环境数学模型-研究生1

环境数学模型天津理工大学环境科学与平安工程学院2023.1目录环境问题的数学模型概述环境数学根底知识环境质量根本模型环境容量模型环境质量评价模型多介质环境生态数学模型环境生态学数学模型主要参考书：《环境数学模型》，宋新山、邓伟编，科学出版社，2004年9月〔第一版〕《环境数学模型》郑彤陈春云编环境科学与工程系列丛书，北京化学工业出版社，2003年4月《水环境系统模拟》，汪家权、钱家忠主编，合肥工业大学出版社，2006年1月(第1版)《资源环境数学模型手册》，岳天袢，科学出版社，ISBN7030114361。2003-10-1《环境数学模型》，汪礼礽编著，华东师范大学出版社，1997-3-1《数值计算方法》/21世纪高等院校计算机教材，马东升、雷勇军，机械工业出版社，2006年7月(第2版)第一章环境问题的数学模型概述一、什么是环境数学模型二、环境数学模型的建立过程一、什么是环境数学模型1、系统2、系统模型3、环境系统4、数学模型5、环境系统的数学模型

1、系统〔1〕什么是系统〔2〕系统的特性〔3〕系统的分类〔1〕什么是系统是由相互作用和依赖的假设干组成局部结合的具有特定功能的有机整体。－钱学森〔2〕系统的特性整体性、层次性、相关性、目的性、适应性〔3〕系统的分类自然和人造实体和概念动态和静态控制和行为开放和封闭系统。2、系统模型〔1〕系统模型及其特征〔2〕系统模型的分类〔1〕系统模型及其特征系统模型是对一个系统的某一方面本质属性的抽象、描述或模仿，以某种确定的形式〔实物、文字、图表、数学表达式等〕提供关于该系统的真实信息。系统模型的三个特征：－现实系统的抽象或模仿；－由反映系统本身或特征的主要因素构成；－集中表达了主要因素之间的关系。〔2〕系统模型的分类环境涉及的因素众多，因此系统模型的种类也很多。一般将模型分为：物理模型文字模型数学模型三大类。其中物理模型与数学模型又可以分为假设干种。〔3〕系统模型的分类模型物理模型数学模型文字模型实体模型比例模型相似模型增加网络模型图表模型逻辑模型解析模型研究速度、修改方便性、抽象性建模时间、建模费用、现实性减少3、环境系统〔1〕环境系统的定义〔2〕环境系统的分类与环境要素〔3〕环境系统的特性〔1〕环境系统的定义广义的环境系统：是指地球外表包括非生物和生物的各种环境因素及其相互关系的总和。环境系统提出目的是把人类环境作为统一体看待。环境系统：在研究人与环境这对矛盾统一体时，把由两个或两个以上的与环境污染及控制有关的要素组成的有机体，称为环境系统。〔2〕环境系统的分类与环境要素按不同的分类可以有不同的环境系统。下表给出了几种常见的分类方法及相应的系统。分类方法系统名称污染物的发生及迁移过程污染物发生系统、污染物输送系统、污染物处理系统、接受污染物的环境系统环境管理功能自然保护系统、环境管理系统、环境监测系统、污染控制系统等环境保护对象大气污染控制系统、水污染控制系统、城市生态环境系统等〔2〕环境系统的分类与环境要素环境要素就是指构成人类环境整体的各个独立的、性质不同的而又服从整体演化规律的根本物质组分，就称为环境要素，也称为环境基质。包括水、大气、生物、阳光、岩石、土壤等〔有学者认为环境要素不包括阳光〕。可以分为自然环境要素和社会环境要素两类。但是我们一般多指自然环境要素。〔3〕环境系统的特性环境系统是一个复杂、有时空量序变化的动态系统和开放系统，环境系统除了具备一切系统所固有的特性外，还具有其属于自身的一些特性。1)整体性2)有限性3)不可逆性4)隐显性5)持续反响性6)灾害放大性4、数学模型〔1〕数学模型及其特征〔2〕数学模型的分类〔3〕对数学模型的要求〔1〕数学模型及其特征数学模型就是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画。目的是便于更深刻认识所研究的对象。根据对研究对象所观察到现象及实践经验，归结成一套反映数量关系的数学公式和具体算法，用来描述对象的运动规律，这套公式和算法我们称为数学模型。〔1〕数学模型及其特征数学模型的特征：抽象性局限性一个最好的数学模型也不会比实际系统更真实。尊重客观、尊重实际是建立模型和应用模型的重要原那么。〔2〕数学模型的分类不同分类标准，会有不同的模型类型。如下表分类标准模型类型按时间和变量的关系动态模型、稳态模型变量之间的关系线性模型和非线性模型变量的变化规律随机模型、确定性模型模型的用途模拟模型、管理模型模型的参数的性质集中参数模型、分布参数模型〔2〕数学模型的分类数学模型还可以按照以下框图进行分类：数学模型静态数学模型动态数学模型确定性静态数学模型随机性静态数学模型确定性动态数学模型随机性动态数学模型数值解模型解析解模型数值解模型数值解模型数值解模型解析解模型解析解模型解析解模型〔2〕数学模型的分类根据数学模型的结构，还可以分为：白箱模型灰箱模型黑箱模型白箱模型白箱模型：又称为机理模型。是以客观事物的变化规律为根底建立起来的，可以在相当大的范围内适用。如牛顿三大定律在低速运动范围内是普遍适用的。一个完全的白箱模型很难获得。灰箱模型灰箱模型：又称为半机理模型。由于对客观事物认识的不充分，可能需要用经验系数来加以定量化。这些经验系数确实定那么要借助于以往的观测数据或试验结果。如：计算摩擦力公式：

