含有一个量词的命题的否定

1.4.3含有一个量词的命题的否定【学习目标】1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.问题导学预习新知夯实基础知识点一全称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法.所有矩形都是平行四边形；每一个素数都是奇数；VxER,x2—2x+1N0.答案(1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：存在一个素数不是奇数；3x0^R，x2—2x0+1<0.梳理写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定.对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p:VxEM,p(x)，它的否定^p:刁x0EM，*p(x0).全称命题的否定是特称命题.知识点二特称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法.有些实数的绝对值是正数；某些平行四边形是菱形；3x0ER，x2+1<0.答案(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：所有平行四边形都不是菱形；VxER，x2+1N0.梳理写特称命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定.对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p:3x^M，p(x0)，它的否定^p:Vx^M，^p(x).特称命题的否定是全称命题.思考辨析判断正误命题^p的否定为p.(")Bx0^M,p(x0)与VxEM，^p(x)的真假性相反.(”)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)^同时否定.(X)题型探究启通思维探究重点类型一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：任何一个平行四边形的对边都平行；数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；Va,bER，方程ax=b都有唯一解；可以被5整除的整数，末位是0.考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定解(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.其否定：Ba，bER，使方程ax=b的解不唯一或不存在.其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.反思与感悟全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.跟踪训练1写出下列全称命题的否定：p:每一个四边形的四个顶点共圆；p:所有自然数的平方都是正数；p:任何实数x都是方程5x—12=0的根；p：对任意实数x,x2+1N0.考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定解(1)解P:存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)^p:有些自然数的平方不是正数.⑶^p:存在实数％不是方程5%-12=0的根.⑷^p:存在实数％，使得x2+1<0.类型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定，并判断其真假.p：3x0ER,2x0+1N0；q：3x0£R,x0-x0+4<0；r：有些分数不是有理数.考点存在量词的否定题点含存在量词的命题的否定解(1)解p:Vx£R,2x+1v0，解p为假命题.^q:VxER，x2-x+4^0.,.,x2-x+4=(x-j2N0，「•^q是真命题.^r:—切分数都是有理数，^r是真命题.反思与感悟特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p:Bx0^M，p(x0)成立习^p:Vx^M，^p(x)成立.跟踪训练2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.有些实数的绝对值是正数；某些平行四边形是菱形；刁％，J0eZ，使得'2x0+y0=3，考点存在量词的否定题点含存在量词的命题的否定解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.⑶命题的否定是“Vx，yEZ，2x+y/3”.当x=0，y=3时，2x+y=3，因此命题的否定是假命题.类型三含量词的命题的应用例3已知命题“对于任意xER,x2+ax+1N0”是假命题，求实数a的取值范围.考点含有一个量词的命题题点由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围解因为全称命题“对于任意xER,x2+ax+1N0”的否定形式为：“存在x0ER,x2+ax0+1V0”.由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题.由于函数f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：J=a2-4>0，解得aV-2或a>2.所以实数a的取值范围是(-8，-2)U(2，+8).引申探究把本例中“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围.解由题意知J=a2-4<0，解得aE[-2,2].故a的取值范围为[-2,2].反思与感悟含有一个量词的命题与参数范围的求解策略对于全称命题“VxEM，a>fx)(或avfx))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数fx)的最大值(或最小值)，即a>f(x)max(avf(x)min).对于特称命题“M0EM，a>fx0)(或avfx0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数fx)的最小值(或最大值)，即a>fx)min(或avfx)max).若全称命题为假命题，通常转化为其否定形一特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式一全称命题为真命题解决.跟踪训练3已知函数fx)=x2—2x+5.是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意xER恒成立，并说明理由；若存在一个实数x0,使不等式m—fx0)>0成立，求实数m的取值范围.考点含有一个量词的命题题点由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围解(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),即m>-x命题“VxER,|xl+x2N0”的否定是()命题“VxER,|xl+x2N0”的否定是()A.VxER,lxl+x2<0B.VxER,|xl+x2W0C.3x0ER,lx0l+x2<0D.3x0ER,lx0l+x0^0考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案C3m0,n0EZ,使得m2=n2+2017的否定是()Vm,nEZ，使得m2=n2+20173m0,n0EZ,使得m0/n0+2017Vm,nEZ，Wm2/n2+2017以上都不对考点存在量词的否定题点含存在量词的命题的否定答案C命题“VxER,x>sinx”的否定是.考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案3x0ER,x0Wsinx0由命题“存在x0ER,使e’W’一mW。”是假命题，得m的取值范围是(一8,。)，则实数a的值是.考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题的否定一、选择题下列命题中，真命题的个数是()①存在实数x0，使得x0+2=0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既是奇函数又是偶函数.要使m>-(x-1)2-4对于任意xER恒成立，只需m>-4即可.故存在实数m，使不等式m+f(x)>0对于任意xER恒成立，此时，只需m>-4.(2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0)若存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立只需m>fx)min.又f(x)=(x-1)2+4，Afx)min=4，:.m>4...•所求实数m的取值范围是(4，+8).达标检测检测评价达标过美答案1解析其否定为：VxER，使eH-m>0,且为真命题.mVeRii.只需mV(e|x-1|)min=1.故a=1.写出下列命题的否定，并判断其真假.3x0^R,10+2%+2=0；p:所有的正方形都是菱形；p:至少有一个实数x0,使x0+1=0.考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题的否定解(1)解p:VxER，x2+2x+2/0，真命题.由为VxER,x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立.(2)^p:至少存在一个正方形不是菱形，假命题.因为所有的正方形都是菱形.⑶^p：VxER，x3+1/0，假命题.因为当x=-1时，x3+1=0.规律与方法1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“N”否定为“<”..对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断.课时对点练注重双基强化落实

