管理统计学第2章-样本数据特征初步分析

管理统计学第2章-样本数据特征初步分析第一页，共114页。2.1样本数据结构的基本特征：

频次与频率数据集合的最基本的结构特征：频次与频率主要方法：表格法、条形图和饼图法第二页，共114页。2.1.1频次与频率的基本概念频次：在有限的样本数据集合中，同样的数据值（样本值）出现的次数。某样本值的频率=该样本值出现的频次/该数据集合的数据总数第三页，共114页。第四页，共114页。第五页，共114页。，使列出来的价格数据看得更清楚些。第六页，共114页。例2.1.2在对某小区的家庭家具的抽样调查后，得到客户家具的基色调的数据：本例中数据是名义级的，它们自身不存在大小排序的问题。第七页，共114页。大致可看清楚样本数据（家具基色调）结构的特点第八页，共114页。例：抽样调查某单位16人的受教育程度的数据小学，大学，大学，初中，高中，硕士，大学，大学，高中，大学，大学，初中，大学，硕士，大学按照受教育程度排序，统计出各个样本值出现的频次和频率受教育程度小学初中高中大学硕士合计各个受教育程度出现的频次1229216各个受教育程度出现的频率6.2512.512.556.2512.5100可以较为清楚地看到“受教育程度”样本数据集合的结构特征。第九页，共114页。2.1.2观察样本数据基本特征（频次与频率）的图形方法饼图表示频次与频度适用于所有测度等级的数据。但要求不同样本值的个数（不重复的样本值个数）不能很多。表示频度与频次的饼图绘制的方法：（1）画一个大小适当的圆圈，给每一个不同的样本值一个与其频次（频率）相当的圆心角，就像切割的一块饼。（2）每个不同的样本值所占据的圆心角的大小由下式计算：第十页，共114页。第十一页，共114页。第十二页，共114页。条形图适用于不重复的样本值的个数不多的情况。第十三页，共114页。第十四页，共114页。第十五页，共114页。一般情况，条形图只适用于顺序级以上的样本集合。人们也可“强行”抹去横坐标的从左向右的顺序概念，“规定”横坐标没有大小之分。第十六页，共114页。2.1.3样本数据集合的基本特征的延伸：累积频率第十七页，共114页。顺序级以上的样本数据（包括顺序级数据），才存在累积频率。第十八页，共114页。例的样本数据集合的累积概率某单位职工受教育程度≤xi的累积频率受教育程度xi小学初中高中大学硕士合计各个受教育程度出现的频率（%）6.2512.512.556.2512.5100教育程度≤xi的累积频率（%）第十九页，共114页。例的样本数据集合的累积概率某单位职工受教育程度≤xi的累积频率受教育程度xi小学初中高中大学硕士合计各个受教育程度出现的频率（%）6.2512.512.556.2512.5100教育程度≤xi的累积频率（%）6.2518.7531.2587.5100第二十页，共114页。第二十一页，共114页。2.2观察刻度级样本数据结构的茎叶图与直方图方法2.2.1茎叶图的概念与作法第二十二页，共114页。茎叶图适用于刻度级的样本数据的频率结构。不适用名义级。顺序级的样本数据本质上是半定量的。也可使用茎叶图。最好使用条形图。如果对某个样本数据集合规定，所有的样本值的百位数为“茎节”（茎节的宽度为100），所有的十位数和个位数为“叶”。2.2观察刻度级样本数据结构的

