怎样帮助学生建立几何形体概念

怎样帮助学生建立几何形体概念

一、几何形体概念及其特点我们知道，概念是反映事物本质属性和内在联系的思维形式，是思维的基本单位。逻辑学认为，概念最重要的内容是它的内涵（是什么）与外延（有哪些）。但从教学角度看，概念通常包括四个方面的内容，即概念的名称、概念的描述或定义、概念的例子和概念的属性（特征）。以概念“正方形”为例，词“正方形”是概念的名称；“长宽相等的长方形叫做正方形”是它的定义；符合定义的具体图形都是正方形的例子，成为正例，否则叫反例；正方形的属性包括封闭的、对边平行、四条边相等、四个角都是直角，等等。几何形体概念是从空间形式方面，用语言、符号、图形来反映事物本质属性和内在联系的思维形式。也就是说，几何概念反映了事物在空间形式方面的本质属性或内在联系。同其他数学概念类似，几何形体概念具有以下特点。1.几何形体概念的辩证性首先，几何形体概念是抽象与具体的辩证统一。几何形体概念的抽象“超脱”现实，这是显而易见的。例如，现实世界中并不存在几何概念中没有大小的点，更找不到没有粗细的、可以向两端无限延长的直线。几何形体概念的抽象性是学生获取这些概念的困难源之一。这种困难，一是表现在它与儿童思维的形象性构成了一对矛盾，而且是贯穿小学数学教学始终的矛盾；二是表现为用语言媒体负载几何概念的思想内容时，小学生对语言媒体的接受，并不意味着他对概念的领会。比如，他能认识平行线定义里的每个字、词，却很可能没有真正理解“同一平面”“永不相交”的含义。几何形体概念又具有具体的一面。首先，形体概念的起源，离不开现实世界的具体材料。即形体概念源于经验的东西，是来自外部世界的。其次，思维的能动性所创造的很多几何概念，尽管抽象，但还是能在现实世界里找到它们的模型，并得到应用。几何形体概念的具体性、形象性为我们克服抽象性所带来的困难，提供了广阔途径。事实上，小学数学里的几何形体概念都能在儿童周围找到现实原型，而且大多还有相关的生活体验与感性认识。其次，几何形体概念是一般与个别的辩证统一。几何形体概念反映了同类事物所有对象的一般特征。但这种一般特征又是这类事物的每个对象的本质属性。所以，几何概念本身就是一般与个别的辩证统一体。例如，梯形的概念反映了等腰梯形、直角梯形以及其他一般梯形的共同本质属性，反过来这种共同的本质属性又表现在每个具体的梯形中。2.几何概念的系统性几何形体概念的系统性是由数学学科的特点所决定的。这种系统性早在《几何原本》中就得到了充分的体现。为了适应儿童的认知特点，几何初步知识的概念虽然没有依据逻辑的要求构成严密的概念系统，但概念之间的前后联系，如先前概念是后续概念的基础，还是处处可见的。例如，有了角的概念，才能讨论直线的垂直关系；掌握了“垂直”和“线段”的概念，才能理解“平行四边形的高”的概念；有了底和高的概念，才能概括平行四边形的面积公式。几何形体概念的这一特性，要求我们在学习形体概念时必须环环相扣，循序渐进。比如，要让学生掌握三角形高的画法，首先应当在教学垂直时，帮助学生掌握过直线外一点画已知直线的垂线。部分学生之所以不会看、画三角形的高，主要原因之一就是垂线的概念不够清晰，垂线的画法掌握得不好。3.几何概念的发展性在几何学中，形体概念随着客观事物本身的发展变化和研究的深入不断地发展、演变。几何概念的发展性在小学数学中也有反映。它要求学生对形体概念的认识必须随着学习的进展和程度的提高，由浅入深，逐步深化。这种认识的发展性既体现在不同的几何教学阶段之间，也体现在某一教学阶段之中。例如，“高”的概念，在小学数学中具有以下的发展线索：三角形的高（点线距离）→平行四边形、梯形的高（线线距离）→长方体的高（面面距离）→圆锥的高（点面距离）其中点线距离与线线距离在小学数学教材中是比较明确指出的，面面距离与点面距离一般不作介绍，只是针对图形指认。二、几何概念获得的基本方式主要有两种基本方式。1.概念形成就人类认识来说，概念形成是一种发现过程，也就是在对事物感知和分析、比较、抽象的基础上，概括一类事物的本质属性，不断提出假设，验证假设的过程。