线性代数课后习题答案全习题详解

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--内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数课后习题答案全习题详解(总92页)PAGE第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）；（2）;（3）；（4）.解（1）==（2）（3）（4）2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1234；（2）4132；（3）3421；（4）2413；（5）13…24…；（6）13……2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：41，43，42，32（3）逆序数为5：32，31，42，41,21（4）逆序数为3：21，41，43（5）逆序数为：321个52，542个72，74，763个…2，4，6，…，个（6）逆序数为321个52，542个…2，4，6，…，个421个62，642个…2，4，6，…，个3.写出四阶行列式中含有因子的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算下列各行列式：（1）；（2）；（3）；（4）解(1)===0(2)=0(3)===(4)===5.证明:(1)=;(2)=;(3);(4);(5).证明(1)(2)(3)(4)=====(5)用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立，即所以，对于阶行列式命题成立.6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得，，，证明.证明同理可证7.计算下列各行列式（）：(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；(2);(3);提示：利用范德蒙德行列式的结果．(4);(5);(6),.解(1)()(2)将第一行乘分别加到其余各行，得再将各列都加到第一列上，得(3)从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行…，经次行交换，得此行列式为范德蒙德行列式(4)由此得递推公式：即而得(5)=(6)8.用克莱姆法则解下列方程组：解(1);(2)()．9.有非零解解，齐次线性方程组有非零解，则即得不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.10.有非零解解齐次线性方程组有非零解，则得不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1已知线性变换求从变量x1x2x3到变量y1y2y3的线性变换解由已知故2已知两个线性变换求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换解由已知所以有3设求3AB2A及ATB解4计算下列乘积(1)解(2)解(132231)(10)(3)解(4)解(5)解(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a23x2a33x3)5设问(1)ABBA吗解ABBA因为所以ABBA(2)(AB)2A22ABB2吗解(AB)2A22ABB2因为但所以(AB)2A22ABB2(3)(AB)(AB)A2B2吗解(AB)(AB)A2B2因为而故(AB)(AB)A2B26举反列说明下列命题是错误的(1)若A20则A0解取则A20但A0(2)若A2A则A0或AE解取则A2A但A0且AE(3)若AXAY且A0则XY解取则AXAY且A0但XY7设求A2A3Ak解8设求Ak解首先观察用数学归纳法证明当k2时显然成立假设k时成立，则k1时，由数学归纳法原理知9设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵证明因为ATA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB从而BTAB是对称矩阵10设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA证明充分性因为ATABTB且ABBA所以(AB)T(BA)TATBTAB即AB是对称矩阵必要性因为ATABTB且(AB)TAB所以AB(AB)TBTATBA11求下列矩阵的逆矩阵(1)解|A|1故A1存在因为故(2)解|A|10故A1存在因为所以(3)解|A|20故A1存在因为所以(4)(a1a2an0)解由对角矩阵的性质知12解下列矩阵方程(1)解(2)解(3)解(4)解13利用逆矩阵解下列线性方程组(1)解方程组可表示为故从而有(2)解方程组可表示为故故有14设AkO(k为正整数)证明(EA)1EAA2Ak1证明因为AkO所以EAkE又因为EAk(EA)(EAA2Ak1)所以(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推论知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1证明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)两端同时右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak115设方阵A满足A2A2EO证明A及A2E都可逆并求A1及(A2E)1证明由A2A2EO得A2A2E即A(AE)2E或由定理2推论知A可逆且由A2A2EO得A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或由定理2推