初高中数学衔接知识点+配套测验

#/15说明：(1分)式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：(a+b)(a2—ab+b2)=a3+b3(立方和公式)(a—b)(a2+ab+b2)=a3—b3(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：a3+b3=(a+b)(a2—ab+b2)a3—b3=(a—b)(a2+ab+b2)这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和).运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：8+x3 (2)0.125—27b3分析：⑴中，8=23,(2)中0.125-0.53,27b3;(3b)3.解：(1)8+x3=23+x3=(2+x)(4—2x+x2)0.125—27b3=0.53—(3b)3=(0.5—3b)[0.52+0.5x3b+(3b)2]二(0.5—3b)(0.25+1.5b+9b2)说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如8a3b3=(2ab)3，这里逆用了法则(ab)n=anbn；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：3a3b—81b4 (2)a7—ab6分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现a6—b6,可看着是(a3)2—(b3)2或(a2)3—(b2)3.解：(1)3a3b—81b4=3b(a3—27b3)=3b(a—3b)(a2+3ab+9b2).a7—ab6=a(a6—b6)=a(a3+b3)(a3—b3)=a(a+b)(a2—ab+b2)(a—b)(a2+ab+b2)=a(a+b)(a—b)(a2+ab+b2)(a2—ab+b2)二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma+mb+na+nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组..分组后能提取公因式【例3】把2ax—10ay+5by—bx分解因式.分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x—5y，这样可以继续提取公因式．解：2ax—10ay+5by—bx=2a(x—5y)—b(x—5y)=(x—5y)(2a—b)说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把ab(c2—d2)—(a2—b2)cd分解因式.分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：ab(c2—d2)—(a2—b2)cd=abc2—abd2—a2cd+b2cd=(abc2—a2cd)+(b2cd—abd2)=ac(bc—ad)+bd(bc—ad)=(bc—ad)(ac+bd)说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用..分组后能直接运用公式【例5】把x2—y2+ax+ay分解因式.分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x+y；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是x+y.解：x2—y2+ax+ay=(x+y)(x—y)+a(x+y)=(x+y)(x—y+a)【例6】把2x2+4xy+2y2—8工2分解因式.分析：先将系数2提出后，得到x2+2xy+y2—4z2,其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式.解：2x2+4xy+2y2-8z2=2(x2+2xy+y2-4z2)=2[(x+y)2-(2z) -15=(-5)x3,(-5)+3=-2••x2-2 -15=(-5)x3,(-5)+3=-2••x2-2x-15=x+(-5)x](+3=x(-x5)* 3)说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式.三、十字相乘法1.x2+(p+q)x+pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)因此，x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.【例7】把下列各式因式分解：x2-7x+6 (2)x2+13x+36解：(1) 6=(-1)x(-6),(-1)+(-6)=-7••x2-7x+6=x+(-1)x[+-6月(-x1)-( 6)36=4x9,4+9=13••x2+13x+36=x+4x(+9)说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同.【例8】把下列各式因式分解：(1)x2+5x-24 (2)x2-2x-15解：(1) -24=(-3)x8,(-3)+8=5••x2+5x-24=x+(-3)x](+8=x(-x3)+ 8)