0B.1C.2D.3考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断答案B解析奈+2巳2，故①是假命题；VxER,IsinxlWl,故②是假命题；f(x)=0既是奇函数又是偶函数，所以③是真命题.故选B.命题“对任意的xER,x3—x2+iW0”的否定是()A-存在x0ER,x3—X0+1W0存在x0ER,x3—X0+1N0存在x0ER,x3—x0+1>0对任意的xER,x3—x2+1>0考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案C解析由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x0ER,x3-x0+1>0”.故选C.已知命题p：存在aE(—8,0),a2—2a—3>0,那么命题p的否定是()存在aE(0,+8),a2—2a—3W0存在aE(—8,0),a2—2a—3W0对任意aE(0,+8),a2—2a—3W0对任意aE(—8,0),a2—2a—3W0考点存在量词的否定题点含存在量词的命题的否定答案D解析易知^p:对任意aE(-8，0)，a2-2a-3W0，故选D.已知p：VxER,ax2+2x+3>0,如果^p是真命题，那么a的取值范围是()A.a<3B.0<a<3C.aWg1-3

a.D考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的真假求参数的取值范围答案C解析易知^p:3%ER,呼+2%+3W0,显然当a=0时，满足题意；A.a<3B.0<a<3C.aWg1-3

a.D所以a的取值范围是(-8，普.下列命题中，假命题是()A.VxER,2xt>0B.VxEN*,(x—1)2>0C.3x0ER,1gx0<1D.3x0ER,tanx0=2考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断答案B解析对于VxER，y=2x>0恒成立，而j=2x.i的图象是将j=2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x.1>0恒成立，A为真命题；当x=1时，(x-1)2=0，故B为假命题；当0<x<10时，1gx<1，故3x0ER，1gx0<1，C为真命题；j=tanx的值域为R，故存在x0使得tanx0=2，D为真命题.故选B.命题"VnEN*,f(n)EN*且f(n)Wn”的否定形式是()VnEN*,f(n)守N*且f(n)>nVnEN*,f(n)守N*或f(n)>nmn°EN*,为。)眼*且f(n0)>n0mn°EN*,俱)时或f(n0)>n0考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案D解析“f(n)EN*且f(n)Wn”的否定为“/(〃)眼*或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.已知a>0,函数fx)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是()A.3x1ER,fx1)<fx0)B.3x1ER,fx1)^fx0)C.VxER,fx)Wfx0)D.VxER,fx)Nfx0)考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断答案C解析当。>0时，函数f(x)=ax2+bx+c的图象为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方b程2ax+b=0，则x0=-^a为抛物线顶点的横坐标，fx)min二fx0)，故对于VxER,fx)Nfx0)成立，从而选项A，B，D为真命题，选项C为假命题.二、填空题已知p：VxER,9x2—6x+1>0,q：3x0ER,sinx0+cosx0=，/2，则"q是命题.(填“真”“假”).考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断答案真解析由于9x2-6x+1=(3x-1)2^0，所以p为假命题.因为sinx0+cosx0二如sinj0+V仪，所以q为真命题，因此pVq是真命题.命题“至少有一个正实数x0满足方程x2+2(a—1)x0+2a+6=0”的否定是.考点存在量词的否定题点含存在量词的命题的否定答案VxE(0,+8),x2+2(a—1)x+2a+6N0设命题p：VxER,x2+ax+2<0,若^p为真，则实数a的取值范围是.考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的真假求参数的取值范围答案(一8,+8)解析^p:3x0GR，x02+ax0+2巳0为真命题，显然aER.命题“对任意xER，都有|x—21+Ix—4|>3"的否定是.考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案3x0ER,lx0—2I+Ix0—4IV3三、解答题若命题“VxE[—1,+8),x2—2ax+2Na”是真命题，求实数a的取值范围.考点简单逻辑联结词的综合应用题点由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围解x2-2ax+2Na，即x2-2ax+2-aN0,令f(x)=x2-2ax+2-a,所以全称命题转化为“VxE[-1,+8),fx)N0恒成立”，r』=4a2-4(2-a)>0,…*所以力W0或av-1,，f(-1)N0，即-2WaW1或-3Wav-2，所以-3WaW1.故所求实数a的取值范围为[-3,1].已知p：VaE(0,b](bER且b>0)，函数fx)=必sinQ+n)的周期不大于4n.写出解p；当^p是假命题时，求实数b的最大值.考点全称量词的否定题点全称量词的命题的否定解(1)解p:3a0G(0,b](b£R且b>0),函数fx)=-...强近任+3)的周期大于4n.(2)由于^p是假命题，所以p是真命题，2n所以VaE(0,b],亍W4n恒成立，a解得aW2，