中，摩擦力与正压力之间成正比关系，但是二者之间的定量关系还必须用摩擦系数确定。摩擦系数的数值取决于材料和外表粗糙度等因素，不可能由推理得到，只能由研究对象的具体试验来确定。黑箱模型黑箱模型：也称为输入－输出模型。黑箱模型属于纯经验模型。是根据系统的输入、输出数据建立各个变量之间的关系，而完全不追究内在的机理。黑箱模型往往是针对一个具体系统或一种具体状态建立的。因此其应用也是有条件的，其条件应该与建立模型的数据来源的条件一致。〔2〕数学模型的分类在实际中，由于白箱模型较难获得，黑箱模型应用受到限制，因此，灰箱模型是应用较多的一类模型。一般灰箱模型是根据大量资料和数据建立变化之间的原那么关系，，然后根据输入、输出数据确定待定系数。本教材中的数学模型主要以灰箱模型为主。〔3〕对数学模型的要求模型要有足够的精度〔精确性〕；模型的形式要简单实用〔实用性〕；模型的依据要充分〔理论性〕；模型中应该有可控变量〔可用性〕。5、环境系统的数学模型用数学表达式描述的环境系统模型，为环境数学模型。按照模型的用途分类，可分为：模拟模型和管理模型两大类。模拟模型主要用于环境系统行为的模拟、预测和评价；管理模型用于环境系统的规划和管理及决策方面。模拟模型是管理模型的根底。本课程以模拟模型为主。介绍较为成熟的数学模型二、环境数学模型的建立过程1、准备阶段2、认识阶段3、建模阶段

