非寿险精算课后习题答案(中精-主编-韩天雄)

1、 第一章1T 2T 3T 4T 5T 6T x 0 10 50 100P(Xx)0.85 0.95 0.995 1.0 7T 8T 9T 15T 第二章2T1从表中可以得出索赔额组中值由题知，对数正态分布的期望和方差如下：根据矩估计法可知：由此可以求得：23T每份保单赔款次数X服从泊松分布，X的概率密度函数为： 由极大似然估计可以得到：而且所以5T韦伯分布的分布函数为：令 解得韦伯分布的20%和70%分位数：根据观测数据可以知道 ：令 解得 7T指数分布的概率密度函数为，由极大似然估计得到分布检验的检验假设：赔款额分布服从参数的指数分布 ：赔款额分布不服从参数的指数分布显著水平，查自由度为的分

2、布表，得到分位数14.86，所以拒绝域为赔款额落在0100的理论概论为：同理可得 在拒绝域范围内，所以拒绝原假设，不能用指数分布模拟个别理赔分布。8T假设实际赔款平均额为，正态分布假设检验： 为：，假定那么，拒绝域为根据样本数据得到： n=1243 u=1200 s=1497.31 即拒绝原假设，实际赔款额大于假定的平均赔款额，也就是说有证据说明该公司假定的平均赔款额太低了。9T的先验分布为Bate(2,200)，损失随机变量的分布服从参数为的二项分布那么的后验分布为：，即的后验分布均值为参数的贝叶斯估计：10T 由此可得： 解得 的后验分布为平方损失下的贝叶斯估计为后验分布的数学期望11T1

3、赔款次数服从二项分布：因为 因为那么 2当 时 第三章 非寿险费率厘定1T该保单期限为6个月，所以所投保的车辆是0.5个危险单位。由于该保单是在2023年签订的，所以2023年的已签危险量为0。2023年10月1日参加保险那么在2023年的有效期间为3/6=0.5，因此2023年已承当危险量为0.5*0.5=0.25。另外，该保单到2023年仍然有效，因而有效危险量为0.5。2T12023年至2023年在2023年7月1日费率下各年均衡已赚保费分别为：2023年：1.93570+3.21620+1.25820+2.31280=21895元2023年：1.94230+3.21910+1.2632

4、0+2.31320=24769元2023年：1.95100+3.22200+1.26930+2.31500=28496元那么均衡已赚保费之和为：21895+24769+28496=75160元2依题意可知：W=L/ER=54867/75160=0.73 而T=0.6那么调整因子为A=W/T=0.73/0.6=1.21673T费率水平相对值：2023年之前：12023年10月1日至2023年10月1日：1.12023年10月1日至2023年10月1日：1.1882023年10月1日以后：1.3068那么有日历年相对费率水平等费率因子202331/321+1/321.1=1.0031251.306

5、8/1.003125=1.3027320239/321+1/321.188+22/321.1=1.0746251.3068/1.074625=1.216120239/321.1+22/321.188+1/321.3068=1.16696251.3068/1.1669625=1.1198所以2023年至2023年近似均衡已赚保费总额为：204691.30273+235431.2161+283001.11983=86987.39元4T相邻年间的损失进展因子如下所示：事故年1223344520231.531.128871.05761.04520231.4251.16741.055820231.431

6、1.0320231.425将相邻年间的进展因子求算术平均，即为选定因子12233445选定因子1.452751.10881.05671.045将相邻年的选定因子连乘，即可得到至最终年龄的进展因子15253545最终损失进展因子1.77871.22441.104251.045损失预测如下：事故年最终损失进展因子最终损失预测值2023120231=202320231.04521201.045=221520231.1042520251.10425=223620231.224422301.2244=273020231.778718091.7787=32185T相邻年间的索赔次数进展因子如下所示：事故年

7、1223344520231.24671.0731.0082120231.2431.0528120231.203771.0920231.1376将相邻年间的进展因子求算术平均，即为选定因子12233445选定因子1.207771.0721.00411将相邻年的选定因子连乘，即可得到至最终年龄的进展因子15253545最终索赔次数进展因子1.31.07641.00411最终索赔次数预测如下事故年最终索赔次数进展因子最终索赔次数预测值2023112301=12302023112761=127620231.004113911.0041=1396.720231.076413641.0764=1468.2

