411 复数项级数和复数序列

第四章级数第一节级数和序列的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：z=a+ib,z=a+ib，…,z=a+ib，…在这里，七是复数，111222nnnnRez=a,Imz=b，一般简单记为｛z｝。按照｛Iz1｝是有界或无界序列，nnnnnn我们也称｛z｝为有界或无界序列。设z0是一个复常数。如果任给'>0，可以找到一个正数N，使得当n>N时Iz-z0I<e，那么我们说｛7〃｝收敛或有极限z0，或者说｛7〃｝是收敛序列，并且收敛于z0，记作如果序列｛zn｝不收敛令如果序列｛zn｝不收敛令z0-a+ibIa-a则称｛'〃｝发散，或者说它是发散序列。/Z其中a和b是实数。由不等式I及Ib-bI<Iz-zI<Ia-aI+Ib-bInn0nn容易看出，limznn容易看出，limznnT+3lima-a,limb-b,nT+3nT+3因此，有下面的注解：注解1、序列｛zn｝收敛（于z0）的必要与充分条件是：序列｛an｝收敛（于a）以及序列｛bn｝收敛（于b）。注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列｛zn｝收敛于z0，或者说有极限点z0的定义用几何语言可以叙述为:任给z0

的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N,使得当n>N时，气在这个邻域内。注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。复数项级数就是z+z+...+z+...12n或记必Zn

n=1Zn，其中Zn是复数。定义其部分和序列为:S=Z+Z+...+Z或记必Zn

n=1Zn，其中Zn是复数。定义其部分和序列为:如果序列｛b”｝收敛，那么我们说级数'z收敛；如果｛b”｝的/Z/L/Z.b2zb2z…b极限是b，那么说zn的和是b，或者说zn收敛于b，记作如果序列｛°〃｝发散，n=1如果序列｛°〃｝发散，n=1那么我们说级数发散。注解1、对于一个复数序列｛^n｝，我们可以作一个复数项级数如下

z+(z—z)+(z—z)+...+(z—z)+...12132nn—1则序列｛七｝的敛散性和此级数的敛散性相同。

注解2、级数'Z收敛于°的'—N定义可以叙述为:tn矿>0,3N>0,使得当〃>N时,有|…心，注解3、如果级数'Z收敛，那么tnlimz=lim(b—b)=0,nT+8nnT+8nn*1注解4、令=Rez,a—Rez,b=Imz,a—Reb,b=Imb，我们有nnnnn因此收敛-乙+iZbk—因此收敛-乙+iZbk—1k—1”收敛（于b）的必要与充分条件是：级数'a„intnZb（于a）以及级数匕，收敛（于b）。tn柯西收敛原理（复数项级数）：级数」J收敛必要与充分条件是：，，人g>0—「人十士u〜rt任给，可以找到一个正整数N，使得当n>N，p=1,2,3,…时，1气+1I+2+…&n+p1<£

柯西收敛原理（复数序列）：序列｛Zn｝收敛必要与充分条件是：任给'>0，可以找到一个正整数N，使得当m及n>N，-I<e对于复数项级数J七，我们也引入绝对收敛的概念：如果级zI+...+1zI+...IzI+1二收敛，我们称级数zn注解1、级数'柯西收敛原理（复数序列）：序列｛Zn｝收敛必要与充分条件是：任给'>0，可以找到一个正整数N，使得当m及n>N，-I<e对于复数项级数J七，我们也引入绝对收敛的概念：如果级zI+...+1zI+...IzI+1二收敛，我们称级数zn注解1、级数'气绝对收敛必要与充分条件是：级数'atnlb及“〃绝对收敛：事实上，有bZIa及Ekk=1绝对收敛。IbI卫IzI=»iknk\kkk=1k=1k=1王IaI+ZIbI,一定收敛。注解2、若级数'zntn例、当1aI<1时，1+a+a2+…+an+…绝对收敛;并且有1+a+a2+...+an1