4、求解阶段

5、检验阶段

1、准备阶段环境系统是一个复杂的系统，建模的准备工作繁重而琐碎，但也是最为重要的。该阶段主要的工作有：建模者要在弄清“问题〞的社会背景；建模的目的或目标；并在此根底上，尽可能详细而又全面地收集与建模有关的资料。1、准备阶段该阶段工作量的大小与建模者的经验、理论知识和技术水平密切相关。这是因为在解决同一个问题时，根据已有资料情况，可以采用不同的数学方法建模。建模者可根据实际情况和模型精度要求，确定资料收集的内容，进行正确实验设计，这样可防止浪费人力、物力和财力，提高工作效率。2、认识阶段对复杂环境系统，常先采用略图定性描述系统，并做以下几项工作：假定有关的成分和因素；系统环境的界定；设定系统适当的外部条件和约束条件。假设有子系统，通常先确定子系统，画出子系统分图来说明各子系统间的联系，并描述各个子系统的输入/输出〔I/O〕关系。2、认识阶段认识阶段应注意到精确性与简化性有机结合的原那么。通常系统范围外延越大、变量越多、子系统越繁乱那么会导致模型呆板、求解困难、精确性降低；反之，系统变量的集结程度过高那么会使得某些决定性因素被省略，导致模型失真。2、认识阶段数据的整理分析是该阶段的最为关键的工作。通常采用绘制变量的时间过程线、空间关系曲线或表格，从中考察和分析事物的时空变化规律。这其中会涉及到变量单位尺度的问题；许多变量值在一定的单位尺度范围内才能显现出其变化的规律性。如：多数河流在某一点的瞬时流速是随机脉动的，假设以秒或分钟作为横坐标观察流速的时间变化那么毫无规律而言，而如果将时间尺度放大到天或小时，就可以看出一个较为稳定的平均流速随时间的变化规律；而如果将时间尺度继续放大，那么所显现出的规律性会被淹没掉。2、认识阶段又如气温、土壤温度等。这里我们将变量的变化规律显现出来的单位尺度称之为特征尺度。特征尺度不仅可以减少模型中参数的个数，而且可以帮助人们抓住模型的本质，并判定有关因素的重要性。一个模型的成功的无量纲化的关键在于选择恰当的特征尺度，这主要依赖于有关专业知识和工作经验。2、认识阶段

