高数（一）00020所有章节总复习

PAGEPAGE32第一章函数1预备知识一元二次函数、方程和不等式无实根不等式a>0)不等式：1大于取两边，大于大的，小于小的；2小于取中间。绝对值不等式：|x|>a(a>0)x>a或x<-a|x|<a等价于-a<x<a一元二次方程的两个根分别为x1,x2则有韦达定理：x1+x2=x1*x2=为曲线对称轴不等式：算术平均值大于等于几何平均值：a=b时才相等.因式分解与乘法公式等差数列和等比数列求定义域：1:分式的分母不能为02:根号内的大于等于03:对数内的要大于0（对数为分母时真数不等于1）y=sinx,奇函数y=cosx,偶定义域（-∞，+∞）值域：-1<=x<=1y=tanx,定义域{x|xR,Xkπ+}k为整数值域：（-∞，+∞）奇函数y=cotx定义域{x|xR,Xkπ}k为整数值域：（-∞，+∞）奇函数判断奇偶性：f(-x)=f(x)偶cosx,secxF(-x)=-f(x)奇sinxtanxcotx等反函数：1先解出一个干净的Y，2再把Y写成X，X写成Y就成了，复合函数要会看，谁是外衣，谁是内衣，P36页的公式要记住，初等函数的几个常见的图形要记住，名称表达式定义域图形特性常数函数 y C 0 x 幂函数随而异，但在上均有定义过点(1，1);时在单增；时在单减．指数函数． 过点．单增．单减．对数函数过点．单增．单减．正弦函数奇函数．．．余弦函数偶函数．．．正切函数奇函数．．在每个周期内单增余切函数,奇函数．．在每个周期内单减．反正弦函数奇函数．单增．．反余弦函数单减．．反正切函数奇函数．单增．．反余切函数单减．．初等数学基础知识一、三角函数1．公式同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：

sin2(α)+cos2(α)=1;

tan2(α)+1=sec2(α);cot2(α)+1=csc^2(α)·商的关系：

tanα=sinα/cosα

cotα=cosα/sinα

·倒数关系：

tanα·cotα=1;

sinα·cscα=1;