论知(A2E)可逆且证明由A2A2EO得A2A2E两端同时取行列式得|A2A|2即|A||AE|2故|A|0所以A可逆而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆由A2A2EOA(AE)2EA1A(AE)2A1E又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E)4E所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)116设A为3阶矩阵求|(2A)15A*|解因为所以|2A1|(2)3|A1|8|A|1821617设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A1)*证明由得A*|A|A1所以当A可逆时有|A*||A|n|A1||A|n10从而A*也可逆因为A*|A|A1所以(A*)1|A|1A又所以(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*18设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明(1)若|A|0则|A*|0(2)|A*||A|n1证明(1)用反证法证明假设|A*|0则有A*(A*)1E由此得AAA*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0(2)由于则AA*|A|E取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0则|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此时命题也成立因此|A*||A|n119设ABA2B求B解由ABA2E可得(A2E)BA故20设且ABEA2B求B解由ABEA2B得(AE)BA2E即(AE)B(AE)(AE)因为所以(AE)可逆从而21设Adiag(121)A*BA2BA8E求B解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A18[A(A*2E)]18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA)14[diag(212)]12diag(121)22已知矩阵A的伴随阵且ABA1BA13E求B解由|A*||A|38得|A|2由ABA1BA13E得ABB3AB3(AE)1A3[A(EA1)]1A23设P1AP其中求A11解由P1AP得APP1所以A11A=P11P1.|P|3而故24设APP其中求(A)A8(5E6AA2)解()8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P()P125设矩阵A、B及AB都可逆证明A1B1也可逆并求其逆阵证明因为A1(AB)B1B1A1A1B1而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积所以A1(AB)B1可逆即A1B1可逆(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A26计算解设则而所以即27取验证解而故28设求|A8|及A4解令则故29设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆求(1)解设则由此得所以(2)解设则由此得所以30求下列矩阵的逆阵(1)解设则于是(2)解设则第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1);(2);(3);(4).解(1)(2)(3)(4)2.设，求A。解：A==3．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1);(2).解（1）故逆矩阵为(2)故逆矩阵为4．(1)设,求使;(2)设,求使.解(1)(2)．5.设，AX=2X+A,求X。解：由AX=2X+A得：X＝＝6．在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式有没有等于0的阶子式解在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也可能存在等于0的阶子式.例如，.同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.7．从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问的秩的关系怎样解设，且的某个阶子式.矩阵是由矩阵划去一行得到的，所以在中能找到与相同的阶子式，由于，故而.8．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是,解设为五维向量,且,,则所求方阵可为秩为4,不妨设取故满足条件的一个方阵为9．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1);(2)；(3).解(1).二阶子式．(2).二阶子式．(3)秩为3三阶子式．10.设A、B都是矩阵，证明的充分必要条件是。证：必要性即定理3，故需证明充分性，设=r，由矩阵的等价标准型理论知矩阵A、B具有相同的标准型，，于是，，从而由等价关系的对称性和传递性，知。11.设，问k为何值时，可使：(1)；(2)；(3)。解：对A作初等变换，～，于是，由定理3，(1)当k＝1时，；(2)当k＝-2时，；(3)当时，。12．求解下列齐次线性方程组:(1)(2)(3)(4)解(1)对系数矩阵实施行变换:,即得.故方程组的解为.(2)对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为(3)对系数矩阵实施行变换:即得.