经验公式的选配在回归分析之后结合回归分析讲解。3、建模阶段在模型建立之前，通常根据系统因素的特性和建模目的做必要的模型假定，在此根底上，根据自然科学和社会科学的理论，建立一系列的数学关系式。在系统建模阶段，建模方法是我们必须了解的。3、建模阶段我们对环境系统的认识程度无外乎有以下三种可能：对环境系统内部各个成分之间的相互作用机理及其因果关系，那么可依据相应的函数关系建立机理模型〔白箱模型〕；仅对系统内部输入输出关系知道，机理那么不清楚那么可以依据大量的实验数据建立功能模型〔或统计模型、黑箱模型〕；系统内部局部机理过程，并且有局部的实验观测数据，那么我们可以将上述两种方法结合，建立半机理模型〔灰箱模型〕3、建模阶段如果对系统一无所知，也就谈不上对系统建立模型了。因此，我们将建模的根本方法分为两大类：一、机理分析法二、数据分析法3、建模阶段一、机理分析法：自然科学中的根本物理过程、化学过程、生物等过程(有称之为环境系统的根本单位过程)，利用系统结构的数据对这些过程进行数学描述的方法。从长远看，机理模型是建立数学模型的根底，只有清楚系统机理，建立的数学模型才可靠和精确。目前只能用于建立简单的白箱模型。二、数据分析法：建立在对环境系统的运行和实验数据分析根底上的方法。目前数据分析法建立的环境数学模型可能成为机理分析法建模的根底。二者结合就会有灰箱模型。3、建模阶段具体的建模方法有：图解建模法、质量平衡法、概率统计法(回归分析、时间序列分析)、量纲分析法(π定理)等等。在系统建模阶段，还有一个重要的工作就是模型参数估计。模型参数的估计常用方法有经验公式〔通常由回归分析获得〕、图解法、最小二乘法〔线性回归分析〕和最优化方法等。3、建模阶段1、图解建模法采用点和线组成的用以描述系统的图形模型。－－－－简单、直观、形象、易于理解、对非专业者〔如决策者〕有用、有助于定性研究研究对象的变化进而完善数学模型。－－－－精度差、定量信息少、不能描述多变量系统〔大于三维描述十分困难〕2、回归分析3、量纲分析法〔π定理〕4、求解阶段模型求解是数学模型建立过程中不可或缺的一个组成局部。一个数学模型不能求解，那么建模就失去了意义。一般地，一个模型对真实系统描述越全面、越详细，求解就越难，因此，经常会为了便于求解而做出一些合理的假定来简化模型。4、求解阶段最重要的求解方法是传统和现代的数学方法。随着科学技术飞速开展，计算机模拟求解成为数学模型求解的越来越重要的模型求解手段之一，特别是对复杂而无法采用数学手段求解的模型，计算机数值求解是最有效的手段。而对非自然科学系统模型的求解，如社会经济系统中，由于问题复杂，常无法用数学或模拟方法求解，因此有时在模型求解过程中寻求次优解作为模型的理想点。4、求解阶段在求解阶段得出的结果一般要求对输入变量和参数变动有不敏感性，即模型的参数与变量之间有一定的稳定性，只有这样模型才是稳定的。4、求解阶段－－－－参数估值在建立模型的过程中占有重要地位，但是在模型进入应用阶段之前，还必须进行模型验证。模型验证所用的数据对于参数估值来说应该是独立的，即一个模型的建立至少需要两套独立的数据。5、检验阶段模型的验证包括：1〕模型精确度验证2〕模型可靠性验证5、检验阶段1.模型的精确度验证：模型精确度是指模型的计算结果和实际观测数据之间的吻合程度，主要通过对计算结果进行误差分析来判断。常用的模型精确度验证的方法有：图形表示法、相关系数法、相对误差法等5、检验阶段2.模型可靠性验证：任何数学模型都是建立在一些参数的根底之上的，尤其是灰箱模型和黑箱模型。这些参数多是一组或几组输入/输出数据来确定的。对于任何数据的获得都会由于各种各样的因素存在着一定的误差，这样必然会导致所估计的参数存在着一些不确定性。这种不确定性对模型模拟预测结果的影响程度可以通过对模型的灵敏度分析来实现。5、检验阶段2.模型可靠性验证：模型的灵敏度是指一个系统的输出对输入的响应程度。假设输入信号经过系统输出后被放大了，那么这就是个灵敏的系统；反之对外界对输入信号的干扰如果经过系统输出后不被放大或被消除，那么系统为稳健系统。通过对模型灵敏度分析不仅估计模型计算结果的偏差，同时还有助于建立低灵敏度系统，这种系统在运行上比较可靠，有助于确定合理的设计裕量，这比盲目给定平安系数要合理得多。思考题什么是环境数学模型？环境数学模型的分类。环境数学模型的建立过程的各个阶段。常用建模方法。什么是回归分析？其主要用于哪些方面？量纲分析的原理。第二章环境数学根底知识※环境数学模型的根底知识涉及：高等数学：微积分〔定积分和不定积分〕、微分方程和微分方程组的求解；线性代数：行列式的概念与性质、矩阵的概念及相关运算、向量的线性关系、线性方程组及其解、特征根与特征向量；第二章环境数学根底知识※概论论与数理统计：概率论根本概念、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、数理统计的根本问题；运筹学：线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划、对策与决策论；灰色模型根底：生成数的根本概念、灰色关联分析、灰色预测模型等。第二章环境数学根底知识※除此之外，随着科学技术的进步和物理、数学理论的开展，还需要对目前尚不能解决的问题采用新的理论和技术和方法进行分析和研究。因此，从这个意义上讲，该学科的开展和学习是无止境的。我们从模型的建立的不同阶段已经认识到该课程所需要的大局部根底知识。下面就两方面介绍模型建立的两种常用方法：1、回归分析2、量纲分析法〔π定理〕第三章环境质量根本模型概述3.1污染物的根本运动特征3.2环境质量根本方程