茎叶图与直方图方法2.2.1茎叶图的概念与作法第二十三页，共114页。样本值=“茎节.叶”表达ד茎节”的宽度一个样本数据集合中的所有不相同的茎节，从小到大连接起来，构成了样本数据的”茎“。确定”茎“的位数基本依据是样本数据的分布范围。茎节的宽度，就是茎的宽度。确定”茎节”的宽度的原则：样本数据集合中的”茎节“必须是有变化的。第二十四页，共114页。（1）依据样本数据集合中数字的大小范围，确定”茎“的数字位和”叶“的数字位；（2）把样本数据集合中的所有的样本数据，分成”茎节“、”叶“两部分；（3）把样本数据集合中的所有的”茎节“，从小到大，从上到下纵向排列，并在”茎节“后标出小数点，小数点要纵向对齐；（4）按照”茎节“的从小到大的顺序，依次把样本数据集合中的所有”茎节“相同的数据取出来，把这些数据的”叶“，按照从小到大的顺序，写在这个”茎节“后小数点的右边，从左到右横向排列，直至把样本数据集合中的所有数据处理完。2.茎叶图的作法第二十五页，共114页。第二十六页，共114页。第二十七页，共114页。常见的细分茎节的方法之一，是把茎节分成两个子茎节，也就是把该“茎节”右侧的“叶”，处于0-4的，归为“L”子茎节（低段子茎节）；“叶”的数字处于“5-9”的，归为“H”子茎节（高段子茎节）。第二十八页，共114页。例如：可把每个“茎节”分解成相等的5个“子茎节”，即每个“子茎节”所覆盖的“叶”的依次为0-1，2-3，4-5，6-7，8-9.这样，每个子茎节的长度，就是原来每个茎节长度的1/5。茎节长度的概念：茎叶图中，每个“茎节”所允许覆盖的“叶”的数字范围。茎节长度=允许覆盖最大值-允许覆盖最小值+1第二十九页，共114页。练习1：某篮球运动员在某赛季各场得分情况如下：

12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50.试分析该运动员的整体水平及发挥的稳定程度？

第三十页，共114页。解：上述运动员的得分可用下面茎叶图来表示。频次茎

叶21.2522.4563.11667924.4915.0

结论：该运动员平均得分在30到40之间，且分布较对称，集中程度高，说明其发挥比较稳定。

第三十一页，共114页。练习2某赛季，两篮球运动员本赛季每场比赛的得分如下，试比较这两位运动员的得分水平。

甲：9，17，18，25，28，32，35，36，37，36，32，40，50.

乙：11，9，13，16，22，23，22，24，32，33，38，41，52.

第三十二页，共114页。解：画出甲、乙两人得分的茎叶图，为便于对比分析，可将茎放在中间共用，叶分列左、右两侧。

甲

乙

叶茎叶9.0.078.1.13658.2.2234225667.3.2380.4.10.5.2

甲运动员的得分大致对称，平均得分30多分；乙运动员的得分也大致对称，平均得分是20多分。但甲运动员总体得分情况比乙好。第三十三页，共114页。从全年级的两个班考试成绩中每班任意抽取20名的数学成绩如下（总分150分）甲班：12011813513414014610811098981421261081129510314892121132乙班：1281241479612611712512912013413212197104114135127124115107试用茎叶图分析，哪个班成绩比较稳定。第三十四页，共114页。解：画出甲、乙两班成绩的茎叶图。

