导数法巧解单调性问题

全国名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编(附详解)【备战2019年高考高M学T&焦点.难点一画尽】专题13导数法巧解单调性问题考纲要求：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次).了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).基础知识回顾：用导数研究函数的单调性(1)用导数证明函数的单调性证明函数单调递增(减)，只需证明在函数的定义域内f'(x)>(<)0(2)用导数求函数的单调区间求函数的定义域D-求导f'(x)一解不等式f1(x)>(<)0得解集P-求D^P,得函数的单调递增(减)区间。一般地，函数f(x)在某个区间可导，f'(x)>0nf(x)在这个区间是增函数一般地，函数f(x)在某个区间可导，f1(x)<0nf(x)在这个区间是减函数(3)单调性的应用(已知函数单调性)一般地，函数f(x)在某个区间可导，f(x)在这个区间是增(减)函数nf(x)2(<)0【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式f1(x)>(<)0(不要带等号)，最后求二者的交集，把它写成区间。②已知函数的增(减)区间，应得到f1(x)2(W)0,必须要带上等号。③求函数的单调增(减)区间，要解不等式f1(x)>(<)0,此处不能带上等号。④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间;如果一种区间有多个，中间不能用“I।”连接。2应用举例：全国名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编(附详解)类型一、判断或证明函数的单调性=(x-2)ex4--ax2-ax【例1】1.【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试】设函数 2 .(1)讨论的单调性；(2)设订1,当 ()时，"'，"'?,求"的取值范围.【答案】(1)见解析(2)-【解析】【分析】(1)求出导函数『00,按Q的范围分类讨论的正负，可得单调性S(2)令g(_x)-f(_x)—此=+2=1-2)e*+:龙工一工一丘+21有0ro0=1-1)<?*+工-1—此，令也(9=0—铲+”—1—此，有用(灯=龙峭+1,由龙主口得即也吗单调递增，从而得>grm=-k-2,按Tc-2>0和一A-2<0讨论双盼的单调性和最值，从而得出结论.【详解】(1)由题意得工七电/CO=(x—1)(61+a)?当q鱼。时，当二七(一8j),rco 当工匕(L+s用寸，r(x)>o^fCO在(-4口单调递减，在(L+8)单调递增,当Q<0时，令f，00=口得工=L#=】nt-G，当q<一胡寸，#£(—也1)/00>5当#£(Lin(-G)时，rcoMM当二E(Inf-a),+oo)fl寸，fr(x)>0^所以f00在(—gD(111(-公,+8)单调递增，在(Lln(—G)单调递减5②当时，/('；'。，所以在单调递增，③当，，<“<()时，*i 口；"［「()当”“〃(。1)时，/(刈<。；当」「一切时， ；・•・在；川”(心，；一切单调递增，在，」"；单调递减；12

q(x)-f(x\-kx+2=(x-2}e4--x-x-kx-\-2 . v⑵令 ，有(.—」/<全国名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编（附详解）令1；/—1"，有二『；1当丘。1时，以。「"I1〉。，山「；单调递增.＞M。； ?”，即「2一二一）当上心＞（）,即最三一二时，＞。，9。1在［。，।/）单调递增，人切〉9。。，不等式?恒成立，②当?“＜（）卜〉？时，"：；；。有一个解，设为根，.♦.有【。，'00：；；＜。"」；单调递减；当「£/；时，@〕,；〉03。；单调递增，有网言＜比。；。，・・・当L时，/〕「”?不恒成立；综上所述，的取值范围是 ‘，一2］【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题，不等式恒成立常常转化为求函数的最值，本题设仪幻=打冷—-+2,确定仪幻在［口,+8）上的最小值，如果此最小值主口则符合题意，若此最小值＜5则不合题意.当然在求，（幻的零点时，可能还要对『（盼求导，以确定零点..m/（%）=InxH—【例2】【2018年高考考前猜题卷之专家猜题卷】已知曲线'' '的一条切线过点（（）/；.（I）求⑴的取值范围；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"（II）若〃；Iq"） 2.①讨论函数q（；的单调性；，、X 2\o"CurrentDocument"g（%）＜e+x+-②当。'时，求证： .em＜-【答案】（1） ；（2）①见解析.②见解析.【解析】【分析】1m m11m\f（x）= （x＞0） y~lnX0~T=x ^（%_%。）⑴求出 ，设切点为-勺％,则切线方程为 3"。，由切线过点：。」），可得".”"。，利用导数可得Ni"的最大值，从而可得结果;（2）①求出93,分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令©：；〉（）求得的范围，可得函数增区间，/"求得的范