(根本环境流体动力学方程/模型〕3.3根本模型的解析解及其应用3.4污染物在流场中的分布特征和模型参数估计3.5地表水环境数学模型3.6环境空气质量模型3.7声环境质量数学模型3.8土壤环境质量根本模型概述1.环境质量2.环境质量根本模型3.各类数学模型的关系1.环境质量1〕环境质量:－－－－是环境系统客观存在的一种属性，并能用定性和定量方法描述的环境系统所处的状态。2〕环境质量包括:自然环境质量社会环境质量1.环境质量在环境科学研究和环境质量管理角度，更注重自然环境质量。一般地，对人类生产生活有重要作用的自然因子来看，自然环境质量包括：水体环境质量大气环境质量土壤环境质量声环境质量因此，从定量化的角度，这些自然环境要素所含污染物的多少、分布形式都表达着环境质量的优劣。2.环境质量根本模型－－－－就是用数学模型来定量分析和研究各种自然要素中污染物的迁移、转化、分布等，定量反映出环境质量的优劣，为环境质量管理、评价、规划等效劳。－－－－是以质量守恒原理为根底，对排放到环境介质中的污染物的迁移变化的最根本规律的数学描述。2.环境质量根本模型环境质量根本模型是各种环境质量数学模型的根底。而环境质量根本模型是在污染物在环境介质中的根本运动特征的根底上，利用质量守恒原理为理论根底，建立起来的描述污染物在环境介质中的运动规律的微分方程。3.各类数学模型的关系与环境相关的数学模型非常多，一般地，这些数学模型之间有着以下的层次关系：图3.1各类数学模型的关系污染物的根本运动特征(质量守恒原理)环境质量根本模型各个环境要素的质量模型环境容量模型质量评价、污染控制预测模型决策模型3.1污染物的根本运动特征推流迁移过程分散作用过程(分子扩散、湍流扩散、弥散)污染物的衰减和转化过程*污染物被环境介质吸收、吸附或沉淀说明本章所介绍的环境质量根本模型主要是描述污染物在介质中迁移转化的一般规律和根本特征；是在假定污染物能够与环境介质互相融合、污染物质点具有相同的流体力学特征根底上进行的数学推导；暂时不考虑污染物在介质中的吸收、吸附和沉淀。1、推流迁移过程推流迁移是指污染物在流体的作用下产生的空间位置的转移；因为流体运动而产生的物理迁移过程，只改变空间位置，并不降低污染物的浓度，所以，单纯的推流作用不能降低污染物的质量和浓度。－－－－推流迁移过程中，污染物只是随着介质的运动而发生的整体运动。数学描述：〔3.1〕其中分别为x、y、z方向上的污染物推流迁移通量，ML-2T-1；分别为污染物在环境介质中的x、y、z方向上流速分量，LT-1；C为污染物在环境介质中的浓度，ML-3。2、分散作用过程环境介质对排入介质中的污染物有三种分散作用：分子扩散、湍流扩散、弥散〔1〕分子扩散〔moleculediffusion〕由分子的随机热运动引起的质点分散现象，存在于污染物的所有运动过程中。分子扩散过程服从Fick第一定律：污染物分子扩散质量通量〔ML-2T-1〕与扩散物质的浓度梯度成正比:〔3.2〕Dm为分子扩散系数，单位浓度梯度下物质〔污染物〕在单位时间内通过单位面积的质量扩散通量[L2T-1]。大气中Dm为1.6×10-5m2/s，河流中Dm为10-5～10-4m2/s。分子扩散是各向同性的。由于扩散都是由浓度高处向浓度低处迁移，所以运动方向为负梯度方向。〔2〕湍流扩散〔torrentdiffusion〕湍流扩散是指湍流流场中质点由于湍流脉动而导致的由浓度高处向浓度低处的分散现象。湍流流场中质点的各种状态量〔流速、浓度等〕的瞬时值相对于其一段时间的平均值都是随机脉动的，如下图。