初中数学：《一元二次方程》大单元教学设计

初中数学

一元二次方程大单元教学设计1:课标分析3:学习目标4:单元整体规划5:教学过程2:教材分析

“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.

数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。1:课标分析

本章的具体要求：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；了解一元二次的根与系数的关系；能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性。

本单元属于“数与代数”中方程与不等式的内容，是鲁教版八年级下册第八章，也是初中学段“数与代数”研究的重要内容之一.本单元共包括7节，具体内容包括一元二次方程，用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用.2:教材分析

这些内容既是对代数式、一元一次方程、二元一次方程组和可以化为一元一次方程的分式方程、因式分解、实数、二次根式的巩固、加深和发展，又是今后学习二次函数的基础.因此，本单元内容在学生的数学学习中具有承上启下的重要地位，同时，本单元内容也是解决物理等其他学科问题的重要工具。2：教材分析一元二次方程的纵向联系单元数学要素六年级上册第三章整式及其加减中的代数式六年级上册第四章一元一次方程七年级上册第四章实数七年级下册第七章二元一次方程组八年级上册第一章因式分解八年级下册第七章二次根式九年级上册第三章二次函数二次根式的横向联系

本章在呈现方式上：1、通过丰富的实例，如“地毯四周有多宽”“梯子的底端滑动多少米”等问题，建立一元二次方程，让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，从中体会方程的模型思想。教材的呈现方式2、在第二至四节探索方程解法的过程中，并未单纯地进行解方程的训练，而是适当设计一些应用题，并在三种解法之后又安排了有关的应用内容。

1.经历从具体情境中抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.3：学习目标

2.理解一元二次方程及其相关概念，理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等。4.了解一元二次方程的根与系数的关系，能利用一元二次方程解决有关实际问题。1、一元二次方程及其它们有关的概念。2、用配方法、公式法、因式分解降次解一元二次方程。3、利用实际问题建立一元二次方程的模型，并解决这个问题。教学重点教学难点

一元二次方程配方法解题；用公式法解一元二次方程时的讨论；一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系；建立一元二次方程实际问题的数学模型。

在设计思路上，本章遵循了“问题情境——建立模型——拓展、应用”的模式，首先通过具体问题情境建立有关方程，并归纳出一元二次方程的有关概念，然后探索其各种解法，并在现实情境中加以应用，切实提高学生的应用意识和能力。设计思路

4、单元整体规划单元课时规划教学过程

课型课时课时目标学习内容任务活动

课时作业导读课（10分钟）学生明确单元主题及本单元学习目标，明晰单元结构化活动.能说出单元主题和本单元需要完成的任务.单元结构化活动框架图8.1一元二次方程1.通过具体问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.明确一元二次方程的定义，并能判断一个方程是否是一元二次方程;2.经历估计方程解的过程，体会“二分法”估计方程近似解的无限逼近思想一元二次方程的定义；会化一般式；会找二次项系数、一次项系数、常数项；估计一元二次方程的解；二分法1.观察例题中方程有何共同特征?类比一元一次方程的定义归纳总结出一元二次方程的定义.2.把方程化为一般式,并指出它的二次项一次项常数项3.阅读课本,同桌说一说如何估计一个方程的根课本第52页第2、3题教学过程

课型课时课时目标学习内容任务活动

课时作业8.2用配方法解一元二次方程1能直接用开平方法解方程;能说出配方法的定义,了解配方法解一元二次方程的步骤；会用配方法解数字系数为1的一元二次方程；直接开平方法；会用配方法解数字系数为1的一元二次方程；1.阅读课本观察与思考，总结出配方法的一般步骤，并根据平方根意义解二次项系数为1的一元二次方程2.根据等式的基本性质，将一元二次方程的二次项系数化为1.3.将一元二次方程化为一般式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项，利用配方法解一般形式的一元二次方程.用含a、b、c的式子表示方程的根课本第61页第1、2题教学过程

课型课时课时目标学习内容任务活动

课时作业8.3用公式法解一元二次方程通过小组合作求根公式的探究，能够推导出一元二次方程的求根公式；用公式法解数字系数一元二次方程将一元二次方程化为一般式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项，利用配方法解一般形式的一元二次方程.用含a、b、c的式子表示方程的根课本第67页第1、2题教学过程

课型课时课时目标学习内容任务活动

课时作业8.4用因式分解法解一元二次方程通过探究，学会用因式分解法解特殊的一元二次方程；通过因式分解法解一元二次方程，体会数学中的转化思想。会用因式分解法解特殊的一元二次方程；会用因式分解法解一元二次方程，。提公因式法；（公因式是单项式和多项式）十字相乘法课本第70页第1、2题8.5一元二次方程的根与系数的关系1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程，能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；1.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理；2.能运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；观察求根公式，根的情况与什么有关？小组讨论并总结根的情况5.不解方程，判断数字系数方程根的情况；根据根的判别式，求字母系数的取值范围课本第72页第1、2、3题教学过程

课型课时课时目标学习内容任务活动

课时作业8.6一元二次方程的应用1.能根据题意找出正确的等量关系。2.能正确的列出一元二次方程解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。3.经历列方程解决实际问题的过程，增强数学的应用意识和能力。面积问题；增长率问题；利润问题；根据题意，找出等量关系，列出方程，总结列一元二次方程的一般步骤是什么？应注意什么问题？课本第77页第1、2题一元二次方程的概念及解法1．一元二次方程的概念：只含有①一个未知数，且未知数的最高次数是②2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是③ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．【注意】对于方程ax2＋bx＋c＝0，只有当④a≠0时才是一元二次方程．如果说ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，那么必然隐含着⑤a≠0．2．一元二次方程的解法：一元二次方程根的判别式1．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由⑧b2－4ac来判定，我们将⑨b2－4ac称为根的判别式．2．判别式与根的关系：(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个⑩不相等的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个⑪相等的实数根；(3)b2－4ac＜0⇔方程⑫没有实数根．3．关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0.(1)若有两个相等的实数根，则k的值是5；(2)若有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜5且k≠1；(3)若没有实数根，则k的取值范围是k＞5；(4)若有实数根，则k的取值范围是k≤5且k≠1．【变式提问】若关于x的方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是k≤5．【易错提示】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上二次项系数不为0这个限制条件．一元二次方程根与系数的关系当b2－4ac≥0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，则有：x1＋x2＝⑬－，x1x2＝⑭．一元二次方程的解与系数a，b，c的关系(1)当c＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一解为x＝0；(2)当a＋b＋c＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一解为x＝1；(3)当a－b＋c＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一解为x＝－1.一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系

典型例题已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0.(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值．【思路点拨】(1)根据根的判别式得出Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋9＞0，据此可得答案；(2)根据根与系数的关系得出x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m－2，代入x1＋x2＋3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．【自主解答】解：(1)证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋4m＋1－4m＋8＝4m2＋9＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m－2.由x1＋x2＋3x1x2＝1，得－(2m＋1)＋3(m－2)＝1.解得m＝8.一元二次方程的应用常见类型及其关系式1．增长率问题：设基础量是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a(1＋x)；第二次增长后为a(1＋x)2．若增长两次后的量为b，则有a(1＋x)2＝b．练习：1、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是100(1－x)2＝81；2、某机械厂七月份生产零件100万个，九月份生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，则x满足的方程是100(1＋x)2＝196．一元二次方程的应用2．面积问题如图，长为a，宽为b的矩形ABCD的四个角都剪去一个边长为x的正方形后做成一个无盖的盒子，则该盒子的底面积S＝(a－2x)(b－2x)1．春节期间x个老同学聚会．(1)若每两个人都握一次