故方程组的解为(4)对系数矩阵实施行变换:即得.故方程组的解为13．求解下列非齐次线性方程组:(1)(2)(3)(4)解(1)对系数的增广矩阵施行行变换,有而,故方程组无解．(2)对系数的增广矩阵施行行变换:,即得.亦即.(3)对系数的增广矩阵施行行变换:,即得即(4)对系数的增广矩阵施行行变换:即得即14.写出一个以（*）为通解的齐次线性方程组。解：把(*)式改写为把，，得，由此知所求方程组有2个自由未知数，，且对应的方程组为，即，它以(*)式为通解。15．取何值时,非齐次线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解解(1),即时方程组有唯一解.(2)由,得时,方程组无解.(3),由,得时,方程组有无穷多个解.16．非齐次线性方程组当取何值时有解并求出它的通解．解方程组有解，须得当时,方程组解为当时,方程组解为17．设.问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解并在有无穷多解时求其通解．解当,即且时，有唯一解.当且，即时，无解.当且，即时，有无穷多解.此时，增广矩阵为原方程组的解为()18.证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量，使。证：充分性：设，，并不妨设，利用矩阵秩的定义，显然，有一个一阶非零子式，任取的一个2阶子式（为确定起见，不妨设取的第i行、第j行及第k列、第l列所得2阶子式）：，于是，。必要性：设因，由等价标准型理论知，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使，于是＝＝其中和分别为非零m维列向量及非零n维行向量。19.设A为矩阵，证明：(1)方程有解的充分必要条件是；(2)方程有解的充分必要条件是；证：方程有解(定理7)（必要性由不等式得到；充分性由不等式得到）。方程有解有解。20.设A为矩阵，若，且，则。证：将矩阵X，Y按列分块为，，则＝如果，且；即，且；亦即，且，那么根据齐次线性方程组的理论，当时，齐次线性方程组只有零解，只有零解，即，亦即，，故。第四章向量组的线性相关性1．设,求及.解2．设其中,,,求.解由整理得3已知向量组Aa1(0123)Ta2(3012)Ta3(2301)TBb1(2112)Tb2(0211)Tb3(4413)T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由知R(A)R(AB)3所以B组能由A组线性表示由知R(B)2因为R(B)R(BA)所以A组不能由B组线性表示4已知向量组Aa1(011)Ta2(110)TBb1(101)Tb2(121)Tb3(321)T证明A组与B组等价证明由知R(B)R(BA)2显然在A中有二阶非零子式故R(A)2又R(A)R(BA)2所以R(A)2从而R(A)R(B)R(AB)因此A组与B组等价5已知R(a1a2a3)2R(a2a3a4)3证明(1)a1能由a2a3线性表示(2)a4不能由a1a2a3线性表示证明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示(2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示6判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1)(131)T(210)T(141)T(2)(230)T(140)T(002)T解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关7问a取什么值时下列向量组线性相关a1(a11)Ta2(1a1)Ta3(11a)T解以所给向量为列向量的矩阵记为A由知当a1、0、1时R(A)3此时向量组线性相关8设a1a2线性无关a1ba2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1ba2b线性相关故存在不全为零的数12使1(a1b)2(a2b)0由此得设则bca1(1c)a2cR9设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关试举例说明之解不一定例如当a1(12)T,a2(24)T,b1(11)T,b2(00)T时有a1b1(12)Tb1(01)T,a2b2(24)T(00)T(24)T而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的10．举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示.(2)若有不全为0的数使成立,则线性相关,亦线性相关.(3)若只有当全为0时,等式才能成立,则线性无关,亦线性无关.(4)若线性相关,亦线性相关,则有不全为0的数,使同时成立.解(1)设,满足线性相关,但不能由线性表示.(2)有不全为零的数使原式可化为取.其中为单位向量,则上式成立,而,均线性相关.(3)由(仅当)线性无关取,取为线性无关组.满足以上条件,但不能说是线性无关的.(4)与题设矛盾.11．设,证明向量组线性相关.证明设有使得则(1)若线性相关,则存在不全为零的数,;;;;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2)若线性无关,则由知此齐次方程存在非零解.则线性相关.综合得证.12．设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明设则因向量组线性无关,故因为故方程组只有零解.则.所以线性无关13．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1),,;(2),,.解(1)线性相关.由秩为2,一组最大线性无关组为.(2)秩为2,最大线性无关组为.14．