cosα·secα=1

三角函数恒等变形公式：·两角和与差的三角函数：六边形记忆法：1：对角线上两个函数的乘积为12：阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点三角函数值的平方如：tan2六边形记忆法：1：对角线上两个函数的乘积为12：阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点三角函数值的平方如：tan2x+1=sec2x3:任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值和乘积。如：sinx=cosx*tanx画图口决：弦中切下层割，左正右余1中间倍角公式：sin(2x)=2sinx·cosxcos(2x)=cos2(x)-sin2(α)=2cos2(x)-1=1-2sin2(x)tan(2x)=2tanx/[1-tan^2(x)]·半角公式：sin2(α/2)=(1-cosα)/2cos2(α/2)=(1+cosα)/2tan2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]2．特殊角的三角函数值只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。1111123诱导公式：函数角Asincostgctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα/90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgαπ/180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα2π/360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα记忆规律：竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）5经济学中的常用函数一：需求函数Q=Q（P）与供给函数S=S（P）当供给量与需求量相等，此时P为均衡价格；Q为均衡数量。二：成本函数总成本C（q）=固定成本+可变成本=C1+C2(q)平均成本是指总成本与产品数量之比C(q)/q,记作(q)三：收益函数与利润函数★★★★(常考点，选择，简单计算)总收益函数R=R（q）=qP(q)R表示收益；q表示售出商品的数量，P（q）为商品单价与售出数量的关系。平均收益函数为：==P（q）利润函数：总利润函数L=L（q）=R（q）-C(q),平均利润函数：=（q）=当L=L(q)=R(q)-C(q)>0时,是盈余生产当L=L(q)=R(q)-C(q)<0时,是亏损生产当L=L(q)=R(q)-C(q)=0时,是无盈余无亏损生产q0为无盈亏点极限与连续一:极限X趋于0时的等价无穷小量：（在极限乘、除运算时可用,加减不可用）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、=11、重要极限一：根据sinx值域推出重要极限二：二:无穷大量和无穷小量★★★★(常考点，选择，简单计算，计算)无穷小乘以有界量为0无穷大的倒数为无穷小，无穷小的倒数为无穷大，无穷小量的比较：设若:1:当c=0时,称f(x)是g(x)在xx0时的高阶无穷小量如最后极限得出2：当c0且c1时,称f(x)是g(x)在xx0时的同阶无穷小量=23:当c=1时,称f(x)是g(x)在xx0时的等价无穷小量sinx=xX趋于无穷大求极限，有分式的：1分子分母同次数是系数之比；2分子高次是无穷大；3分母高次是无穷小0；定理6（零点定理,介值定理）三步骤：1，设f(x)是[a，b]上是连续2．找异号f(a)f(b)<03.直接写根据零点定理得出零点定理的心得是求结论f(x)=x+1,是求等式的，就令g(x)=f(x)-x-1=0,接着来三部曲就成了，例：证明方程至少存在一个正根证明：令f(x)=则f(x)为连续函数。f(0)=-1<0f(1)=1>0所以f(0)f(1)=-1<0由介值定理可知使得即,就是方程的根，且为正根.可去型间断点(左右极限相等，但与函数值不相等或函数值不存在)函数的间断点:第一类间断点：如x=0,为的可去型间断点；x=1为可去间断点跳跃型间断点(左右极限存在，但不相等)如x=0为sgn(x)的跳跃型间断点;第二类间断点：若函数f(x)在点x0处的左右极限中至少有一个不存在（极限为无穷）(无穷，振荡（在两个数来回徘徊）如：x=0为f(x)=,g(x)=,h(x)=的第二类间断点。函数的间断点，找无意义的点，有两大类：分母为0就是可去间断，出现无穷就是无穷间断，出现绝对值的就是跳跃。

出现分段的没分母，没真数，没根号的就求一下左右极限看看是可去还是跳跃。

相等就是可去,不相等就是跳跃连续函数的概念与性质★★★★★(必考点，选择，简单计算,综合题)第三章导数和微分3.11导数的定义：★★★★(常考点，选择，简单计算,)设函数y=f(x)在x0及其附近有定义，如果极限存在，则称函数f(x)在x=x0处可导,极限的值称为函数f(x)在x=x0处的导数。记作等。=定义也可表述为：若极限存在，则称函数f(x)在x=x0处可导,极限的值称为函数f(x)在x=x0处的导数例：用定义求f(x)=ln(x)在x(x>0)处的导数解：因为2：函数在一点处的单侧导数定义：设函数y=f(x)在x0及其附近有定义;如果极限存在，则称函数f(x)在x=x0处左可导,极限的值称为函数f(x)在x=x0处的左导数。记作定理：=A的充分必要条件是：f(x)在x0处即左可导且右也可导，且3．函数在一点处导数的几何意义从函数在一点处的导数定义可以看出，表示的是曲线y=f(x)在点（x0,）处切线的斜率，rn所以曲线y=f(x)在点（x0,）处切线方程为：切线方程：过切点且与曲线在该点的切线垂直的直线称为曲线在该点的法线：当时，曲线y=f(x)在点（x0,）处的法线方程为法线方程：例：求曲线