【例9】把下列各式因式分解：X2+xy—6y2 (2)(x2+x)2—8(x2+x)+12分析：(1)把x2+xy—6y2看成x的二次三项式，这时常数项是-6y2，一次项系数是y，把一6y2分解成3y与—2y的积，而3y+(—2y)=y，正好是一次项系数.(2)由换元思想，只要把x2+x整体看作一个字母〃，可不必写出，只当作分解二次三项式a2—8a+12.解：(1)x2+xy—6y2=x2+yx-62=(x+3y)(x—2y)(x2+x)2—8(x2+x)+12=(x2+x—6)(x2+x—2)=(x+3)(x—2)(x+2)(x—1)2.一般二次三项式ax2+bx+c型的因式分解TOC\o"1-5"\h\z大家知道，(ax+c)(ax+c)=aax2+(ac+ac)x+cc.1 1 2 2 12 12 21 12反过来，就得到：aax2+(ac+ac)x+cc=(ax+c)(ax+c)12 12 21 12 1 1 2 2我们发现，二次项系数a分解成aa，常数项c分解成cc，把aacc 写成a1Xc1，12 12 1212 ac22这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到吓2+a21,如果它正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解成父+“(a2x+c2)，其中a/1位于上一行，a2,c2位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．【例10】把下列各式因式分解：12x12x2—5x—25x2+6xy—8y23X—21X2y5—4y解：(1)12x2—5x—2=1X2y5—4y5x2+6xy—8y2=(x+2y)(5x—4y)说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．四、其它因式分解的方法.配方法【例11】分解因式X2+6X—16解：x2+6x—16=x2+2xxx3+32—32—16=(x+3)2—52=(X+3+5)(X+3—5)=(X+8)(X—2)说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验..拆、添项法【例12】分解因式X3—3X2+4分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解：X3—3X2+4=(X3+1)—(3X2—3)=(X+1)(X2—X+1)—3(X+1)(X—1)=(X+1)[(X2—X+1)—3(X—1)]=(X+1)(X2—4x+4)=(x+1)(X—2)2说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件.本题还可以将—3X2拆成X2—4J2，将多项式分成两组(X3+X2)和—4X2+4.一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解;(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.第三讲一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)，用配方法将其变形为：/b、 b2—4ac(X+——)2=一2a 4a2(1)当b2—4ac>0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根：

一b土bb2—4acx- 2ab(2)当b2—4ac-0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：x-——1,2 2a(3)当b2—4ac<0时，右端是负数.因此，方程没有实数根.由于可以用b2—4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把b2—4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c-0(a中0)的根的判别式，表示为：A-b2—4ac【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：2x2—3x+1-0 (2)4y2+9-12y(3)5(x2+3)—6x-0解：(1) A-(—3)2—4x2x1-1>0,・・・原方程有两个不相等的实数根.••原方程可化为：4y2—12y+9-0A-(—12)—4x4x9-.0原方程有两个相等的实数根.原方程可化为：5x2—6x+15-0A-(—62)—4x5x15-—26上・・・0原方程没有实数根.说明：在求判别式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.【例2】已知关于x的一元二次方程3x2—2x+k-0，根据下列条件，分别求出k的方程有两个相等的实数根方程无实数根.范围：方程有两个相等的实数根方程无实数根.方程有两个不相等的实数根;方程有实数根；解：A=(—2)2—4x3xk-4—12k(1)4—(1)4—12k>0nk<-；^34—12k>0nk<1；^3(2)4—12k-0nk--；^34—12k<0nk>3【例3】已知实数x、y满足x2+y2—xy+2x—y+1-0，试求x、y的值.解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：x2—(y—2)x+y2—y+1-0由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：A-[—(y—2)]2—4(y2—y+1)-—3y2>0ny-0,代入原方程得：x2+2x+1-0nx-—1•

综上知：x=-1,y=0元二次方程的根与系数的关系元二次方程axx—xI=J(x+x)2—4xx，x—xI=J(x+x)2—4xx，1 2 1 2 12一b+b22—4ac 一b一<b2—4acx= ,x= TOC\o"1-5"\h\z2a 2a一b+b22-4ac一b一b22一4ac b所以：\+x2= 2a + 2a =一ax・x12—b+b22—4ac—b—bb2—4ac(—b)2—Qb2—4ac)24acc

x・x122a 2a (2a)2 4a2 a定理：如果一元二次方程⑪2+bx+c=0（a00）的两个根为xjx2，那么:bc———,xx——a12a说明：元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为"韦达定理”.上述定理成立的前提是A>0.说明：【例4】若x,x是方程x2+2x—2007—0的两个根，试求下列各式的值:12x2x2+x2；