在教学条件下，是指从一定的具体例子出发，以学生的感性经验为基础，形成表象，进而以归纳方式抽象概括出本质属性，获得概念的过程。几何形体概念的形成过程，大致包括以下几个阶段：(1)辨别观察具有典型意义的具体实例，比较辨别它们各自有哪些属性。这是获得概念过程的开端，也就是感知阶段。(2)归类将具体例子各自的非共同属性撇开，按它们的共同属性归类。这在一定程度上由感知过渡到了表象，为进一步的抽象概括创造了条件。(3)抽象概括从一类事物的共同属性中抽象出共同的本质属性，并通过概括建立概念，给出概念的定义（包括符号）和描述。这是由表象到概念的过渡阶段。(4)强化把新概念的本质属性推广到一切同类事物，明确概念的外延。通过对概念的肯定、否定例证的辨析，使新概念与原有的相关概念得以较精确的分化，从而强化对新概念的认识与掌握。2.概念同化所谓概念同化，是指利用学习者认知结构中原有的概念，以定义或描述的方式直接揭示新概念的本质属性，进而获得新概念的过程。也就是以间接经验为基础，利用已掌握的概念去获取新概念的过程。要成功地同化新概念，必须满足有意义学习的条件。一是外部条件（外因），指学习的新概念与学生原有的有关概念存在实质性的逻辑联系，并且建立这种联系是学生学习能力所及的。二是内部条件（内因），指学生本身必须具备理解概念的条件和意向，也就是学生原有认知结构中具备同化新概念的适当概念或表象，以及学生具有理解学习材料的欲望。几何形体概念的同化，大致包括以下几个阶段：(1)定义或描述直接用定义或描述形式刻画几何形体概念，揭示概念的本质属性，给出名称和符号。例如，由学生已掌握的梯形概念，引出两腰相等的梯形、有两个角是直角的梯形。事实上，通过复习已学概念，“由旧引新”认识新概念的学习过程，很大程度上就是概念同化的过程。(2)同化沟通新概念与原有认知结构中有关概念的联系，明确它们的区别，使新概念与原概念得到精确分化和融会贯通。这样，新概念被纳入原认知结构，形成了内容更为丰富也更为完善的新认知结构。例如，在学生已认识角和直角的基础上，认识锐角、钝角、平角、周角，使角的一般概念与常见的角的规定形成一个新的认知结构。(3)强化与概念形成过程的强化环节基本类似。在获得几何概念的两种基本方式中，都有“强化”这一基本环节。“强化”也可以视为概念教学的手段，那是指教师有目的地对学生的认知活动施行直接或间接干预的教学行为，目的是使某种形式呈现的刺激物与学生认识或行为之间建立起比较稳固的联系。几何概念的强化方法很多，比较常用的如：①举例强化法。即让学生针对某一几何概念举出正例、特例或反例。②画图强化法。即让学生画出某一几何概念的图形。③关键信息强化法。即让学生从某一几何概念的描述或图示中找出至关重要的词语或画法。④辨析强化法。即让学生识别某一几何概念不同叙述或不同图形的正误。⑤联系强化法。即让学生联想有关的已学概念，使新旧概念组成一定的概念系统，从而加深对新学概念理解。⑥应用强化法。即让学生通过对概念的应用，从不同角度获得对概念内涵的揭示，深化对概念的认识。3.概念形成与概念同化的区别两种概念获得方式既有联系，又有区别。无论概念同化还是概念形成，都要求学生积极投入认知活动，多通道地获得感性认识，有意义地建立概念。这是概念学习的共同要求。两种概念学习方式的区别主要表现在以下几方面：(1)建立概念的经验基础不同概念形成以学生的直接经验为基础，概念形成过程的开端是从具体例子积累起来的感性认识。概念同化以学生的间接经验为基础，概念同化过程的开端是从已有知识经验引出的理性认识。(2)认知结构的变化不同概念形成与概念同化所依赖的经验基础的不同，实质上就是学生原有认知结构在容纳新概念方面的差异。这种差异制约着概念形成过程中认知结构以顺应的方式变化，即原有认知结构发生部分改组；概念同化过程中认知结构以同化方式变化，即原有认知结构得到扩充。两者的共同趋势是新概念的获得，都会促进认知结构的发展与完善。