y=lnx在点（1，0）处的切线方程与法线方程：ln(x)的导数=:x0=1代入公式.所以：切线方程为=ln(1)+(x-1)=0+1(x-1)=x-1切线方程为y=x-1方线方程为=ln(1)-x(x-1)=0-1(x-1)=-(x-1)法线方程为y=1-x3.1．2微分的概念★★★★(常考点，选择，简单计算,)定义3.3：设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果函数值f(x)在点x0处的改变量可以表示成自变量改变量的一次项与自变量改变量的高阶无穷小量之和,即：则称函数f(x)在x0处可微，称为f(x)在x0处的微分，记作：例：求y=的微分微分与导数的区别是导后+dx解：因为且所以：故定理3.3：函数f(x)在x0处可微的充要条件是函数f(x)在x0处可导,且,其中。y=的微分为(正确的写法)3．2导数的运算★★★★(常考点，选择，简单计算,)定理3.4：若函数f(x),g(x)在x0处可导，则其和、差、积、商构成的函数均在x0处可导：且：3．2．2复合函数的链式求导法则★★★★(常考点，选择，简单计算,)定理3.5：设函数y=f(g(x))是函数y=f(u)和u=g(x)的复合，若g(x)在x0处可导，f(u)在u0=g(x0)处可导，则函数y=f(g(x))关于x在x0处的导数为:例：解：设u=2x且2复合函数的微分已知y=f(u)可微，得dy=,若函数u=g(x)可微，且复合函数f(g(x))有意义。y=f(g(x))的微分表示为：例：设求dy及解:由一阶微分形式的不变性，得,3.2.3反函数求导法定理3.6:设函数f,g互为反函数,若存在且不为0，则g(y)在处可导，且.例如求：y-arcsinx的导数解:因为y=arcsinx,所以x=siny,根据反函数求导公式，得注意所得导数需变形为需要的形式，这里用勾股定理变形而得到cosy=,再由x=siny代入3．2．4基本导数公式1．常数函数的导数:2.幂函数的导数：3.指数函数的导数4.对数函数的导数5.三角函数的导数.*6.反三角函数的导数3.3几种特殊函数的求导法、高阶导数★★★★(常考点，选择，简单计算,综合)隐函数的求导法（由于方程两边都含有y变量；方程两边关于变量x求导，y看作是中间变量）例：已知函数y=y(x)由方程y=sin(x+y)确定，求解:在方程y=sin(x+y)两端关于变量x求导，将y看作是中间变量，得也就是解得：=对数求导法直接看例题：求函数的导数解：因为所以lny=xlnx两端关于变量x求导，将y看作中间变量，得：所以：3．3．2高阶导数★★★★(常考点，选择，简单计算,计算题，综合题)就是求一阶导数再求导，n次求导记为:例题已知函数y=y(x)由方程确定，求解：在方程两端关于变量x求导，将y看作中间变量,得 再在上式两端关于x求导，将y，均看作中间变量，得将代入上式并整理，得再整理得：为了方便计算设得出：将代入得出结果：第四章微分中值定理和导数的应用（可与二章接合来学习）4．1微分中值定理★★★(常考点，计算,综合题)4．1．1罗尔定理：1、闭区间连续，2、开区间可导，3、区间端点相等则在(a,b)内至少存在一点,使该点的切线平行于X轴例：验证在上满足罗尔定理的条件；并求定理中的值解：在上有意义，并且为一初等函数，故连续，且在区间上可导，且.又因为，，，所以满足罗尔定理的条件。当时，。所以，使得4．1．2拉格朗日中值定理的点称为驻点若函数f(x)满足；1，在[a,b]上连续，2，在(a,b)上可导；则在(a,b)内至少存在一点使得：例:求函数f(x)=x2+1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理中的值解：令得[1,2]4．2洛必达法则★★★★(常考点，选择，简单计算,计算题)0/0型，无穷/无穷型，分子分母同时求导，如果求导后还是0/0型，无穷/无穷型，再次求导直到变成有意义。注意结合其他求极限的方法:如等价无穷小量代换，恒等变形或适当的变量代换等。例：当有意义时代入x求极限4．2．2其它不定式不定式还有:“”;“”“”“”“”型等，它们经过适当的变形，可变为基本不定式或型，然后再用洛必达法则来计算求下列极限：1．第二步变形2.3.4.5．这个像重要极限一个趋向无穷一个趋向04．3函数的单调性与导数的关系（用导数来判断函数的单调性）★★★定理4.5（单调性判定定理）设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.若在(a,b)内>0，则f(x)在[a,b]上单调增若在(a,b)内<0，则f(x)在[a,b]上单调减如果在(a,b)内0（或0），且等号仅在个别点处成立，结论仍然成立判定函数f(x)单调性的步骤：（1）：确定函数的定义域（2）：求,找出=0或不存在的点，这些点将定义域分成若干小区间（3）：列表，由在各个小区间内的符号确定函数f(x)的单调性。