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示:(1);(2).解(1)所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．15设向量组(a31)T(2b3)T(121)T(231)T的秩为2求ab解设a1(a31)Ta2(2b3)Ta3(121)Ta4(231)T因为而R(a1a2a3a4)2所以a2b516．设是一组维向量,已知维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.证明维单位向量线性无关.不妨设:所以两边取行列式，得由即维向量组所构成矩阵的秩为.故线性无关.17．证明设为一组维单位向量，对于任意维向量则有即任一维向量都可由单位向量线性表示.线性无关，且能由单位向量线性表示，即故两边取行列式，得由令.由即都能由线性表示，因为任一维向量能由单位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示.已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组：可由线性表示，由16题知线性无关.18设向量组a1a2am线性相关且a10证明存在某个向量ak(2km)使ak能由a1a2ak1线性表示证明因为a1a2am线性相关所以存在不全为零的数12m使1a12a2mam0而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10矛盾因此存在k(2km)使k0k1k2m0于是1a12a2kak0ak(1/k)(1a12a2k1ak1)即ak能由a1a2ak1线性表示19．设向量组能由向量组线性表示为，其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩.证明若组线性无关令则有由定理知由组:线性无关知，故.又知为阶矩阵则由于向量组:能由向量组:线性表示,则综上所述知即．若令,其中为实数则有又,则由于线性无关,所以即（1）由于则(1)式等价于下列方程组:由于所以方程组只有零解.所以线性无关,证毕.20设证明向量组12n与向量组12n等价证明将已知关系写成将上式记为BAK因为所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12n与向量组12n可相互线性表示因此向量组12n与向量组12n等价21已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3AxA2x且向量组xAxA2x线性无关(1)记P(xAxA2x)求3阶矩阵B使APPB解因为APA(xAxA2x)(AxA2xA3x)(AxA2x3AxA2x)所以(2)求|A|解由A3x3AxA2x得A(3xAxA2x)0因为xAxA2x线性无关故3xAxA2x0即方程Ax0有非零解所以R(A)3|A|022．求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)(2)(3).解(1)所以原方程组等价于取得;取得.因此基础解系为(2)所以原方程组等价于取得;取得.因此基础解系为(3)原方程组即为取得取得取得所以基础解系为23．设,求一个矩阵,使,且.解由于,所以可设.则由可得,解此非齐次线性方程组可得唯一解，故所求矩阵．24．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为.解显然原方程组的通解为,()即消去得此即所求的齐次线性方程组.25设四元齐次线性方程组III求(1)方程I与II的基础解系(2)I与II的公共解解(1)由方程I得取(x3x4)T(10)T得(x1x2)T(00)T取(x3x4)T(01)T得(x1x2)T(11)T因此方程I的基础解系为1(0010)T2(1101)T由方程II得取(x3x4)T(10)T得(x1x2)T(01)T取(x3x4)T(01)T得(x1x2)T(11)T因此方程II的基础解系为1(0110)T2(1101)T(2)I与II的公共解就是方程III的解因为方程组III的系数矩阵所以与方程组III同解的方程组为取x41得(x1x2x3)T(112)T方程组III的基础解系为(1121)T因此I与II的公共解为xc(1121)TcR26．设阶矩阵满足,为阶单位矩阵,证明(提示:利用矩阵性质6和8。)证明所以由21题所证可知又由11题所证可知由此．27设A为n阶矩阵(n2)A*为A的伴随阵证明证明当R(A)n时|A|0故有|AA*|||A|E||A|0|A*|0所以R(A*)n当R(A)n1时|A|0故有AA*|A|E0即A*的列向量都是方程组Ax0的解因为R(A)n1所以方程组Ax0的基础解系中只含一个解向量即基础解系的秩为1因此R(A*)1当R(A)n2时A中每个元素的代数余子式都为0故A*O从而R(A*)028．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：(1)(2)解(1)(2)29．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量．且，求该方程组的通解．