【建模教程】-节水洗衣机-数学建模

----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----节水洗衣机摘要目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣洗衣机用水；数学规划；优化模型----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----目 录问题分析 1背景意义和构想 1洗衣机的基本原理和过程 1“节水洗衣机”要点分析 1问题建模 2基本假设 2变量定义 2模型建立 3优化模型 3分析与求解 4最少洗衣轮数 43.1算法 53.1实例验证 5 6----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1 问题分析背景意义与构想我国淡水资源有限，节约用水人人有责，洗衣在家庭用水中占有相当大的--漂水--脱水--加水--漂水--脱水…加水--漂水--脱水（--漂水--脱水”为运行一轮。请为洗衣机设计一种程序（包括运在实际生活中，衣服的洗涤是一个十分复杂的物理化学过程。洗衣机的运行过程可以理解为洗涤剂溶解在水中，通过水进入衣物并与衣物中的污物结合，不论人工洗衣还是洗衣机洗衣，都存在节水问题，显然，若用水量为零，则衣服肯定洗不净；若用水量为无穷大，则肯定浪费水，因此必然存在刚好“洗洗衣机的基本原理和过程洗衣的基本原理就是将吸附在衣物上的污物溶于水中，通过脱去污水而带--通常洗衣要加入洗涤剂，它帮助溶解污物。但是洗涤剂本身也是不能留在衣物上的东西。因此“污物”应是衣物上原有污物与洗涤剂的总和。有了这种认识后，我们就可以统一地处理“洗涤（即通常加洗涤剂的首轮洗衣）和“漂洗”（即通常的以后各轮洗衣，不再加洗涤剂，但水中还有剩余洗涤剂，把二者都看作“溶污物”环节。“节水洗衣机”要点分析立足于“溶污物--脱污水”这种基本原理，我们可以找出“节水洗衣机”问题的基本要点如下：1）污物的溶解情况如何？这里将用“溶解特性”来描述；----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----2）每轮脱去污水后污物减少情况如何？这将由系统的动态方程表示；3）如何设计由一系列“溶污物--脱污水”构成的节水洗衣程序？这将通过用水程序来反映，也是我们最终需要的结果。问题建模基本假设1）仅考虑离散的洗衣方案，即“加水溶污物（以下称为“加水H，否则会溢出，设L<H；3）每轮的洗涤时间是足够的，以便衣物上的污物充分溶入水中，从而使每轮所用的水被充分利用；4）每轮的脱水时间是足够的，以使污水脱出，即让衣物所含的污水量达到一个低限，设这个低限是一个大于0的常数C，设C<L。5）除首轮外，每轮的“用水量”包括该轮加水量和衣物中上轮脱水后残留的水量，即残留水被自然地利用了。6）假设放入洗衣机的衣物重量看做是等重量的，即减少的衣物重量差异对用水量的影响。变量定义n--洗涤--01n-1轮；2）k轮用水量为u（k=，1，2，……，n-；k----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----3）衣物上的初始污物量为x0x （k=，1，2，……，n-。k1表示符号u表示符号u具体意义k轮用水量kx第k轮脱水后仍在衣物上的污物量kL 洗衣机每轮用水量下限H 洗衣机每轮用水量上限C 每次脱水完毕后衣物上残留的污水量

，在第k轮脱水后仍吸附在衣物上的污物量为----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----QQn衣物上污物浸泡在水中的溶解率洗衣轮数模型建立----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----第k轮洗涤之后和脱水之前，第k-1轮脱水之后的污物量xk

已成为两部分：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x p qk k

，k=0，1，2，……，n-1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----其中pk

qk

pk

与第k----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----轮的加水量uk

有关，总的规律是uk

越大pk

越大，且当uk

=Lpk

最小（=0，因----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法转动，该轮洗衣无效；当uk

=H时，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----p最大xk k

，0<Q<1Q。因此简单地选用线性关系表----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----示这种溶解特性则有：

p Qxk

kkk

u LHL----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----在第k轮脱水之后，衣物上尚有污物qk

x pk k

，有污水C，其中污水C----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----中所含污物量为（p/uk

）C。于是第k轮完成之后衣物上尚存的污物总量为：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----xk1

(xk

p)Cpkk u----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----将前面的pk

k式子代入上式并整理后得系统动态方程：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x x

Cuk1Q1 kk

L,k0,1,2,......,n1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----kk

u HL----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----优化模型xnx0是初始污物量xn/x0反映了洗净效果由系统动态方程得：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x n1 Cu Ln 1Q1 k ----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----又总用水量为：

x0 k0

ukn1uk

HL----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----于是可得优化模型如下

kk0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----minn1ukk0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----n1 Cu