图3.2空间某位置湍流流速与时间平均流速当流体质点的湍流瞬时脉动速度为稳定的随机变量时，湍流扩散也服从Fick第一定律：即，〔3.3〕其中，分别为三个方向上由湍流扩散作用引起的污染物质量通量〔ML-2T-1〕；Ex、Ey、Ez分别为三个方向的湍流扩散系数，为湍流流场中某点处的污染物浓度的时间平均值。在湍流流场中，湍流扩散是各向异性的。通量的扩散作用只有在计算中用时间的平均值来描述湍流的各种状态时才能表达出来。如果直接用状态的瞬时值来计算就不会出现湍流扩散项。低空大气中，湍流扩散系数比分子扩散系数大得多，垂直方向为2×10-5～10-6m2/s，水平方向为10-3～10m2/s。只有到了120km以上的高空，分子扩散才变成占优势的因素。在海洋中，湍流扩散系数一般为：垂直方向10-6～10-8m2/s，水平方向10-2～10m2/s。在河流中为10-4～10-6m2/s。〔3〕弥散〔dispersion〕弥散是指由于流体的横断面上的各点的实际流速分布不均匀所产生的剪切作用而导致的分散现象。河流中的弥散主要是由河床阻力造成的；河口的弥散那么主要是由水流的交汇引起的；地下水中的弥散起因十分复杂，单独表达，p39图2-2为河流中污染物的纵向弥散(图3-3)图3.3河流中污染物的纵向弥散示意图(a)t=0瞬时面源与流速分布(b)t=0时浓度分布图3.3河流中污染物的纵向弥散示意图(c)t=t’时污染物分布(d)t=t’时浓度分布弥散作用只有在取湍流时平均值的空间平均值才表达出来，弥散作用也服从Fick第一定律：〔3.4〕为三个方向上由弥散作用引起的污染物质量通量(ML-2T-1)；Dx、Dy、Dz为弥散系数，为湍流流场中污染物浓度空间平均值。弥散系数一般具有更大的各向异性，河流中的弥散系数在10～104m2/s之间。3、污染物的衰减和转化污染物进入环境介质中后会在光、热、微生物及其他环境因素的作用下，发生各种各样的结构或组成上的变化。其中多数变化是最终分解成在地球环境中能稳定存在的小分子，如CO2、H2O等，这一过程称为降解，也称为污染物的衰减。污染物的衰减与转化过程有快有慢，几秒、几天、几个月、几年甚至几十万年。根据污染物的衰减或转化过程的快慢，可将其分为守恒物质和非守恒物质两大类：守恒物质有重金属、很多高分子有机化合物等难被自然界中微生物分解的物质；非守恒物质按其衰减方式分为：一类为具有自身衰变能力的放射性物质；一类为在微生物作用下可迅速生化降解的有机物。实验和实验观测数据都说明，污染物在环境中的衰减过程根本上符合一级反响动力学规律：〔3.5〕其中C为污染物浓度；t为衰减时间；K为衰减速度常数。污染物在环境介质中的、分散和衰减过程可用图2-3〔p40〕来说明。图中的A污染物排放到环境中的初始总量和分布形状，经过一段时间后，污染物的重心由x0转移到x1处。Δx1和Δx0表示污染物通过所需要的时间。图3.4推流迁移、分散和衰减作用示意图〔a〕〔b〔c〕推流迁移推流迁移＋分散推流迁移＋分散＋衰减a=A,Δx1=Δx0a=A，Δx1>Δx0a<A，Δx1<Δx0假定只有推流迁移，图〔a〕所示。分布形状和污染物的总量没有发生变化〔〕；假设存在推流迁移和分散的双重作用，而无衰减或转化，那么在污染物的总量不变的情况下，分布面积会扩大〔〕，污染物的通过时间将会延长，图〔b〕所示。3.如果同时存在推流迁移、分散和衰减的共同作用。那么不仅污染物的分布形状发生变化，污染物的总量也会减少，污染物通过的时间会减小〔〕，图〔c〕所示。4、污染物被环境介质吸收、吸附或沉淀暂不考虑3.2环境质量根本方程