8、120231.312241.3=1591.26TG=40000/500000=0.08V=(200000+20000+50000)/1000000+45000/900000=0.32Q=0.05那么目标损失率T=(1-V-G)/(1+G)=(1-0.32-0.05)/(1+0.08)=0.58337T计算所需数据如下表所示：级别当前级别相对数根底费率水平下均衡已赚保费损失率新的级别相对数1171350.7954121.353791.851.02541.2891531.652743.031.1361.4287f=7135+5119+4526/(7135+51191.28915/1.35+4526

9、1.42868/1.65)=1.0526冲销因子为1/f=1/1.0526=0.9500285(2)各级别下的新费率级别1 1.21.151.0526=1.452588级别2 1.4525881.28915=1.8726级别1 1.4525881.4287=2.07528第四章 非寿险费率校正2T由EX3=+E(X1)+E(X2) Cov (X1,X3)= Cov (X1,X1)+ Cov (X1,X2) Cov (X2,X3)= Cov (X1,X2)+ Cov (X2,X2)可得：4=+2 2=+ 3=+2 联立以上各式，求得=1所以第三年的信度保费为1+X1+X23T依题意可设X1、X2

10、分别为两份保单的赔款的随机变量，那么由它们三年的观测值可计算得到：=(3+5+7)/3=5 =(6+12+9)/3=9结构参数的估计 =(5+9)/2=7=(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(6-9)2+(12-9)2+(9-9)2)/(3-1) 2)=6.5a=(5-7)2+(9-7)2)/(2-1)-6.5/3=35/6信度因子z=n/(n+v/a)=3/(3+6.56/35)=0.729那么两份保单的Buhlmann保费的估计值分别为：P1=(1-0.729)7+0.7295=5.542P2=(1-0.729)7+0.7299=8.4585T设X1、X2分别为两份保单赔款次数的随

11、机变量，那么= (7+13+11+9)/4=10 = (14+17+16+17)/4=16结构参数的估计 =(10+16)/2=13=(7-10)2+(13-10)2+(11-10)2+(9-10)2+(14-16)2+(17-16)2+(16-16)2+(17-16)2)/(4-1)2)=13/3a=(10-13)2+(16-13)2)/(2-1)-13/3/4=203/12信度因子z=n/(n+v/a)=4/(4+1312/(2033)=0.9398那么两份保单的信度保费的估计值分别为：P1=1000(1-0.9398)13+0.939810)=10180.6P2=1000(1-0.939

12、8)13+0.939816)=15819.17Tr=2,n1=n2=3x11=9000/30=300 x12=12000/50=240 x13=18200/70=260m11=30 m12=50 m13=70m1=m11+m12+m13=150=9000+12000+18200/150=261.33x21=25000/100=250 x22=26000/130=200 x23=30000/120=250m21=100 m22=130 m23=120m2=m21+m22+m23=350=(25000+26000+30000)/350=231.43结构参数的估计 =(261.33150+231.4

13、3350)/(150+350)=240.4=(30*(300-261.33)2+50*(240-261.33)2+70*(260-261.33)2+100*(250-231.43)2+130*(200-231.43)2+120*(250-231.43)2)/(3-1)+(3-1)=68004.7625a=(150*(261.33-240.4)2+350*(231.43-240.4)2-(2-1)*68004.7625)/(500-(1502+3502)/500) =123.1728那么第一组的信度因子和第四年的信度保费分别为：Z1=m1/(m1+v/a)=150/(150+68004.7625

14、/123.1728)=0.2136P1=80(1-0.2136)240.4+0.2136261.33)=19589.65第二组的信度因子和第四年的信度保费分别为：Z2=m2/(m2+v/a)=350/(350+68004.7625/123.1728)=0.388P1=100(1-0.388)240.4+0.388231.43)=23691.96410T转移概率矩阵： 一年后等级 0% 30% 50% 初始0%1- 0等级30% 1- 0 50% 0 1- 11T无赔款发生的概率P0=P(X=0|=0.9512假设有10000个投保人投保，且全部享受最高折扣率优待，那么一年后仍然享有50%折扣率的人数为10000人，在30%折扣率上的人数有10000-9512=488人。假设都续保，那么一年后各个折扣率等级的人数分别为：0%折扣率：4881-0.9512=24人30%折扣率：95121-0.9512=464人50%折扣率：95120.9512+4880.9512=9512人从该NCD系统的转移矩阵可得方程组如下：求得稳定分布： 那么假设10000投保人年年续保，那么在0%、30%、50%折扣率等级上的稳定人数为25人、487人和9488人。假