4．4函数的极值及其求法★★★★★(必考点，选择，计算,综合题)判别函数极值的一般步骤：1：确定函数f(x)的定义域2：求,找出=0或不存在的点，这些点将定义域分成若干小区间3：列表，由在在上述点两侧的符号，确定其是否为极值点，是极大值点还是极小值点。4：求出极值例：求函数f(x)=的极值解：函数f(x)=的定义域是，且令=0,得驻点x1=-1,x2=0,x3=1（没有不存在的点，像分母为0等）列表如下：(极值点左右符号互异)（如果是左为正，右为负，则是极大值点）x-1(-1,0)0(0,1)1-0-0+0+非极值点极小值点非极值点所以，函数f(x)在x=0取得极小值(将x=0代入原函数)f(0)=0当函数在驻点处有不等于0的二阶导数时，我们往往利用二阶导数的符号来判断f(x)的驻点是否为极值点，即下面的判定定理定理4.8：（第二充分条件）设函数f(x)在点x0处有二阶导数，且=0,若,则函数f(x)在点x0处取得极大值若则函数f(x)在点x0处取得极小值如上面例子：所以当x=0时函数取得极小值点0例求函数的极值解:令得驻点：x1=-1;x2=1因为:所以函数f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2因为:所以函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)=-24．5函数的最值及其应用★★★★★(必考点，选择，计算,综合题)最值是整体性概念，对于可导函数而言，其在区间上的最值要么在区间端点取得，要么在区间内点x0处取得求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值步骤如下：求在(a,b)内=0和不存在的点，记为x1,x2,….,xn.计算函数值f(a),f(x1),f(x2),…,f(xn),f(b).函数值f(a),f(x1),f(x2),…,f(xn),f(b).中最大者为最大值，最小者为最小值。例:求在区间上的最值.解:由令：得又不存在的点为x=0列表如下：x-101/2f(x)50所以,当函数f(x)在[a,b]上连续，且在（a,b）内存在唯一极值点时，则此极值点即为最值点。4．6曲线的凹凸性和拐点★★★(常考点，选择，简单计算)定义4.2设函数f(x)在区间（a,b）内连续，若对任意x1,x2(a,b)，恒有则称f(x)在区间(a,b)内是凹的若对任意x1,x2(a,b)，恒有则称f(x)在区间(a,b)内是凸的★定理4.9：设函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数1.若当时，则曲线y=f(x)在（a,b）内是凹的(有极小值)2.若当时，则曲线y=f(x)在（a,b）内是凸的(有极大值)定义4.3：设M为曲线y=f(x)上一点，若曲线在点M的两侧有不同的凹凸性,则点M称为曲线y=f(x)的拐点.(二阶导数=0)定理4.10（拐点的必要条件）若函数f(x)在x0的某个邻域U(x0)内具有二阶导数，且（x0，f(x0)）为曲线y=f(x)的拐点，则(拐点的两个充分条件)1．若在的左、右两侧异号，则（x0，f(x0)）为曲线y=f(x)的拐点对于不存在的点也可能是拐点。判别曲线的凹凸性与拐点的步骤如下：确定函数的定义域。求,并找出=0和不存在的点，这些点这些点将定义域分成若干小区间列表，由在上述点两侧的符号确定曲线的凹凸性与拐点例：求曲线的凹凸区间与拐点解:曲线对应函数的定义域为,且令,得;不存在的点为x=0,列表如下：x0-0+不存在+y拐点非拐点所以，曲线在和内是凹的，在内是凸的；曲线的拐点为4．7曲线的渐近线★★(较低)水平渐近线：设有曲线y=f(x)，如果,则直线y=a是曲线y=f(x)在时的水平渐近线；如果则直线y=b是曲线y=f(x)在时的水平渐;则直线y=a是曲线y=f(x)在时的水平渐.例：求曲线的水平渐近线.解：因为：，所以直线y=1为曲线的水平渐近线2.铅直渐近线：设有曲线y=f(x)，如果存在常数c，使得,或或,则直线x=c是曲线y=f(x)的铅直渐近线又称（垂直渐近线）技巧：对函数求极限=无穷，但是X趋于无意义的点，求这个点，X=无意义间断点例：求曲线的水平渐近线和铅直渐近线解：因为,所以直线y=4,为曲线的水平渐近线；x=2为曲线的铅直渐近线。4．8导数在经济分析中的应用★★(较低)收益=需求*单价，成本=变动+固定利润=收益-成本，对利润函数求一阶导可求出极值，边际成本：设C(q)表示生产某种产品q个单位的总成本，平均成本表示生产q个单位产品时，平均每单位产品的成本表示产量为q的边际成本边际成本表示产量从q个单位时再生产1个单位产品所需的成本，即表示第q+1个单位产品的成本。