L----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1Q1u k

,01----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----kk0k

HL----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Luk

H(k0,1,2,...,n1)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----其中代表对洗净效果的要求。若令：u Lv k ,k HL则：u (HL)v Lk k于是优化模型化为更简洁的形式minn1vkk0kn1 Qv k----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----s.t.

k0

1Qv k

Av K

,0BB----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----其中：

0vk

kn1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----HL H LA B 1,BC L C3 分析与求解最少洗衣轮数定义函数----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----r(t)1Qt易知

Qt ,0t1AtB----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- B r'(t)Q(AtB)21t1 可见r（t）是区间[0，1]上的单调减函数，所以：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----k轮的洗净效果为：

rminx

1QQCH----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----kr(vx k

),kn1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----由此不难得出n轮洗完后的洗净效果最多可达到： QCn----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1Q给定洗净效果的要求，则应有：

H----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----QQCn----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----于是有：

1 H----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----n log

QC----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----log1Q H 设N 为满足上式的最小整数，则最少洗衣轮数即为N 。0 0算法可采用非线性规划算法，对nN,N ,N ,......,N（凭常识洗衣的轮数不0 01 02应太多,比如取N=10已足够）进行枚举求解，然后选出最好的结果。其中N 是0满足洗衣次数的最小整数。实例验证次数n（轮）总用水量u（升）kQ=0.5，则对于衣物洁净要求=0.05n次数n（轮）总用水量u（升）k----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----33456758189101即对于一个特定的衣物洁净度，最佳的洗衣次数为3次。可见对于不同洗衣机的不同的参数值，洗衣机的节水程度均有差异。[M]．北京：高等教育出版社，1979：徐萃薇.[M].:,1985.高等数学(3版[M].北京:,1988苏金明等编.MATLAB工具箱应用[M].北京电子工业出版社,1988----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----矿脉样本点回归模型讨论分析问题提出：13x，yx,yx,yyx：注：散点的程序如下：>>x=[2,3,4,5,7,8,10,11,14,15,15,18,19];>>y=[106.42,109.20,109.58,109.50,110.00,109.93,110.49,110.59,110.60,111.90,110.76,111.00,111.20];>>plot(x,y),stem(x,y);由散点图可看出，yx二次函数模型为：y=a0+a1*x+a2*x^2+n双曲线模型为：y=b0+b1/x+n当n大致服从均值为零的正态分布时,则说明该模型选择是合适的。建模思想：通过散点图和比较建立的两个可能的回归模型的结果，找出最适合的模型来表示此矿脉金属含量y与到原点距离x的关系。模型求解：直接利用MATLAB统计工具箱重的命令regress求解,程序如下：1．二次函数模型：1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----y=[106.42;109.20;109.58;109.50;110.00;109.93;110.49;110.59;110.60;110.90;110.76;111.00;111.20];x=[122^2;133^2;144^2;155^2;177^2;188^2;11010^2;11111^2;11414^2;11515^2;11515^2;11818^2;11919^2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)b=106.95220.5271-0.0170bint=105.4769 108.42750.1896 0.8645-0.0329 -0.0011r=-1.51820.81980.79190.33800.1923-0.1495-0.0310-0.1007-0.3956-0.1292-0.26920.07440.3769rint=-1.7369 -1.2995-0.3263 1.9660-0.4503 2.0341-1.0463 1.7223-1.2036 1.5881----宋停云与您分享--------宋停云与您分享-----1.5331 1.2341-1.3968 1.3348-1.4645 1.2631-1.7621 0.9709-1.5276 1.2693-1.6566 1.1183-1.1713 1.3200-0.6496 1.4035stats=0.7759 17.3112 0.0006 0.41822．双曲线模型：y=[106.42;109.20;109.58;109.50;110.00;109.93;110.49;110.59;110.60;110.90;110.76;111.00;111.20];x=[11/2;11/3;11/4;11/5;11/7;11/8;11/10;11/11;11/14;11/15;11/15;11/18;11/19];[b,bint,r，rint,stats]=regress(y,x,0.05)b=111.4405-9.0300bint=111.1068 111.7743-10.6711 -7.3889r=-0.50560.76950.3970-0.1345-0.1505-0.3818-0.0475-0.0296-0.19550.0615----宋停云与您分享------