解由于矩阵的秩为3，，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得为其基础解系向量，故此方程组的通解：，30设有向量组Aa1(210)Ta2(215)Ta3(114)T及b(11)T问为何值时(1)向量b不能由向量组A线性表示(2)向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一(3)向量b能由向量组A线性表示且表示式不唯一并求一般表示式解(1)当40时R(A)R(Ab)此时向量b不能由向量组A线性表示(2)当4时R(A)R(Ab)3此时向量组a1a2a3线性无关而向量组a1a2a3b线性相关故向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一(3)当40时R(A)R(Ab)2此时向量b能由向量组A线性表示且表示式不唯一当40时方程组(a3a2a1)xb的解为cR因此b(2c1)a3(3c1)a2ca1即bca1(3c1)a2(2c1)a3cR31设a(a1a2a3)Tb(b1b2b3)Tc(c1c2c3)T证明三直线l1a1xb1yc10l2a2xb2yc20(ai2bi20i123)l3a3xb3yc30相交于一点的充分必要条件为向量组ab线性无关且向量组abc线性相关证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组即有唯一解上述方程组可写为xaybc因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由ab唯一线性表示而c能由ab唯一线性表示的充分必要条件为向量组ab线性无关且向量组abc线性相关32设矩阵A(a1a2a3a4)其中a2a3a4线性无关a12a2a3向量ba1a2a3a4求方程Axb的通解解由ba1a2a3a4知(1111)T是方程Axb的一个解由a12a2a3得a12a2a30知(1210)T是Ax0的一个解由a2a3a4线性无关知R(A)3故方程Axb所对应的齐次方程Ax0的基础解系中含一个解向量因此(1210)T是方程Ax0的基础解系方程Axb的通解为xc(1210)T(1111)TcR33．设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:(1)线性无关；(2)线性无关。证明(1)反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数使得下式成立:(1)其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。由于为特解，为基础解系，故得而由(1)式可得故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得产生矛盾,假设不成立,故线性无关.(2)反证法,假使线性相关.则存在着不全为零的数使得下式成立:（2）即1)若,由于是线性无关的一组基础解系,故,由(2)式得此时与假设矛盾.2)若由题(1)知,线性无关,故与假设矛盾,综上,假设不成立,原命题得证.34.设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足.证明也是它的解.证明由于是非齐次线性方程组的个解.故有而即（）从而也是方程的解．35．设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它的个线性无关的解(由题24知它确有个线性无关的解)．试证它的任一解可表示为（其中）.证明设为的任一解．由题设知：线性无关且均为的解．取，则它的均为的解．用反证法证：线性无关．反设它们线性相关，则存在不全为零的数：使得即亦即由线性无关知矛盾，故假设不对．线性无关，为的一组基．由于均为的解，所以为的解可由线性表出．令则,证毕．36．设问是不是向量空间为什么证明集合成为向量空间只需满足条件：若，则若，则是向量空间，因为：..,且故故不是向量空间，因为：故.故当时，37．试证:由所生成的向量空间就是.证明设于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3,所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间就是.38．由所生成的向量空间记作,由所生成的向量空间记作,试证.证明设,任取中一向量,可写成,要证,从而得由得上式中,把看成已知数,把看成未知数有唯一解同理可证:()故39．验证为的一个基,并把用这个基线性表示.解由于即矩阵的秩为3.故线性无关，则为的一个基.设，则故设，则故线性表示为40已知R3的两个基为a1(111)Ta2(101)Ta3(101)Tb1(121)Tb2(234)Tb3(343)T求由基a1a2a3到基b1b2b3的过渡矩阵P解设e1e2e3是三维单位坐标向量组则于是由基a1a2a3到基b1b2b3的过渡矩阵为第五章相似矩阵及二次型1．试用施密特法把下列向量组正交化：(1)；(2)解(1)根据施密特正交化方法:令，，，故正交化后得:．根据施密特正交化方法:令;,故正交化后得2．下列矩阵是不是正交矩阵并说明理由:(1);(2)．解(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．3设x为n维列向量xTx1令HE2xxT证明H是对称的正交阵证明因为HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT所以H是对称矩阵因为HTHHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE所以H是正交矩阵4．设与都是阶正交阵，证明也是正交阵．证明因为是阶正交阵，故，故也是正交阵．5．求下列矩阵的特征值和特征向量:(1);(2);(3).并问它们的特征向量是否两两正交解(1)①.故的特征值为．②当时,解方程,由得基础解系所以是对应于的全部特征值向量．当时,解方程,由得基础解系所以是对应于的全部特征向量．③故不正交．(2)①.故的特征值为．②当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量．③，，，所以两两正交．(3)=,当时，取为自由未知量，并令，设.