(根本环境流体动力学方程/模型〕前面讲到，由于流体环境介质〔水、气等〕在自然环境中广泛存在，因此根本环境流体动力学模型是建立环境质量模型的根底。而特殊介质〔如土壤、多孔介质等〕或特殊条件〔如污染物的吸附、沉淀、挥发等〕下的环境质量模型常常是流体力学根本模型和特殊单位过程的定量化模型的有机结合，这称为根本模型的修正形式。3.2环境质量根本方程

(根本环境流体动力学方程/模型〕从污染物迁移转化空间形式方面，根本环境流体力学模型可以分为零维、一维、二维和三维模型。零维模型不考虑污染物在空间上的变化，将整个介质空间作为一个均一体对待，它是最简单、理想状态下的流体力学模型。一维模型仅考虑污染物浓度及其扩散参数在一个方向〔一般为纵向，水环境中为水流方向，大气环境中为风向〕的迁移、分布特征。二维模型不仅具有一维模型的特点，而且考虑污染物浓度及其扩散参数在横向上的变化。三维模型考虑了纵向、横向和垂向的污染物浓度及其扩散参数的变化特征，其建立和求解都比较复杂。3.2环境质量根本方程1、零维模型2、一维模型3、二/三维模型1、零维模型对于湖泊、某一河段或高空某一区域，当污染物浓度的空间差异可忽略不计时，可将所研究的环境单元看做一个污染物能在瞬时分散到空间各个部位的连续流完全混合反响器，如图2-4(p40)。图3.5零维模型示意图V为反响器容积[L3]；Q为流入流出反响器的物质流量[L3T-1]C0、C为输入、输出介质中的污染物浓度[ML-3]；后者也是反响器中的污染物浓度r为污染物衰减反响速度；S为污染物的源与汇[MT-1]，是指系统内非主要因素引起的污染物的添加与衰减，如降雨或湖底渗漏等，流出为负，流入为正。根据质量守恒原理，建立的不包含空间变量的平衡方程就是零维模型:〔3.6〕对于可以不考虑源汇项的反响器，即S=0时，式〔3.6〕可写成，〔3.7〕如前所述，污染物的衰减根本符合一级反响动力学规律，即r=-KC式〔3.7〕可写成，〔3.8〕式中K为污染物衰减速度常数[T-1]。式〔3.8〕就是环境质量根本模型中零维模型的根本形式，其在湖库水质模型、大气箱式模型中广为应用。2、一维模型当污染物浓度的空间分布只在一个方向上存在显著差异时，常常采用一维模型进行描述。一维模型是通过只在一个方向〔设为x轴方向〕上存在浓度梯度的微小体积单元的质量平衡推导的。如图(2-5)所示〔p41〕。图3.6单元体中质量平衡示意图2、一维模型〔一〕输入量：单位时间内，输入单元内的污染物的量包括：推流迁移输入量和纵向弥散扩散输入量两局部：①推流迁移输入量：②纵向弥散扩散输入量：那么在Δt时段内，污染物向单元体内总输入量为：〔二〕输出量：单位时间〔时间为1个单位〕内，由单元输出的污染物的量包括：推流迁移输出量〔流经过Δx的变化历程后〕、纵向弥散输出量〔流经过Δx的变化历程后〕二局部：①推流迁移输出量：②纵向弥散扩散输出量：那么在单位时间内，单元体内污染物总输出量为

：

那么在Δt时段内，单元体内污染物总输出量为

：

假设单元体内有衰减反响，考虑污染物在单元体内的一级衰减反响的衰减量〔也流经过Δx的变化历程后，只是在Δx之初无衰减反响〕〔三〕单元体内部变化量：单位时间内，单元体内污染物的总的变化量为：那么在Δt时段内，单元体内污染物的总的变化量为：根据质量守恒原理，那么在任意Δt时段内，输入与输出系统的量之差，等于系统内部总量的变化。有〔3.9〕

