八上反比例函数的几种解题技巧

-.z.反比例函数的几种类型解题技巧摘要：由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对"数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。关键词：反比例函数、函数图象、函数性质一、给出自变量*的取值范围，让我们判断函数值y的范围；能把函数的图像正确的画出来，我们解决这种问题就相对比较直观，也比较简单，但是对于中学生来说好多学生不能对函数的图像有一个很好的掌握：1、反比例函数y=(k＞0),当*＞a或*＜b（a、b是非零常数）时，求y的取值范围。这种问题只需要把这里的a或b代入函数的解析式中，得到y的值或，对应的y的取值范围就是y＜或y＞，由于反比例函数y=当k＞0时，y随*的增大而减小。例如：函数y=,当*＞－1时，y的取值范围就是y＜－2；当*＜2时y的取值范围就是y＞1。2、反比例函数y=(k＜0),当*＞a或*＜b（a、b是非零常数）时，求y的取值范围。我们同样把这里的a或b代入函数的解析式中，得到y的值或，对应的y的取值范围就是y＞或y＜，由于反比例函数y=当k＜0时，y随*的减小而增大。例如：函数y=,当*＞－1时，y的取值范围就是y＞2；当*＜2时y的取值范围就是y＜－1。3、反比例函数y=（k0），当a＜*＜b，a、b同号时，求y的取值范围。我们还是把这里的a、b代入函数的解析式中，得到y的值、，然后对、按小到大排序，排好序后他们之间用"＜y＜”连接即可。若＞，则y的取值范围就是＜y＜。例如：函数y=，当－3＜*＜－1时求y的取值范围，把－3和－2代入解析式得到的y的值为和－2,则y的取值范围就是－2＜y＜。4、反比例函数y=（k0），当a＜*＜b，a*b＜0时，求y的取值范围。同样先是把这里的a、b代入函数的解析式中，得到y的值、，然后对这里的、进行大小比较，y的取值范围是"大于大的，小于小的”。若＜则y的取值范围就是y＜，y＞。例如：函数y=，当－2＜*＜2时求y的取值范围，把－2和2代入解析式得到的y的值为－1和1,则y的取值范围就是y＜－1，y＞1。二、已知反比例函数图像上的若干个点，知道横坐标的大小关系，让我们来判断纵坐标的大小关系；对于这种问题，如果能正确的画出反比例函数的图像，并会熟练的分析反比例函数的图像，则这类问题也很容易解决，但面对一些实际情况，我们只能寻找一些学生更容易例接受的方式，下面我就对这些问题稍作分析：1、反比例函数y=(k＞0)，点A1(*1,Y1),A2(*2,Y2)……An(*n,Yn)都在反比例函数的图像上，已知*1＜*2＜*3……＜*n（*1、*2、*3……*n同号），求Y1，Y2，Y3……Yn的大小关系。这个问题我们直接利用反比例函数的性质（当k＞0时，y随着*的增大而减小），很容易得到Y1＞Y2＞Y3＞……＞Yn。例如：已知函数y=，点A(1,Y1),B(,Y2),C(2,Y3)在函数的图像上，求Y1，Y2，Y3的大小关系。由于＜1＜2，按照上面方法很容易得到Y2＞Y1＞Y3。2、反比例函数y=(k＜0)，点A1(*1,Y1),A2(*2,Y2)……An(*n,Yn)都在反比例函数的图像上，已知*1＜*2＜*3……＜*n（*1、*2、*3……*n同号），求Y1，Y2，Y3……Yn的大小关系。这个问题我们直接利用反比例函数的性质（当k＜0时，y随着*的增大而增大），很容易得到Y1＜Y2＜Y3＜……＜Yn。例如：已知函数y=，点A(1,Y1),B(,Y2),C(2,Y3)在函数的图像上，求Y1，Y2，Y3的大小关系。由于＜1＜2，按照上面方法很容易得到Y2＜Y1＜Y3。3、反比例函数y=(k＞0)，点A1(*1,Y1),A2(*2,Y2)……An(*n,Yn)都在反比例函数的图像上，已知*1＜*2＜…＜*k＜0＜*k+1＜…＜*n,求Y1，Y2，Y3……Yn的大小关系。这个问题就不能像上面一样直接比较，A1、A2……An这些点的横坐标中间被"0”隔开，做这类问题要分两块来进行解决。我们首先要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限，在每个象限内我们还是按照1和2的比较方式进行就可以了。反比例函数y=，当k＞0时，它的图像在一、三象限，并且在函数图象的每一支上，y随着*的增大而减小。但不论怎样，第一象限内图像的每一个点对应的y值都比第三象限内图像的每一点对应的y值要大。因此我们恒有Ak+1……An这些点所对应的y值要比A1……Ak点对应的y值要大。Y1，Y2……Yk的大小顺寻很容易判断是：Y1＞Y2＞……＞Yk；Yk+1,Yk+2……Yn的大小顺序是：Yk+1＞Yk+2＞……＞Yn。综上我们得到Y1，Y2，Y3……Yn的大小关系是：Yk+1＞Yk+2＞……＞Yn＞Y1＞Y2＞……＞Yk；如果不考虑这么多，用一句简单化来概括的话就是：反比例函数y=，k＞0时，图像上任意的点，横坐标为正的点对应的y值比横坐标为负的点对应的y值要大，若横坐标的符号相同时我们就按照反比例函数的性质进行比较即可。例如：已知函数y=，点A(－1,Y1),B(－,Y2),C(2,Y3)，D(2.5,Y4)在函数的图像上，求Y1，Y2，Y3，Y4的大小关系。解析：k=2是大于零的，A,B,C,D四点的横坐标有正有负，横坐标为正的点对应的y值比横坐标为负的点对应的y值要大，因此肯定有Y3，Y4要大于Y1，Y2，当k＞0时在反比例函数图像的每一支上，y随着*的增大而减小，因此有Y4＜Y3,Y2＜Y1,进而Y1，Y2，Y3，Y4的大小关系是：Y2＜Y1＜Y4＜Y3。4、反比例函数y=(k＜0)，点A1(*1,Y1),A2(*2,Y2)……An(*n,Yn)都在反比例函数的图像上，已知*1＜*2＜…＜*k＜0＜*k+1＜…＜*n,求Y1，Y2，Y3……Yn的大小关系。同样A1、A2……An这些点的横坐标中间被"0”隔开，首先还是要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限，在每个象限内我们还是按照1和2的比较方式进行就可以了。反比例函数y=，当k＞0时，它的图像在二、四象限，并且在函数图象的每一支上，y随着*的增大而增大。但不论怎样，第二象限内图像的每一个点对应的y值都比第四象限内图像的每一点对应的y值要大。因此我们恒有A1……Ak这些点所对应的y值要比Ak+1……An点对应的y值要大。Y1，Y2……Yk的大小顺寻很容易判断是：Y1＜Y2＜……＜Yk；Yk+1,Yk+2……Yn的大小顺序是：Yk+1＜Yk+2＜……＜Yn。综上我们得到Y1，Y2，Y3……Yn的大小关系是：Yk+1＜Yk+2＜……＜Yn＜Y1＜Y2＜……＜Yk；如果不考虑这么多，用一句简单化来概括的话就是：反比例函数y=，k＜0时，图像上任意的点，横坐标为负的点对应的y值比横坐标为正的点对应的y值要大，若横坐标的符号相同时我们就按照反比例函数的性质进行比较即可。例如：已知函数y=，点A(－1,Y1),B(－,Y2),C(2,Y3)，D(2.5,Y4)在函数的图像上，求Y1，Y2，Y3，Y4的大小关系。解析：k=－2是小于零的，A,B,C,D四点的横坐标有正有负，横坐标为负的点对应的y值比横坐标为正的点对应的y值要大，因此肯定有Y1，Y2要大于Y3，Y4，当k＜0时在反比例函数图像的每一支上，y随着*的增大而增大，因此有Y1＜Y2,Y3＜Y4,进而Y1，Y2，Y3，Y4的大小关系是：Y3＜Y4＜Y1＜Y2。反比例函数中的面积问题一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作*轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|*|=|*y|