全国名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编（附详解）g（x）＜ex+x+- x围，可得函数9"”的减区间；②要证明 ，只需证明tllx12＜c,而lnx+2<x-l+2=x+l<exlnx+2<x-l+2=x+l<ex，g{x)<ex+x+2所以 成立.【详解】⑴ 加＞口），设切点为尸（跖%），则切线方程为y—】叫—£=（2—g》一%），..・切线过点..・切线过点「」一出灯一工（一九口）〉/.I—Im”=2—hrtfj02m=2x0—近口]吟*0设九(二)=2x—jdmc1贝此'(X)=2—1—1n犬=1-]n;t,令比r(龙)=0,贝皿=e?■MQOnwx=九⑶=£，'加<1/（X）=Inx+-⑵当加=工时， ，：9凶 '口/1；"?ag(x)=%-(a+l)lnx 1-2x,x2-(a+l)x4-a(x-1)(%-a)①（i）当Q三匚时， 在区间/°上是减函数，在区间n，-：。）上是增函数;（ii）当。＜"＜1时，在区间 上是减函数，在区间，口一：。;，上是增函数;（iii）当”工时，95在区间;。，।「；上是增函数;（iv）当时， 在区间Um上是减函数，在区间沔」），［"'"上是增函数.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 x2g{x}=x+Inx4 F2 9（久）＜ +%+— x②证明：当。'二一工时， ，要证明 ，只需证明''一工三"，、X 2, X9（%）＜e4-x4--而,〃丁1＜；「J11 ,所以 成立.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：（1）已知切点八（求斜率，即求该点处的导数；

名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编（附详解）⑵己知斜率求切点'dG）即解方程 ；⑶巳知切线过某点（不是切点）求切点,设出切点八（9〃1,0）利用 「〜。 ’,求解.类型二、求函数的单调区间【例3】【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试】设函数/：；）、'I〃八'1，其中〃cN,"22,且切£R.⑴当及=2,, 1时，求函数/）的单调区间;⑵当屋=?时，令犷、）/（、；2、「，，若函数有两个极值点「，二且'「"，求"（底；的取值范围;（3）当,1时，试求函数/（；的零点个数，并证明你的结论./I—21rl20]【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析【解析】【分析】（1）将"=2,m=-1代入解析式，求出函数的导数，从而即可得到函数fCO的单调区间s（2）由题意知二二工一2二+1+mln非，求导，从而可得2工工一2龙+wi=%由方程加工一2工=晴两个不相等的正数根石（/丁也）可得口Cth<%由方程得处=巨咛亘，且;<与<L由此分析整理即可得到答案S理即可得到答案S⑺求出国数的导数，得到fCO的单调性，求出fCO的最小值,数的零点即可一【详解】（1）依题意得，/；,） '〃、1,一，三两，一二5、 12x2-1f（x）=2x——= • X X••. x>—— . 0<%<——令/；；；：〉。，得 ;令/；；）<。，得 •（0*） 隹+8]则函数在 上单调递减，在 上单调递增.（2）由题意知：以刈 ^通过构造国数结合零点存在性定理判断困全国名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编（附详解）. m2,x-2x+mg(x)=2x-2+一= 则TOC\o"1-5"\h\z令。，得 ()故方程""。有两个不相等的正数根， （ ），rA=4(l-2m)>0,m 11 —>0, 0<m<—则1 2 解得2.1+ -2m 1x?= —< <1由方程得 ，且+771=0,得”'=-+2%2g(汽2)=>^2—2第2+1+(—2^2+2%2)1/第2-4fx+771=0,得”'=-+2%2g(汽2)=>^2—2第2+1+(—2^2+2%2)1/第2-4fx2--\lnx2>01—<Xn<12 2，即函数*'上1—2比2 ,、 <g（%2）V0 （\所以 ，故 的取值范围是上的增函数，