2.边际收益:表示产量为q的边际收益3．边际利润：例：设生产某商品的固定成本为20000万元，每生产1个单位产品，成本增加100元，总收益函数为,设产销平衡，试求边际成本，边际收益及边际利润。解：总成本函数,边际成本边际收益总利润函数：边际利润4．8．2弹性弹性又叫相对变化率,例：求函数的弹性函数及解:第五章一元函数积分学5．1原函数与不定积分的概念5．1．1原函数与不定积分定义5.1设f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果存在F(x)，对于任意的都有则称F(x)是f(x)在I上的一个原函数，不定积分的定义：设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，则称F(x)+C（C为任意常数）为f(x)的不定积分,记作：，即：(C为任意常数)其中称为不定积分号，f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量，C称为积分常数.例：设曲线y=f(x)上任意一点（x,y）处的切线斜率为，且曲线过点(1,2)，求f(x),解:由题设及导数的几何意义，得：所以由于曲线y=f(x)过点(1,2),所以f(1)=2,即，1+C=2,得C=1,所以f(x)=5.1.2不定积分的基本性质★★★★(常考点，选择，简单计算,综合题)设k是不为零的常数,则或性质3和4说明不定积分与导数（或微分）互为逆运算5．2基本积分公式★★★★★(必考点，选择，计算,综合题)1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.基本积分公式是计算不定积分的基础，必须牢记例：5．3换元积分法★★★★(常考点，选择，简单计算,)5．3．1第一换元积分法定理5.3设函数f(u)有原函数F(u),可导,则有第一换元公式若，则在用第一换元积分法求不定积分时，以下凑微分情形经常出现。1． 2．3．4．5．6．7．8．9．10．例：求不定积分解：因为(5x)’=5,所以5．3．2第二换元积分法★★★★(常考点，选择，简单计算，计算题,)令去根号定理5.4设函数单调、可导，且,又设具有原函数G(t)，则第二换元积分公式：例：第二换元法求不定积分：解:设=t,则:5．4分部积分法★★★★(常考点，选择，简单计算，计算题,)（UDV两兄弟相见，泪流满面，互换位置）不能直接做的要先提一个出来，按指三幂反对的顺序来提，再做UDV定理5.5设函数u=u(x),v=v(x)的导数都存在且连续，则分部积分公式用分部积分公式时，一般先用凑微分法，把积分改写成的形式.例：求解：设u=x,dv=cosxdx=d(sinx),则v=sinx,利用分部积分公式，得5．5微分方程初步5．5．1．微分方程的一般概念★(低频考点，选择，简单计算)定义5.5满足微分方程的函数，称为微分方程的解定义5.6如果微分方程的解中所含独立任意常数的个数等于微分方程的阶数，则此解称为微分方程的通解。定义5.7用来确定微分方程的解中任意常数的条件称为定解条件（或初始条件），定义5.8满足初始条件的解称为微分方程的特解例3．验证函数（其中C为任意常数）是否为微分方程xy’-2y=0的解，是通解还是特解?解：将代入xy’-2y=0，得左边：=0=右边 这是一个恒等式，不含任意常数故为方程的特解。将代入方程得：左边==0=右边含任意常数1个等于方程阶数为通解.将代入方程得左边=右边，不是方程的解。5．5．2可分离变量的微分方程★★(低频考点，选择，简单计算)形如g(y)dy=f(x)dx的微分方程称为可分离变量的微分方程对g(y)dy=f(x)dx两国边不定积分，得设G（y）,F(x)分别是g(y),f(x)的一个原函数，那么微分方程g(y)dy=f(x)dx的通解为G(y)=F(x)+C.其中C为任意常数例：求微分方程的通解解：分离变量：得ydy=-xdx两边不定积分：故通解为（其中C=2C1为任意常数例8解初值问题：解：分离变量，得两边不定积分得其中C为任意常数，所以y=Cx.将初始条件代入得C=2,故y=2x5．5．3一阶线性微分方程★★(低频考点，选择，计算题)定义5.11形如的微分方程称为一阶线性微分方程，其中是已知函数.当c(x)恒为零时，称为一阶齐次线性微分方程；当c(x)不恒等为零时，称为一阶非齐次线性微分方程.一般地，一阶齐次线性微分方程表示为:其通解公式：为其中为任意常数(因为y=0也是微分方程的解，所以C可为0)一阶非齐次线性微分方程表示为:其中P(x),Q(x)是已知函数其通解公式：为