甲

乙

叶茎叶2588.9.67388.10.47028.11.457016.12.014456789245.13.2450268.14.7甲班成绩波动较大，乙班成绩总体集中在120-130分之间，且分布大致对称，因此乙班成绩比较稳定，总体情况比甲班好。第三十五页，共114页。总结：（茎叶图的特征）1.用茎叶图刻画数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；二是茎叶图便于记录和表示。2.但茎叶图表示三位数以上的数据时不够方便。第三十六页，共114页。2.2.2直方图的概念与作法第三十七页，共114页。这就是直方图。区间长度为5厘米，区间个数为7，起点为160，终点为195。162.5167.5172.5177.5182.5187.5192.5身高（厘米）第三十八页，共114页。2.直方图的基本作法：（1）按照样本值的大小，选择恰当的区间长度（通常要求区间是等长度的），对所有的样本值分组；（2）统计所有组（区间）内的样本值的频次或频率；（3）用横坐标，按照顺序表示不同的区间（组），用竖立于区间上的矩形条，表示相应区间的样本值的频次或频率。第三十九页，共114页。3.直方图的使用范围当刻度级样本数据很多或者精度相对高，使得数据集合中重复出现的样本值过少时，就需要对数据分组，用直方图观察不同组数据的频次与频率。第四十页，共114页。4.直方图与条形图的区别直方图要对数据分组；而条形图不对数据分组，直接统计不同样本值的重复次数。直方图适用于大量不重复样本值的数据集合；条形图适用于不重复的样本值的个数不多的情况。直方图只适用于刻度级的样本数据；条形图主要适用于顺序级以上的样本数据。第四十一页，共114页。5.直方图的具体作法（1）数据分组数据分组，一般采取等区间长度的原则。数据分组，一般先确定区间长度，然后按下式确定组的个数：式中，R表示用四舍五入法，把括号中的数据表达为整数。第四十二页，共114页。直方图分组组数选用表（通常）样本量推荐组数50~1006~10101~2507~12250以上10~20第四十三页，共114页。（2）确定分组区间长度确定分组区间长度的过程以某个量纲单位为初始区间长度(d)区间个数合适？区间长度减半，为初始区间长度的0.5区间个数还少？新的区间长度为初始区间长度的0.25，或0.2区间个数还少？结束新区间长度=d×10新区间长度=d/10不少少了多了少还少不少合适第四十四页，共114页。讨论例的数据分组的区间长度问题。首先，确定区间长度的量纲。定为“米”or”分米“or”厘米“？分米（即10厘米）组的个数=R((190-160)/10)+1=4组太少，区间长度减半组的个数=R((190-160)/5)+1=7确定出：分组的区间长度为5厘米，区间个数为7。第四十五页，共114页。（3）确定分组区间起点位置的方法确定第一个区间（最左边的区间）起点位置的方法①取出样本数据集合中的最小数据（量纲为确定区间长度时所选定的量纲），记为y1。例如在中，y1=16(分米)第四十六页，共114页。②确定备选的第一个区间起点的位置：a.当分组区间长度为0.2(某量纲单位)时，备选的第一个区间的起点位置（坐标x1）可能是：[y1]+0，[y1]+0.2，[y1]+0.4，[y1]+0.6，[y1]+0.8。式中，[y1]表示对y1取整。例，[16.1]=16，[16.9]=16，等。b.当分组区间长度为0.25(某量纲单位)时，备选的第一个区间的起点位置（坐标x1）可能是：[y1]+0，[y1]+0.25，[y1]+0.5，[y1]+0.75。c.当分组区间长度为0.5(某量纲单位)时，备选的第一个区间的起点位置（坐标x1）可能是：[y1]+0，[y1]+0.5。d.当分组区间长度为1(某量纲单位)时，备选的起始区间的起点位置（坐标x1）可能是：[y1]+0。第四十七页，共114页。确定备选的第一个区间的起点位置可概括为：备选的x1=[y1]+k×区间长度，k=0,1,…,同时，k×区间长度<1第四十八页，共114页。③包含最小值在内，哪个备选区间的起点位置x1与y1最近，就确定该位置为第一个区间的起始位置。例如的身高数据的分组问题。已选定分组区间长度为0.5分米，而[y1]=16，备选的第一个区间的起点坐标可能是：[y1]+0=16分米，或者[y1]+0.5=16.5分米。显然，第一个坐标离y1最近。所以，确定第一个区间是[16,16.5）。