—21Tl2\(3)依题意得.f(x)= —ln^—1；xE(0,+oo)j■j-rj\ <t-1 1fl江一1■■f(.^)=nxn1--=・令『CO=tb得也付一1=口>，定口=《,.•力>2,，函数fCO在⑷上单调递减「在以山+8)上单调递增〉,/(工｛])=上一In^F—1=-+-Inn—1=-(1+In??-t?).n nn n' '令仪工)=hue—二十1(JC>2')?贝加PC0=2—1■<口>X--p(x)<p(2)=ln2—1<0.'.Inn—n4-1<0^即f(工口)<0.x0="—<1<2一•."1；。1又：名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编(附详解)nenen-?n--1

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ne|n+Inn>0(2)求函数的单调区间;(3)9(%)=若函数ifaii2jc —2%2 嚷(2)求函数的单调区间;(3)9(%)=若函数ifaii2jc —2%2 嚷口4］上是减函数，求实数口的取值范围.【答案】(1)6；(2)单调递减区间是【解析】，单调递增区间是；(3)7 ,+816根据零点存在性定理知函数在和 各有一个零点.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及零点存在性定理，是一道中档题【例4】【山东省临沂市沂水县第一中学2018届高三第三轮考试】已知函数/(匚；(1)若函数/(「)在点㈠/(X；)处切线的斜率为4,求实数。的值;(1)【分析】利用导数的几何意义得到r®=%从而求出a的值一(2用寸a分类讨论，利用导数求函数的单调区间一◎)TOC\o"1-5"\h\z先转化为，匕哝［L4］上恒成立，再化为工三专一任［L4］上恒成立，再求占-拉［L4］上的最大值即得akl 盘 rC X的取值范围.【详解】\o"CurrentDocument". a af(%)=2%—— . 2x3——=4(1) ，而，即 ，解得匚'=之(2)函数 的定义域为 ^①当Q三。时，/E:〉0,八苗的单调递增区间为处，一；. af(x)=2x——=②当时，当变化时，1的变化情况如下:JCHJF一J—0+/㈤次小值

由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是ax24-2x-1-2二 由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是ax24-2x-1-2二 x史,+8