例9：求微分方程的通解解：这是一阶非齐次线性微分方程，其中由通解公式得： =通解为:例10：求微分方程满足初初始条件(当x=0时y=1)的解解：这是一阶非齐次线性微分方程，P(x)=1,Q(x)=x,由通解公式得：由初始条件代入上式得：C=2满足初始条件的解为例11：求微分方程的通解。解：若将y看作是x的函数,则此方程不是线性微分方程，但若将x看作是y的函数，原式可改写为其中P(y)=-cosy,Q(y)=sin2y,它是关于x的一阶线性微分方程。由通解公式得最后得出：5．6定积分的概念及其基本性质5.6.2定积分的概念★★★(常考点，简单计算，计算题,综合题)对于定积分的定义，应注意以下几点：定积分的值是一个常数，其大号只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关；但与积分变量的符号x无关，所以改变函数自变量的字母不改变定积分的值。即如果函数y=f(x)在区间[a,b]上恒等于1，那么由定积分定义可知5.6.3定积分的几何意义★★★★(常考点，计算题,综合题)若y=f(x)在[a,b]上连续且非负，即f(x)>=0，此时是由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积A，即：若y=f(x)在[a,b]上连续且非正，即f(x)<=0，此时是由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形面积的相反数-A，即：若y=f(x)在[a,b]上连续，其值即有正值又有负值，此时是由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形面积的代数和，即：5.6.4定积分的基本性质★★★★★(必考点，选择题，计算题,综合题)性质1：性质2：（k为常数）性质3：积分区间的可加性性质4：比较定理；设在区间[a,b]上有f(x)<=g(x),则推论1：设在区间[a,b]上有f(x)>=0则推论2：性质5：估值定理，设函数f(x)在区间[a,b]上有最大值M和最小值m，则由于：得性质6：积分中值定理，设函数在[a,b]上连续，则至少存在一点(a<=<=b),使得：5．7微积分基本定理5.7.1变上限积分及其导数公式★★★(常考点，简单计算，计算题,综合题)定义5.13，设函数f(x)在[a,b]上可积，则任给,定积分在[a,b]上定义了一个函数，称为积分上限函数（或变上限积分），记作即：如果(),那么表示区间[a,x]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积定理5.6设函数f(x)在[a,b]上可积，则积分上限函数是[a,b]上的连续函数.定理5.7（微分基本定理）设函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限函数在[a,b]上可导，且导数为:即是f(x)在[a,b]上的一个原函数。例：设，求;解：由定理5.7得：(用上限x代入t)所以：例:设，求解：由定理5.7得：5．7．2微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）★★★★★(必考点，选择题，计算题,综合题)定理5.8设函数f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的原函数，则：此公式称为牛顿-莱布尼茨公式,为了计算时书写方便，记：例7：计算解：由于被积函数在积分区间[1，3]内含有分段点x=2,故由积分区间可加性，得例8：设,计算并求f(x)的表达式解：由于定积分的值是一个常数，设=A,则对上式两边从0到1求定积分得：即：解得所以：=,5．