注意：若某样本数据正好处于两个区间的分界点上，一般应把它归为右边的区间。第四十九页，共114页。表2.2.2某班级男生的身高数据排序（单位：分米）16.016.316.516.817.017.117.217.517.517.617.617.717.717.817.818.018.118.218.318.518.619.0表2.2.3某班级男生的身高数据分组组别组1组2组3组4组5组6组7组界[16,16.5)[16.5,17)[17,17.5)[17.5,18)[18,18.5)[18.5,19)[19,19.5)身高16.0,16.316.5,16.817.0,17.1,17.217.5,17.6,17.7,17.818.0,18.1,18.2,18.318.5,18.619.0频次111111122221111111组频次2238421第五十页，共114页。直方图中的一些概念组中值：区间中心位置的坐标x。x=(组上界+组下界)/2组频次：组内数据出现的次数。组距：组区间的长度。组频率：组频次/样本数据集合中的样本个数。频次直方图（频数直方图）：纵坐标表示频次（频数）的直方图。频率直方图：纵坐标表示频率的直方图。第五十一页，共114页。（4）绘制直方图在横坐标上，从小到大，依次标出分组区间的边界；在纵轴方向，按照各个区间的组频次或组频率的大小，绘制不同高度的矩形。第五十二页，共114页。区间长度为5厘米，区间个数为7，起点为160，终点为195。男生身高频次直方图162.5167.5172.5177.5182.5187.5192.5身高（厘米）第五十三页，共114页。练习：某中学为了了解本校学生的身体发育情况，对同年龄的40名女生的身高进行了测量，结果如下（数据均为整数，单位：cm）：168，160，157，161，158，153，158，164，158，163，158，157，167，154，159，166，159，156，162，158，159，160，164，164，170，163，162，154，151，146，151，160，165，158，149，157，162，159，165，157．请对上述数据分组，确定出数据的分组个数、组距、分组区间起点位置，画出频次直方图。并根据所画的直方图说明：大部分同学处于哪个身高段？身高的整体分布情况如何？第五十四页，共114页。解：（1）根据题意，选定初始区间长度为10cm。数据中最小的为146cm，最大的为170cm。则，组的个数=R((170-146)/10)+1=3，组数少，区间长度减半，则，组的个数=R((170-146)/5)+1=6，组数合适，由此，确定出区间长度为5cm，组的个数为6组。（2）确定起始区间位置由题意知，[y1]=14，备选的第一个区间起始坐标可能是：[y1]=14，[y1]+0.5=14.5。由此可确定第一个区间是[14.5,15）。第五十五页，共114页。女生身高的数据分组组别组1组2组3组4组5组6组界[14.5,15)[15,15.5)[15.5,16)[16,16.5)[16.5,17)[17,17.5)身高14.6,14.915.1,15.3,15.415.6,15.7,15.8,15.916.0,16.1,16.2,16.3,16.416.5,16.6,16.7,16.817.0频次1121214643132321111组频次25151251第五十六页，共114页。女生身高直方图大部分学生处于155cm到165cm之间，占抽查人数的67.5%，低于155cm和高于165cm的学生比较少，分别占17.5%和15%，学生身高分布大致成正态分布。第五十七页，共114页。2.3样本数据的位置特征：对数据中心的描述样本数据集合的另一个重要特征，就是样本数据集合中心所处的位置，它在一定程度上反映了样本数据集合的位置。第五十八页，共114页。2.3.1样本众数单一众数：一个样本数据集合中出现频次最高的样本值只有一个，简称为该样本数据集合的（样本）众数。复众数：在一个样本数据集合中，有多个“出现频次最高的数据”。无众数：一个样本数据集合中，所有不同的样本值出现频次都相同的。第五十九页，共114页。样本众数的例子(1)顺序级的样本数据的众数：频次统计表、条形图、饼图受教育程度小学初中高中大学硕士合计各个受教育程度出现的频次1229216各个受教育程度出现的频率6.2512.512.556.2512.5100样本的众数：“大学”这个众数可以在一定程度上表示数据集合的“位置”第六十页，共114页。