∴*y=k

故S=|k|

从而得结论1：过双曲线上任意一点作*轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|1．已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）例1如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则．分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点∴而由四边形OEBF的面积为2得解得k=2评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。例2如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得-k=3

∴∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为（2）由，解得，∴点A、C的坐标分别为（，3），（3，）（3）设点P的坐标为（0，m）直线与y轴的交点坐标为M（0，2）∵∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或，∴点P的坐标为（0，）或（0，）评注：依据图象及结论求k值是本题的关键，只有求出k代值，才能通过解方程组求A、C两点的坐标，然后才能解决第③小问。2．已知反比例函数解析式，求图形的面积例3在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）

分析：因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。对于A：S=4，对于B：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S=，对于C：S=4，对于D：S=4故选（B）评注：过双曲线上作坐标轴垂线所围成的矩形的面积可直接由结论求解，过程简单。二、利用点的坐标及面积公式求面积例4如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．解：（1）在上．反比例函数的解析式为：．点在上经过，，解之得一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点当时，点例5:如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与*轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOB的面积..解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上∴k=-8∴反比例函数解析式为y=（2）∵B点的横坐标为-4，∴纵坐标为y=2

∴B(-4，2)∵点A（-2，4）、点B（-4，2）在直线y=k*+b上∴4=-2k+b且2=-4k+b解得k=1

b=6∴直线AB为y=*+6与*轴的交点坐标C（-6，0）∴S==12评注：对于例4、例5类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。难度属中档题。三、利用对称性求反比例函数有关的面积问题例6已知,A、B、C、D、E是反比例函数（*>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）分析：∵*,y为正整数，∴*=1,2,4,8,16即A、B、C、D/r/