8定积分的换元积分法和分部积分法★★★★(常考点，简单计算题，计算题,综合题)5.8.1定积分的换元积分法定理5.9设函数f(x)在[a,b]上连续,函数满足条件；1．在区间或上单调，且具有连续导数;当t在上变化时，的值在[a,b]上变化，且则有(定积分的换元积分公式)例：求定积分解:例：求定积分解：设=t,则,（此题用第二换元法）当x=0时，t=0;当x=8时，t=2,且在[0,2]上单调,所以如果遇到关于原点对称的区间[-a,a]上的积分时，注意被积函数的奇偶性，如果f(x)为奇函数:如果f(x)为偶函数:5.8.2定积分的分部积分法定理5.10设函数u=u(x)与v=v(x)在[a,b]上有连续的导函数，则定积分的分部积分公式：例7：计算定积分解：例9设，求a的值解：例10设计算解：由积分上限函数的导数公式，得,且所以:=5．9反常积分★★★(常考点，选择题,简单计算，综合题)定义5.14设f(x)是无穷区间上的连续函数，记:称为函数f(x)在无穷区间上的反常积分（简称为无穷积分）若对任意b>a极限存在，则称反常积分收敛，极限值定义为该反常积分的值即：若极限不存在，则发散，此时只是一个符号，无数值意义类似我们可以定义f(x)在,的反常积分时：时：为了书写方便，记若F(x)是f(x)的一个原函数，则：例：设p为常数,讨论反常积分的敛散性解：当p=1时，因为所以发散当时：所以当p<=1时，函数发散，当p>1时收敛，其值为5．10定积分的应用★★★(常考点，计算题，综合题)定积分求平面图形面积求曲线及直线y=x所围成的平面图形的面积图示解：作草图(如图),解方程组得曲线及直线y=x的交点是（0，0）和（1，1）解法1：选择x为积分变量，则所求平面图形的面积为解法2：选择y为积分变量，则则所求平面图形的面积为求由曲线与直线y=x-4所围成的平面图形面积；解：作草图如图示：解方程组：得两条曲线的交点是（2，-2）和（8，4）选择y为积分变量，则5.10.2旋转体的体积利用定积分求旋转体的体积主要分以上几种情形：1：由连续曲线曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b和X轴所围成的平面图形绕x轴旋转所得体积：2：由连续曲线y=f1(x)和y=f2(x)（f2(x)>=f1(x)>=0）以及直线x=a,x=b所围成的平面图形绕x轴旋转所得体积3：由连续曲线曲线x=g(y)以及直线y=a,y=b和X轴所围成的平面图形绕y轴旋转所得体积：4：由连续曲线y=g1(y)和x=g2(y)（g2(y)>=g1(y)>=0）以及直线y=a,y=b所围成的平面图形绕y轴旋转所得体积例４：设平面图形由曲线与直线x=1及x轴所围成，求1，此平面图形的面积，2，绕X轴旋转和体积。解：作草图，与x轴交点(0,0)和（1，1）如图：根据公式得：绕x轴的旋转体积为：例5：已知D曲线是由曲线与直线y=x所围成的平面图形,求D分别绕x轴和y轴旋转所得的旋转体体积。解：作草图，如图示平面图形Ｄ绕Ｘ轴旋转所得旋转体体积为平面图形Ｄ绕Ｙ轴旋转所得旋转体体积为第六章多元函数微积分6．1多元函数的基本概念★ z=f(x,y),(x,y)其中x,y称为自变量，变量Z