第六十一页，共114页。(2)名义级的样本数据的众数：频次统计表、条形图、饼图样本的众数：“Y”这个众数对样本数据集合的“位置”的表示意义，就比较弱。名义级的数据只有相同与否的区别，没有顺序位置的区别。不同样本值的位置是可以任意排列的。第六十二页，共114页。第六十三页，共114页。(3)刻度级的样本数据的众数：频次统计表、条形图、饼图样本的众数：9.99，10.00，10.01刻度级的数据当不重复的数据大多数是等距离分开的，并且重复出现的数据较多，适宜用定义1确定众数。当数据集合的数据精度高，不重复的数据量非常大，不适宜用定义1确定众数。第六十四页，共114页。样本众数定义2及其例子第六十五页，共114页。通过条形图确定众数，远没有直方图更能反映数据集合的特征。第六十六页，共114页。如：众数。第六十七页，共114页。2.3.2样本中位数在对样本数据集合中的所有数据排序后，样本中位数Me由下式确定：第六十八页，共114页。当样本个数为奇数时，样本中位数适用于顺序级以上的数据集合；当样本个数为偶数时，样本中位数仅适用于刻度级的数据集合（顺序级的数据不能做加减）。分奇偶个数第六十九页，共114页。2.3.3样本均值第七十页，共114页。2.4样本数据的离散特征一、点状描述二、区间描述第七十一页，共114页。2.4.1对样本数据离散特征的点状描述：极值、四分点与百分位点适用于顺序级以上的数据。极大值是数据集合中的最大值，极小值是数据集合中的最小值。第七十二页，共114页。2.4.1对样本数据离散特征的点状描述：极值、四分点与百分位点中位数所在的“正中间位置”，把排序后的样本数据集合分成左右两部分，使左右两部分包含的样本数据的个数相等，即都包含50%的样本总数。第七十三页，共114页。该位置的左边，有n×0.25个数据，占总数的25%。该位置的左边，有n×0.5个数据，占总数的50%。该位置的左边，有n×0.75个数据，占总数的75%。第七十四页，共114页。当Q1、Q2、Q3的位置为整数时，相应整数位置上的样本值，就是Q1、Q2、Q3的值。当Q1、Q2、Q3的位置不为整数时Q2=Q2位置左边的样本值+（Q2位置右边的样本值-Q2位置左边的样本值）×Q2位置的小数部分第七十五页，共114页。Q2=Q2位置左边的样本值+（Q2位置右边的样本值-Q2位置左边的样本值）×{(n+1)×0.5-[(n+1)×0.5]}第七十六页，共114页。第七十七页，共114页。第七十八页，共114页。练习1下面的数据是某一天20位工人收割麻黄草的数量7.04.85.06.84.83.75.83.64.05.93.93.45.12.74.47.05.62.64.85.61.求收获量的上四分位数值和下四分位数值。2.求中位数值。第七十九页，共114页。2.62.73.43.63.73.94.04.44.84.84.85.05.15.65.65.85.96.87.07.0解：（1）对数据从小到大排序，结果示于下表。第八十页，共114页。（2）设Q1为下四分点、Q3为上四分点、Q2为中位数。计算Q1，Q2，Q3的位置。由题意知，n=20，则：Q1的位置=(n+1)×0.25=(20+1)×0.25=5.25Q2的位置=(n+1)×0.5=(20+1)×0.5=10.5Q3的位置=(n+1)×0.75=(20+1)×0.75=15.75（3）计算Q1，Q2，Q3的值Q1=3.7+(3.9-3.7)×0.25=3.75Q2=4.8+(4.8-4.8)×0.5=4.8Q3=5.6+(5.8-5.6)×0.75=5.75第八十一页，共114页。练习2如果计算出下四分点在数据13.6与数据15之间，且下四分点的位置是12.75，求下四分点的值。第八十二页，共114页。解：设Q1为下四分点，根据Q1=Q1位置左边的样本值+（Q1位置右边的样本值-Q1位置左边的样本值）×Q1位置的小数部分可得，Q1=13.6+(15-13.6)×0.75=14.65第八十三页，共114页。上下百分位点1）下百分点：把排序后的样本数据集合，分成了左右两部分，使左边部分包含10%的样本总个数，右边部分包含90%的样本总个数。2）上百分点：把排序后的样本数据集合，分成了左右两部分，使左边部分包含90%的样本总个数，右边部分包含10%的样本总个数。上、下百分点也在一定意义上反映了样本数据的离散情况。第八十四页，共114页。2.4.2对样本数据离散特征的区间