1211+-；xx12(x1—5)(x2—5)；|x—x|．12分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：xJx2=-2,xJ2=-2007TOC\o"1-5"\h\zx2+x2=(x+x)2—2xx=(—2)2—2(—2007)—40181 2 1 2 121x+x—2 2+ —12=―xxxx —200720071 2 12(x—5)(x—5)=xx—5(x+x)+25——2007—5(—2)+25——19721 2 12 1 2।x—x|=弋(x—x)2=t(x+x)2—4xx=<(—2)2—4(—2007)=2<2008=4.5022 1 2 1 2 12说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：1 1 1 1 x+x—+—― 2x xxx1 2 12x2+x2—(x+x)2—2xx，

1 2 1 2 12(x—x)2—(x+x)2—4xx，

1 2 1 2 12xx2+x2x—xx(x+x)，12 1 2 12 1 2x3+x3—(x+x)3—3xx(x+x)等等．韦达定理体现了整体思想．1 2 1 2 12 1 21【例5】已知关于X的方程x2—(k+1)x+-k2+1=0,根据下列条件，分别求出k的

4值．TOC\o"1-5"\h\z(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根x,x满足Ix1=x.12 1 2分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是x=x>0，二是一x=x，12 12所以要分类讨论．解：(1)二•方程两实根的积为5\ ,1,1八A=[—(k+1)]2-4(-k2+1)>0 &4 3・•.V 4 nk>-,k=±4xx=-k2+1=5、12 4所以，当k=4时，方程两实根的积为5由IxI=x得知：123①当x>0时，x=x，所以方程有两相等实数根，故A=0nk=-；1 12 2②当x<0时，一x=xnx+x=0nk+1=0nk=-1,由于1 12 123A>0nk>，故k=-1不合题意，舍去.3综上可得，k=-时，方程的两实根x,x满足IxI=x.2 12 1 2说明：根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足A>0.【例6】已知x,x是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.123(1)是否存在实数k，使(2x-x)(x-2x)=-成立？若存在，求出k的值；1 21 2 2若不存在,请您说明理由．xx(2)求使—+-—2的值为整数的实数k的整数值.xx213解：(1)假设存在实数k，使(2x-x)(x-2x)=--成立.1 21 2 2•・•一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根[4k丰0...V nk<0,[A=(-4k)2-4•4k(k+1)=-16k>0又x,x是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根12

x+x=11 2Vk+1xx4k.,.(2x—x)(x—2x)4k.,.(2x—x)(x—2x)=2(x2+%2)-5xx=2(x+x)2—9xx12k+9121212124k—3淮2但k<0.，不存在实数k3使(25-x2)(x「2x2)=-2成立.xx(2)•・•一+T—2=

xx21x2+x2-4 2--2=xx12(x+x)2

―1 2—xx124k 4—4= -4=——.要使其值是整数，只需k+1能被整除，故k+1=±1,±2,±4,注意到k<0xx要使1+2—2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.xx21说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在.4(2)本题综合性较强,要学会对E为整数的分析方法.

第四讲二次函数的最值问题二次函数J=ax2+bx+。（a丰0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础.在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况当a>0时，b函数在x二-2a处取得最小值4ac一b24ab，无最大值；当a<0时，函数在x二一五处取得4acb函数在x二-2a处取得最小值4ac一b24ab，无最大值；当a<0时，函数在x二一五处取得4ac一b2最大值4a，无最小值.本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.【例1】当一2<x<2时，求函数j=x2-2x一3的最大值和最小值.分析：作出函数及其对称轴在所给范围的草图，（注意：是所给范围的。在下面的图中，所给范围的有效图象是用实线标示的，虚线部分是无效部分）观察有效图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值.解：作出函数的图象.当x=1时，J.二一4，当x二-2时，J=5.minJ= 2 -1x【例2】当解：作出函数1<x<2时，求的图象.当x=1J=T，当maxmax函的最大值和最小值．时J二-5.min由上述两