故基础解系为当时，可得基础解系综上所述可知原矩阵的特征向量为6设A为n阶矩阵证明AT与A的特征值相同证明因为|ATE||(AE)T||AE|T|AE|所以AT与A的特征多项式相同从而AT与A的特征值相同7设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n证明A与B有公共的特征值有公共的特征向量证明设R(A)rR(B)t则rtn若a1a2anr是齐次方程组Ax0的基础解系显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量类似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量由于(nr)(nt)n(nrt)n故a1a2anrb1b2bnt必线性相关于是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0记k1a1k2a2knranr(l1b1l2b2lnrbnr)则k1k2knr不全为0否则l1l2lnt不全为0而l1b1l2b2lnrbnr0与b1b2bnt线性无关相矛盾因此0是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征值有公共的特征向量8设A23A2EO证明A的特征值只能取1或2证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量则(A23A2E)x2x3x2x(232)x0因为x0所以2320即是方程2320的根也就是说1或29设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1因为|A|等于所有特征值之积又|A|1所以必有奇数个特征值为1即1是A的特征值10设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值证明设x是AB的对应于0的特征向量则有(AB)xx于是B(AB)xB(x)或BA(Bx)(Bx)从而是BA的特征值且Bx是BA的对应于的特征向量11已知3阶矩阵A的特征值为123求|A35A27A|解令()3527则(1)3(2)2(3)3是(A)的特征值故|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)3231812已知3阶矩阵A的特征值为123求|A*3A2E|解因为|A|12(3)60所以A可逆故A*|A|A16A1A*3A2E6A13A2E令()61322则(1)1(2)5(3)5是(A)的特征值故|A*3A2E||6A13A2E||(A)|(1)(2)(3)15(5)2513．设都是阶方阵，且，证明与相似．证明则可逆则与相似．14设矩阵可相似对角化求x解由得A的特征值为16231因为A可相似对角化所以对于231齐次线性方程组(AE)x0有两个线性无关的解因此R(AE)1由知当x3时R(AE)1即x3为所求15已知p(111)T是矩阵的一个特征向量(1)求参数ab及特征向量p所对应的特征值解设是特征向量p所对应的特征值则(AE)p0即解之得1a3b0(2)问A能不能相似对角化并说明理由解由得A的特征值为1231由知R(AE)2所以齐次线性方程组(AE)x0的基础解系只有一个解向量因此A不能相似对角化16．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:(1);(2)．解(1)故得特征值为．当时，由.解得.单位特征向量可取:当时,由.解得.单位特征向量可取:当时,由.解得．单位特征向量可取:得正交阵.(2)，故得特征值为当时，由.解得此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量;单位化得当时,由.解得.单位化.得正交阵.．17．设矩阵与相似，求；并求一个正交阵P，使.解方阵与相似，则与的特征多项式相同，即．18设3阶方阵A的特征值为122231对应的特征向量依次为p1(011)Tp2(111)Tp3(110)T求A.解令P(p1p2p3)则P1APdiag(221)APP1因为所以19设3阶对称阵A的特征值为112130对应1、2的特征向量依次为p1(122)Tp2(212)T求A解设则Ap12p1Ap22p2即①②再由特征值的性质有x1x4x61230③由①②③解得令x60得x20因此20．设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为,求.解设.由，知①3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，故利用①可推出秩为1.则存在实的使得②成立．由①②解得．得．21设a(a1a2an)Ta10AaaT(1)证明0是A的n1重特征值证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量则有Axx2xA2xaaTaaTxaTaAxaTax于是可得2aTa从而0或aTa设12n是A的所有特征值因为AaaT的主对角线性上的元素为a12a22an2所以a12a22an2aTa12n这说明在12n中有且只有一个等于aTa而其余n1个全为0即0是A的n1重特征值(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量解设1aTa2n0因为AaaaTa(aTa)a1a所以p1a是对应于1aTa的特征向量对于2n0解方程Ax0即aaTx0因为a0所以aTx0即a1x1a2x2anxn0其线性无关解为p2(a2a100)Tp3(a30a10)Tpn(an00a1)T因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为22设求A100解由得A的特征值为112535对于11解方程(AE)x0得特征向量p1(100)T对于15解方程(A5E)x0得特征向量p2(212)T对于15解方程(A5E)x0得特征向量p3(121)T令P(p1p2p3)则P1APdiag(155)APP1A100P100P1因为100diag(151005100)