平面向量的极化恒等式及其应用-向量极化恒等式

平面向量的极化恒等式及其应用-平面向量的极化恒等式及其应用-向量极化恒等式平面向量的极化恒等式及其应用-平面向量的极化恒等式及其应用-向量极化恒等式2一.极化恒等式的由来2一.极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍.* —■ , r k证法1（向量法）设AB=a,AD=b.则AC=a+b,DB=a一b,极化恒等式的几何意义.平面向量的极化恒等式及其应用OB推论2：推论2：即AB•Ad=|Ao|2—ob推论3：在AABC中，O是边BC的中点，则AB•AC=|AO|2-OB\2=|AO|2-4|bc|2 亦即向量数量积的第二几何意义.二.平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍.=2：Ab|2+|研、平面向量的极化恒等式及其应用-平面向量的极化恒等式及其应用-向量极化恒等式卷第12卷第12题）【22】#四.三角形“四心”的向量形态1.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不同的三点，动点P满足A.外心OP=OA+九A.外心OP=OA+九九£卜,+8），则动点P的轨迹一定通过AABC的C.重心D.垂心2.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不同的三点，动点P满足OP=OAOP=OA+/-2B—JAB|sinB则动点P的轨迹一定通过AABC的入£th+J.A.外心A.外心B.内心C.重心D.垂心O是平面上一定点，A,B,C是平面上不同的三点，动点P满足op=oA+九op=oA+九[上+1ABIcosB[ACcosC入£t),+8),则动点P的轨迹一定通过AABC的A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心P是AABC所在平面上一点，若PA•PB=PB•PC=PC-PA,p是AABC的A.夕心A.夕心B.内心C.重心D. 垂心AABCO是AABC所在平面内的一点，满足AB2+OC2=AC2+OB2=BC2+OA2,则点O是AABC的——（）A,外心B.内心C.重心D.垂心五.典型案例分析问题1在AABC中，M是BC的中点，AM=3,BC=10,则AB•AC= 【变式】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则DE•DA=问题2已知正三角形问题2已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点，则PA•PB的取值范围是 x2y2【变式】（2010福建文11题）若点O和点F分别为椭圆丁+-=1的中心和左焦点，点P43为椭圆上的任意一点，则OP•FP的最大值为 （ ）A.2B.3C.6D.8问题3（2013浙江理7）在AABC中，P是边AB上一定点，满足PB=1AB，且对于边4AB上任一点P，恒有PB•PC>PB•PC00兀A./ABC=- B./BAC=-2 2C.AB=ACd.AC=BC-b-—«■ ■【变式】（2008浙江理9题）已知a,b是平面内的两个互相垂直的单位向量，若向量c满足a—c)b—c10，则口的最大值是 ( )A.1B.2C.<2 D.半问题3个动点已知直线AB与抛物线y2=4X交于点A,B，点M为AB的中点，C为抛物线上一若C满足CA•CB=minCA•CBI则下列一定成立的是（）【B】00A.CM1ABB.0C0M1l，其中是抛物线过点的切线C.CA1CBD.C0M二AB（2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）问题4在正三角形AABC中，D是BC上的点，AB=3,BD=1,则AB•AD=--（2011年上海第11题）【15】问题5在AABC中，AB=2,AC=3，D是BC的中点，则AD•BC=——（2007年天津文科第15题）【5】问题6正方体ABCD-ABqD1的棱长为2，M是它内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦最长时，PM•PN的最大值为.（2013年浙江省湖州市高三数学二模）【2】.问题7点P是棱长为1的正方体ABCD-ABCD的底面ABCD1111上一点，则PA•PC的取值范围是（2013年北京市朝阳区高三数学二模）【|2』|】.问题8如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8,AD=5，A1I. &CP=3PD，则AP•BP=2.AB•AD的值为.(2014年高考江苏问题9如图，在半径为1的扇形AOB中，NAOB=60。，。为弧上的动点,AB与。。交于点夕，则丽•丽=2最小值为1[2]问题10已知MQ0，y0)是双曲线x2c:——=1上的一点，F,F是C的两个焦点，若MF•MF<0，则y的取值范围是(A.B.C.D.33A.B.C.D.33V J【椭圆与双曲线焦点三角形的几个结论】：在椭圆c：x2 y2——+—在椭圆c：x2 y2——+—=1(a>b>0)中，设ZFMF1 2=e，MLF•M[Fb2C0S2—2S=b2-tan2，|y|AABC 2 11b2tan22在双曲线c：在双曲线c：x2 y21(a>0,b>0)，设ZFMF=0，则1 2MF•IMF1=b2.e

sin2MF•IMF1=b2.e

sin2—22，S=b2-cot—AABC 2lyl= Cx2课外探究1.已知点p是椭圆16+y2=1上任意一点，EF是圆M:x2+(y—2)2=1的直径，则PE•PF的最大值为——【23】