(3)学习形式的类属不同概念形成，更接近于人类自发形成概念的方式。它要求学生在教师指导下以归纳的方式抽取出一类事物的本质属性，比较费时。概念同化，更适合于系统接受间接经验的学习，它要求学生以演绎的方式理解教师解释的概念的本质属性，比较节省时间。以平行四边形的认识为例。先出示实物图，再由实物图抽象出图形，然后观察多个平行四边形的图形概括出它们共同的本质特征，最后进行巩固练习。这样的教学过程就是比较典型的概念形成过程。如果在复习四边形概念的基础上，直接通过演示和描述得出：当四边形的两组对边分别平行时，得到的四边形叫做平行四边形。然后再根据平行四边形的概念，指出日常生活中哪些地方可以看到这种图形，并进行巩固练习。这样的教学设计就是比较典型的概念同化过程。4.概念形成与概念同化的综合运用不少教师喜欢这样教学，给出许多各种形状的四边形，让学生自己进行分类，接着引导学生根据对边是否平行进行分类：第一类，两组对边都不平行；第二类，一组对边平行，另一组对边不平行；第三类，两组对边分别平行。然后由第三类图形，引出平行四边形的概念。这种教学过程，同时具有两种概念学习方式的某些特征，实际上是概念形成与概念同化的综合。小学几何教学的实际情况是，概念形成的学习方式用得较多，单纯的概念同化过程较少，一般以两种方式结合起来使用居多。有的教材以长方形对边平行为基础，让学生将两条半透明的长方形纸带交叠出许多四边形，再概括出这些四边形的共同特征是对边分别平行。其实这也是概念同化与概念形成相结合的教学处理。图1三、帮助学生建立几何形体概念的教学要点建立几何概念的重要标志是理解概念的内涵、明确概念的外延，也就是在几何概念的名称、描述、图形和例子，以及它的特征之间建立正确的联系。前面在探讨怎样培养和发展学生的空间观念时，我们得出的很多策略，如引导观察、指导画图、加强实验操作，以及适时抽象概括、适当刻画图形特征等等，都是帮助学生理解概念内涵，建立几何形体概念的常用教学策略。这里，再就一般情况进一步讨论若干教学要点。1.变机械学习为有意义学习在数学概念学习中，有意义学习是指学生不仅能记住所学概念的定义、描述或符号，而且理解它们的内在涵义，了解与相关数学概念的实质性联系。机械学习是指学生仅能记住数学概念的定义或描述、符号，却不理解它们的内在涵义，更不理解与有关概念的非人为的实质性联系。引导小学生获得概念实质性意义的主要手段，一是借助直观，二是利用学生的生活经验。例如，为了帮助学生理解“两条永不相交的直线，只有当它们在同一平面内，才是平行线”，可以通过教具的直观演示，使学生看到，不在同一平面内的两条直线，不相交，也不平行。还可以给出上下交错的电线图片，调动学生的生活经验，帮助学生理解。2.变孤立学习为系统学习几何概念具有很强的系统性，这是有意义学习的重要外部条件。同时，几何概念的这一特点，要求我们应着力在数学概念系统的背景下展开新概念的学习，注意适时、适当地揭示概念间的“来龙去脉”、区别与联系。这种符合小学生认知特点与水平的系统学习也是理解概念、精确分化概念的需要。例如，为建立互相垂直的概念，可以先引出两条直线相交的情况，并让学生指出交点。然后观察两条直线相交所组成的四个角，一般情况不都相等，再引导学生思考：如果其中一个角是直角时，其余三个角将是什么角？可以让学生量一量，也可以引导学生利用求两角差的方法推算，在此基础上由一般到特殊地引出两直线相交的特例——两直线互相垂直的概念：又如，学了三角形按角分类并认识了等腰、等边三角形之后，给出各种不同的三角形（至少7个，即非等腰、等腰、等边的锐角三角形，非等腰、等腰的直角三角形，非等腰、等腰的钝角三角形），让学生放入图2的集合圈内，再现三角形按角分类，然后在图2的集合圈内叠上等腰三角形的集合圈，如图3，让学生再次放入各种不同的三角形，使他们清晰地看到：等腰三角形可能是锐角三角形、钝角三角形，也可能是直角三角形；反过来锐角三角形、钝角三角形和直角三角形都可能是等腰三角形，也可能不是。