212.1g(x)=Inx——ax-2%g(x)=——ax，于是因为函数在口闺上是减函数，所以 在口闺上恒成立,ax2+2x-1 >0即 在口闺上恒成立.2又因为函数 的定义域为“।切，所以有। 1 在［口闺上恒成立.TOC\o"1-5"\h\za—^t=- -<x<l于是有，设，则，所以有1a>r-2t=(t-I)2-1，4 ，_1 7 7当时，：>"一有最大值 ，于是要使9。一：。在口用上恒成立，只需 ，7 ,+8即实数Q的取值范围是I16【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力W)解答第3问的关键有3点，其一是先转化为<晦［L4］上恒成立，其二再化为a之土—/［L4］上恒成立，其三是换元求2-范［L4］上的最大值即得@的取值范围.类型三、已知函数的单调性求参数的范围m(x-1)f(x)=Inx 【例5】【名校联盟2018年高考第二次适应与模拟】已知函数 ।1.(1)若函数/；在定义域(。।口内单调递增，求实数⑶的取值范围；(%+y){lnx-Iny)3(2)对于任意的正实数3且，工，，求证： 「 ：'.【答案】⑴一口2］；⑵见解析.全国名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编(附详解)【解析】【分析】(1)国数fCO在定义域区内单调递增，等价于%主口对于任意二＞口恒成立，即加匕芸+1对于JaX任意#＞口恒成立，利用基本不等式求出国数最小值，从而可得结果S(2)设口My＜队令呢=?贝血＞1?原不等式等价于黑部+11m＞口，可证明石⑺=肥+】口工在区+如)上递增.又因为a 则AW＞A(i)=o,从而可得结论.【详解】. 12mx2+2(1-m)x+1f(x)= = (1)依题意，导数 (11 ' 。对于任意 恒成立，即不等式%2+12 、 mW +1「I/；」血;'II：'。对于任意 恒成立，即不等式 对于任意 恒成立；x2+l +1之1+1=2又因为当时 (当]=[时取等号)，则初W2,故实数的取值范围是以(x+y)^lnx-Iny)3 x ，q— ⑵由于目标不等式 中两个字母与可以轮换，则不妨设。＜:「＜,.令，则.(%+y)^lnx-Iny)3u4-1 3"17/1Xi欲证目标不等式3(u—1) 3(1—u)<= <Inu<= 4-Inu>0(X)3(1)(X)3(1)।丁 +[/fix2。一幻 …一在10,I与上递增.又因为，则3m=-＜2/心)根据(1)的结论知，当时“；"；：〉‘」」)。，则不等式(X)正确，故原目标不等式得证【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、利用单调性证明不等式及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；②利用导数转化为不等式/‘(()＜°或广；、)＞。恒成立问题求参数范围.【例6】【2017山西省长治二中等四校高三联考】已知函数f(x)=alnx-ax-3(aeR).(1)求函数f(x)的单调区间；⑵若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t£[1,2],函数g(x)全国名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编(附详解)=X3+X2-f，x+m在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围._ 乙_【答案】a=1-；减区间为(—8,—4)和(一1,0),增区间为(一4,—1)和(0,+8).乙.【解析】Q)函数用)的定义域为4-m),且侬一丁一-IL-当以>0时，&T)的塘区间为(0」)，谶区间为(1,+®)：当qVO时，&r)的塘区间为(1,斗电，减区间为(0」)：当fl=O时，火力惠是单调函教.(2)由(1)双题意得』(2)=—3=1,即以=一2,，尺工)=-2相r+2x—3,竺口一jLr ut二.段t)=jc3+怎+2)^—2i,「./(工)=3"+｛泄+4M一2一二旃)在区间国3)上总不是单调函数，回f<0,即F")=o在区间(£3)上有变号零点.由于式0)=-2,值3>0.当FSVO,即3#+(加4~4)£一2<0与任意f£［l©恒成立，由于观5^0,故只要F(1)VO且F(2)VO,即泄工一5且泄工一丸即泄<一9：37 37 <37A由F»)>o,即加>一半所以一左v/wv—g一即实效泄的取值范国是(一半，—g)点评：根据函数单调性求救教的一般思路口)利用集合间的包含关系处理：丁=及0在g,乃上单调，则区间g,乃是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒威立问题，即“若函数单调递城，则」*)对：若的数单调遹或，则」*)且r来求解.［提醒］应力为增函数的充要条件是对任意的hE(。，匕)都有〃)K),且在(。，田内的任一非空子区间上7")不恨为0.度注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.方法、规律归纳：1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f,(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f,(x)>0和f,(x)<0；(4)根据⑶的结果确定函数f(x)的单调区间.2、求函数的单调区间的“两个”方法方法一：(1)确定函数y=f(x)的定义域；(2)求导数y1=f'(x)；(3)解不等式f,(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f,(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.方法二：(1)确定函数y=f(x)的定义域；10全国名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编(附详解)(2)求导数y'=f’(x),令f,(x)=0,解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f,(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.实战演练：.【河北辛集中学2018届高三8月月考】已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则( )A. f(x)在(0, 2)单调递增 B. f (x)在(0, 2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数rco后解不等式rco>口可得网功的单调区间一再利用rco=ra-啕可判断rco的图像关于直线工=1对称一【详解】当口<1时，尸0)>山当1 二z时，<o,故f(琦在(口卫开单调一又-x)=ln(2-x)4-liuc 故f(琦的图像关于直线犬=1对称，故选C.【点睛】(1)一般地，若在区间 上可导，且/【「)：〉。/；『:二。；，则在 上为单调增(减)函数；反之，若 在区间:"力;上可导且为单调增(减)函数，则(2)若/(」)/.」)，则人口的图像关于直线 对称；若；%，则 的图像关于点对称.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x3a9 1\o"CurrentDocument"/(%)- x2+x+1 (—,3)2.若函数 '：'在区间'上单调递减，则实数”的取值范围为()) (―,+8) [―,+8)A.,「r B.Y C. 3 D.乙【答案】C11

