IIIHltn-1nn-1|0c,c-2-1(hI_(-1)n-12n-2(n-1)j=1,n-11-2ill00-1曰.曰.，解逐行减前一行.第二步用的每列加第其中第OIII11r1-1-1-r.(1-1-11-1n列.110c+c-1-2ij=1j=2,nn-12n-3HI例2.设a,b,c是lUHI艸=(-1)n-12n-2(n-1)，证明:证明：

2、考察范德蒙行列式:的充要条件是a+b+c=0.ul=一（&一色）一巴）（色一亡）（&+鸟+町丿2+A=一（&一色）一巴）（色一亡）（&+鸟+町丿2+AIIIIII行列式即为y2前的系数.于是aajnn-1a|n-2x十a1解：方法1递推法按第1列-1展开,有(11x-W1-1D=xD+nn-1(1)n+1anx-1n一1n一1x由于D=x+aA,D=112a2于是D=xD+anniin一1=x(xD+an-2n一1)+a=x2D+nn-2所以的充要条件是a+b+c=0.x-100例计算D=0nx-10=一（&一色）一巴）（色一亡）（&+鸟+町丿2+A=一（&一色）一巴）（色一亡）（&+鸟+町丿

3、2+AIIIIII=一（&一色）一巴）（色一亡）（&+鸟+町丿2+A=一（&一色）一巴）（色一亡）（&+鸟+町丿2+AIIIIII+ax+an-1nIIIx十aIIIIII丨ax+a=xn-1D+axn-2+ax+a=xn+axn-1+n-1n2n-1n0-100HIx2x-10DC1空2n00 x0方法2第2列的x倍，第3列的x2倍，,第n列的x-1倍分别加到第1列上a+xaaa|nn-1n-1n-2xIIIxIIIc1x2c3x3IIIxnaxn-11方法3方法4+xa+x2an-1n，2a-ian-2an-3-1按r展开12IIIx(，1)n1fIII（利用性质,1C2IC3+1?将行列

4、式化为上三角行列式.01c+c,nxn-1HIMlan-1aa+n-1+n,xx2MlMl按曆开xn-1=a+ann-1k=xn-1(nan+xn-1axn-1xn1按r展开j-(-1)n1anill10HIa|+2+axMl+x),1(-1)n2an-1+(-1)2HlxlHl_1,101+(-1)2n(a1III0III=(1)n1(1)n-1an+l(1)0Ix0n-1a02n-1+(-1)2n-1(Da2xn-21)2n(a+x)xn-11a+ax+axn-1+xnnn-11例4-计算n阶行列式:HIa+b1aD，1na2a+b22anan(bbb丰0)12na1a2dl解采用升阶（或

5、加边）原行列式值不变的情况下!简后出现大量的零元素.1法该行列式的各行含有共同的元素a,a,12增加一行一列,I适当选择所增行（或列）的元素,a，可在保持n使得下一步化升阶D，na1a+b1a1a2a2+b2ananan2rr11Ic+c.1bj上1a11+驚+b1a2+体b1III1j，2,n+100maa12中00b2=bb1:HlMl这个题的特殊情形是IIIIIIHIb(1+nIHa+x1aD，1nananIII=xn-1(x+a)ii，ia1可作为公式记下来.（a2例51计算n阶“三对角”行列式0Dn=0+卩i解方法1递推法a,0000D按展开(a+,)d1a+,nn1a,00女:？开

6、(a+,)da,n1ID11-nz.kp十IIa即有递推关系式故递推得到D=(a+卩)Da,Dn2ill(n3)nn1nDaD=,(DaD)nn-1n-1n-2DaD=,(DaD)=,2(DaD)nn-1n-1n-2n-2n-3=-=,n-2(DaD)21而D(a+,),D=12=a2+a,+,2,代入得DaD,n+nn1DaD+,nnn12.1)由递推公式得D=aD+,n=a(aD+,n-1)+,nnn1n2=a2d+a,n-1+,n=-n2=an+an1B+a,n1+,n=n+1n+1,方法2把Dn按第1列拆成2个n阶行列式(n+1)a,a+,10a,a+,上式右端第一个行列式等于aDn1

7、，而第二个行列式n+1100+00000a,a+,10a,a+,a,1aa,10aa,IllHI于是得递推公式DUI，n,aa已与(2.11)式相同方法3在方法1中得递推公式HI门cDn=(a+)DaDn1n2000010000100HI0001Hl1*HI111111HICi-1i2,n=BnD2a=(a+)2a=a2+a+2=a33a+aD3a，10a0a+a=(a+)3-2a(a+)1a+a44=(a+)(a2+2)=GTan+1n+1于是猜想3=，下面用数学归纳法证明当n=1时，等式成立，假设当nk时成立.当n=k+1是，由递推公式得D=(a+卩)Dadk,1kk1ak,1k,1=(a

8、+卩)aakkak+2k+2aHa所以对于neN，等式都成立例6.计算n阶行列式:111,a11解这道题有多种解法.方法1化为上三角行列式Dni=2,n1+a1a1c+c1aj=jj=2,nm其中b=1+a+a=a11a1i=2i或加边)1方法2升阶10D升阶0n1c+c1aj+1j=1,2i,1a1z1+ni，1IIII于是D=aa12HI方法3递推法将D改写为n由于D=ni，110a00III1+III=aa1a10ni=2,3,n+1111111i丿1+an111+a11(111+a按n拆开inHl11+a(a11片a11J1+a112山1+11因此D=aDInnn，1=aa12III101a20按n展开八naD