图2图3当然还可以在图3内进一步叠上等边三角形的集合圈，如图4，使学生直观认识等边三角形包含在等腰三角形内，并且只能是锐角三角形。图4这样，学生通过自己多次摆放、移动三角形的图形，逐步构建起有关三角形的概念系统，三角形角、边的特征，各种三角形的外延及其相互关系，也一目了然地呈现在自己面前。3.适当提供正反例证和变式图形教学一个新概念，在引入阶段所创设的问题情境或实例中，通常以概念的正例为主，有时也会包含反例。例如，给出各种图形，让学生找出四边形，再对四边形分类，实际上就是不断剔除反例的过程。除此之外，还应随着认知活动的展开及时提供一些显示新概念本质属性的肯定例证，让学生观察。有时还可酌情提供一些从反面突出本质属性的否定例证，让学生比较正反例证的基本属性，用自己的语言来描述，使概念得以巩固。例如，教学梯形的认识，设计如下判断练习：下面哪些图形不是梯形，说明理由。学生一般都能根据梯形的概念，说出否定的理由，如：第①个图形不是四边形，第②个图形没有一组对边平行，第③个图形两组对边都平行了，等等。适当运用变式图形，对于几何概念教学也是非常重要的。前面在论述小学生空间观念形成特点时，已经探讨了标准图形与变式图形的关系及其使用要点，这里再举一例。考虑到小学生在日常生活中接触到的“垂直”现象，都是与水平线垂直的铅垂线，为使学生认识垂直的本质，是指两条直线的相互位置关系，可以出示分别画在四张黑纸上的四组相交直线，让学生辨别并用三角板验证得出其中①、③两组的直线互相垂直，②、④两组的直线不垂直。然后转动这四张黑纸，再让学生判断哪几组直线互相垂直，从而使学生得出，四组直线无论怎样随着黑纸转动，各组两条直线之间的角的大小不变，所以它们的互相位置关系也不变。4.适当展开形体概念的应用练习概念的应用练习是概念强化的主要手段之一。不少几何概念的认识与理解，可以通过联系实际的应用得以实现。有时围绕着一个概念可以设计多种情境的应用问题，让学生从多角度、多层次上进行思考，先巩固性应用，后综合性应用，在应用中达到切实掌握数学概念的目的。以角的认识为例：(1)3时整、6时整，时针与分针所成的角各是什么角？(2)体育课，小明听口令做“向右转”“向后转”，他分别旋转了多少度？两题情境不同，答案却是相同的。(3)钟面上分针从指向12开始先旋转90°，分针指向了几？再继续旋转180°，这时分针指向了几？(4)体育课，小明听口令做“向右转”或“向后转”，已知小明一共旋转了360°，他可能做了几次“向右转”或“向后转”？(5)分针长5厘米，分针从指向12开始旋转到指向4，分针所经过的钟面面积大约是多少平方厘米？（保留整数平方厘米）显然，还是时钟、体育课的情境，但问题的综合性不断有所加大，从而促进学生的感性认识向理性认识转化和理性认识向迁移应用转化。5.把握几何概念教学的阶段性与连续性小学数学中的几何概念，大多采用螺旋式编排，以便于学生逐步深化认识。因此，教师必须恰如其分把握各教学阶段的教学要求，既不宜随意拔高要求、超前教学，以免难点集中，增添学习困难；又应当不失时机地引导学生不断加深理解，使相关概念的认识逐渐趋于深入、全面。例如，长方形、正方形的认识，初次接触时，只要求能识别，知道它们都有四条边，长方形“面对面”的边相等，正方形的四条边都相等。学习了直角之后，再认识长方形、正方形的四个角都是直角；学习了平行与平行四边形之后，再认识长方形、正方形的对边平行，它们都是特殊的平行四边形；学习了梯形之后，则进一步通过“只有一组对边平行”与“两组对边分别平行”的比较，深入理解对边分别平行的含义；学习了轴对称之后，又认识了它们都是轴对称图形，长方形有两条对称轴、正方形有四条对称轴。这些都是发生在小学阶段螺旋上升的认识。以后到了中学，还要进一步认识长方形、正方形对角线的性质，以及中心对称的性质等等。即：研究边（长短关系）→研究角→研究边（位置关系）→研究对称性（小学）→研究对角线→研究……（中学）又如，首次学习射线、直线时，小学生很难体会为什么要规定射线可以向一端无限延