全国名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编(附详解)【解析】【分析】求出函数汽的的导数，问题转化为Q＞^+拉(号3)恒成立，令式%)="工七(/3),根据函数的单调性求出gGO=#+：范围，从而可得结果-【详解】■函数fco=1―2=工+二+1,二roo=九，一皿+1,若函数fCO在区间(%3)上递减，故炉一收+1匕晦(%3)恒成立，即ct>x4-/(右3)恒成立,1g{x}=1g{x}=x+-xE令 ，(x+1)(%-1)， ，，令9：；1＜。，解得，在递减，在递增，10二卯⑶二石，1010二卯⑶二石，1010故，[—,+8)实数的取值范围为，故选C.【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；②利用导数转化为不等式/ 。或「匚)：’。恒成立问题求参数范围a-12@= 3.【河南省中原名校2018届高三高考预测金卷】函数/；'； 12s2；」与'''II这两个函数在区间口，2]上都是减函数，则实数八()A.12，l；u」2；B. 1，。3rC.LD.【答案】D12

全国名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编（附详解）【解析】【分析】由函数打幻=—炉+2（a-2）近在区间［L2］±是减困数，可得乩<3,由国蜘（幻=聂在区间［L2］±是城函数，可得Q>L从而可得结果-【详解】因为国数打吗=—炉+2（a-2）、在区间口卫］上是减困数，函数打功=—V+2（a-2）工的图象是对称轴为芯二口—乙目开口向下的抛物线，所以。-2<1即q<3,因为国数目0）=最在区间［L2］±是减困数，所以Q—1>0；即Q>1；这两个国数在区间口卫］±都是减困数，则实勤1口匕（13,故选D-【点睛】本题主要考查二次函数的性质，复合国数的单调性，以及已知单调性求参数，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.4.【安徽省六安市第一中学2018届高三下学期适应性考试】已知函数/（'； ,「，则屋匚）在（13上不单调的一个充分不必要条件是（ ）•・・・・・•A.八（"力B.八（口“）」…」（为【答案】C【解析】分析：求出函数的导数，问题转化为函数 与x轴在 有交点，通过分析整理，结合二次函数的性质判断即可.. 12ax2-4ax-1f（%）=2ax-4a——= 解析：若在⑤上不单调，令=令=2q,-4ax-1,则函数亦0人丁"1与x轴在有交点,设其解为 ，13

全国名校2019年高考数学一轮复习优质学案、专题汇编（附详解）因此方程的两解不可能都大于1，其在iia中只有一解，其充要条件是12。-九11mL"1）＜：。11a＜——a＞-解得或，因此选项C是满足要求的一个充分必要条件.故选：C.点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质.Inx/（比）=——5.【浙江省台州中学2018届高三模拟考试】当（）＜＜1时，,，则下列大小关系正确的是（）A./*（）＜/「＜/"） B.C./；；】＜/；；；）＜/；；1 D./；；；）＜/；；】＜/；；］【答案】D【解析】分析：由口＜二＜1得到炉〈也要比较打吗与汽炉）的大小，即要判断函数是增函数还是激函数，可求出ro）利用导函数的正负决定函数的增减项,即可比较出f（吗与f（