描述：极差、四分位距与离差第八十五页，共114页。第八十六页，共114页。2.4.3离散状况的统计值描述：

样本方差样本方差：样本标准差：第八十七页，共114页。数据特征的度量指标样本数据集中趋势的三种度量指标：众数、中位数、均值样本数据离散趋势的三种区间描述度量指标：极差、四分位距、方差（标准差）第八十八页，共114页。练习1.从学院学生中随机地挑选15名学生，问到他们昨晚睡眠的小时数。得到的样本数据是：5，6，6，8，7，7，9，5，4，8，11，6，7，8，7。求出以下各值：a.均值b.中位数c.众数d.方差e.标准差第八十九页，共114页。4556667777888911解：对上述数据排序后，如表所示。

＝(4+5×2+6×3+7×4+8×3+9+11)/15=6.93Me=x8=7众数是7S=1.75第九十页，共114页。2.以下是一组儿童首次牙科检查的年龄的样本：首次牙科检查的年龄x：12345儿童的数目f：911231621a.求对这些儿童首次牙科检查年龄的均值。b.求中位数年龄。c.求标准差。第九十一页，共114页。解：由题意可知，n=9+11+23+16+21=80，根据

Me=(x40+x41)/2=(3+3)/2=3第九十二页，共114页。2.5样本数据特征的综合表达：

箱形图2.5.1箱形图的基本构造第九十三页，共114页。箱形图的绘制步骤1. 将样本数据值由小到大的顺序排列。2. 求出中位数Me。3. 求Q1和Q3。4. 将Q1，Me及Q3，绘成一长方形。5.找出样本数据中的极小、极大值，画出左、右胡须。

第九十四页，共114页。当胡须特别长时（外围值的范围分布很大时），特别是由于个别过大或过小值出现在样本数据集合中时，需对箱形图进行修正，来“剔除”特别大或特别小的数据对箱形图的影响，从而较为恰当地表达样本数据集合的基本特征。3.5.2修正的箱形图第九十五页，共114页。回到上页第九十六页，共114页。第九十七页，共114页。修正箱形图中的一些概念外围值：处在胡须上的、离箱体的距离大于1.5倍的四分位距（1.5Iqr）的样本值。近外围值：处在胡须上的、离箱体的距离大于1.5倍的四分位距（1.5Iqr）、但小于3倍的四分位距（3Iqr）的样本值。远外围值（极端值）：处在胡须上的、离箱体的距离大于3倍的四分位距（3Iqr）的样本值。第九十八页，共114页。修正箱形图的绘制步骤1. 将样本数据值由小到大的顺序排列。2. 求出中位数Me。3. 求Q1和Q3。4. 求四分位距Iqr，“非外围值”上边界Q3+1.5Iqr，“非外围值”下边界Q1-1.5Iqr。5.将Q1，Me及Q3，绘成一长方形。6.找出样本数据中“非外围值”范围内的最小值、最大值，画出左、右胡须。第九十九页，共114页。修正箱形图的主要作用可了解数据分布，是否为对称性；可清楚指出中位数的位置；可判断数据有无离群值（奇异值）存在。第一百页，共114页。2.5.3箱形图示例1.例身高数据的箱形图表2.5.2某班级男生的身高数据排序（单位：厘米）160163165168170171172175175176176177177178178180181182183185186190表2.5.1某班级男生的身高数据（单位：厘米）171182175177178181185168170175177180176172165160178186190176163183第一百零一页，共114页。由表知，n=22，极大值为190cm，极小值为160cm。中位数的位置=(n+1)×0.5=23×0.5=11.5Me=Q2=176+(177-176)×0.5=176.5Q1的位置=(n+1)×0.25=23×0.25=5.75Q1=170+(171-170)×0.75=170.75Q3的位置=(n+1)×0.75=23×0.75=17.25Q3=181+(182-181)×0.25=181.25第一百零二页，共114页。由图可知，箱形图上箱体短、上胡须短，所以，数据向高端倾斜。例箱形图第一百零三页，共114页。2.假设在例中，该班级转来1名身高213厘米的巨人，则该班级男生的身高数据如表所示。画出此时的箱形图。表2.5.4某班级男生的身高数据排序（单位：厘米）160163165168170171172175175176176177177178178180181182183185186190213表2.5.3某班级男生的身高数据（单位：厘米）171182175177178181185168170175177180176172165160178186190176163183213第一百零四页，共114页。由表知，n=23。中位数的位置=(n+1)×0.5=24×0.5=12Me=Q2=177Q1的位置=(n+1)×0.25=24×0.25=6Q1=171Q3的位置=(n+1)×0.75=24×0.75=18Q3=182四分位距Iqr=182-171=11由此可知，“非外围值”的上边界为：182+11×1.5=198.5，下边界为：171-11×1.5=154.5在“非外围值”的上下边界内，数据集合的最小值为160，最大值为190。第一百零五页，共114页。例修正箱形图由图可知，除去“外围值”213cm外，修正箱形图上箱体短、上胡须短，所以，数据向高端倾斜。离群值第一百零六页，共114页。例：下面给出某医院21个病人的住院时间（以天计），试画出修正箱型图12334456677991012121315182355以下是22个病人的血压（收缩压，mmHg）数据已排序，试画出箱型图。102110140142147117118122123132150142146148147129132137142145147138第一百零七页，共114页。箱形图给出了一个数据集合的哪些量？（A）极小值、极大值（B）极差、中位数（C）上四分点、下四分点（D）四分位距√√√√第一百零八页，共114页。试述以下基本概念：1.总体（或母体），个体，变量（或指标），变量值