将上式简化，〔单元体足够小〕有，〔3.10〕在均匀流场中，ux和Dx都可以看做为常数：〔3.11〕式中，C为污染物浓度；是时间t和空间位置x的函数；Dx为纵向弥散系数；ux为断面平均流速；K为污染物的衰减速度常数。式〔3.10〕就是环境质量根本模型中一维模型的根本形式，式〔3.11〕为均匀流场的一维模型的根本形式，主要应用于中等河流水质的模拟和预测。3、二/三维模型二维模型：当污染物的浓度分布在横向也存在显著差异，如大型河流、河口、海湾浅湖以及点源或线源大气污染的模拟时，就需要建立二维模型。建模思路与一维模型是类似的，只是要同时考虑体积单元在两个方向上的质量平衡。3、二/三维模型二维模型：具体的二维模型表达式为：〔3.12〕式中，Dy为y方向上的弥散系数，uy为y方向上的流速分量。二维模型主要应用于大型河流、河口、海湾、浅海、较大型湖泊的水质模拟和预测中，有时也用于线源大气污染的模拟。三维模型：当污染物在空间任意方向上都有明显差异〔有浓度梯度〕，如深海排污、大气质量的模拟和预测时，就需要建立三维模型，思路一样。但是，需要注意的是，在三维模型中，由于考虑的是x、y、z方向的流速分量，不采用断面平均值，故方程中不会出现弥散项。但是，采用了三个方向流速的时间平均值，因此出现了湍流扩散项。三维模型为：三维模型：具体三维模型为：〔3.13〕式中ux、uy、uz分别为x、y、z方向的流速分量，取时间平均值；Et,x、Et,y、Et,z分别为x、y、z方向的湍流扩散系数。综上所述:在理论上，三维模型的表达形式是完整的。但参数估计、求解过程比一维模型复杂得多，需要分别知道某时刻空间位置上的污染物浓度C以及ux、uy、uz等的时间平均值，这是十分困难的。实际上，除了一些特大型河流，很少用到三维模型。在深海污水排放和大气环境质量的预测和模拟中一般采用三维模型。大多数情况下，需要针对污染物的不同混合状况作各种简化，成为零维模型、一维模型、二维模型等，以便于应用。3.3根本模型的解析解及其应用一、求解析解的根本方法二、非稳定源排放的解析解三、稳定源排放下的解析解一、求解析解的根本方法一般地，对于微分方程形式的数学模型的求解方法有，解析解法和数值解法前者求解数学模型要求的条件非常严格，一般难以求得解析解，只能用差分方程替代微分方程，采用有限差分方法和有限元方法求得模型的数值解，实现对环境系统的模拟和预测。环境质量根本模型是反映了污染物在环境介质中迁移转化规律的微分方程，其解析解更能够保存和展示其内在的规律。便于考察污染物在环境中的分布特征以及对环境的影响状况。在求解方程的解析解中，一般假定环境介质的流动是稳态的，也就是说水体、大气等介质的流动状态在所研究时段内不随时间推移而发生变化。在此根底上，污染物的分布就只取决于污染源的排放特征：即连续稳定排放和非稳定排放。(1)连续稳定排放：是指污染物的排放源是连续的，其源强大小不随时间变化。在流体环境介质中，污染物处于不断的流动状态，用于排放源的稳定性，环境介质中污染物的分布状况也是稳定的，这时污染物在某一空间位置的浓度不会随时间变化，即dC/dt=0。这时在稳定源排放条件下求得的模型的解析解一般称为稳态解。有时候，也可以将污染物浓度的时间平均值保持稳定状态的问题按稳态处理。(2)非稳定排放：是指污染物的排放是非连续的，或为瞬时排放，或为间隔一定时间排放一次。对某一空间位置而言，污染物在环境介质中的浓度是随着时间而发生变化的，即dC/dt≠0。一般只能在特殊情况下才可能获得解析解。二、非稳定源排放的解析解1、零维模型的非稳态解

2、一维模型的非稳态解3、二维模型的非稳态解4、三维模型的非稳态解1、零维模型的非稳态解零维模型的根本方程为〔3.8〕在非稳定排放条件下，dC/dt≠0，给定初始条件：t＝0，C=C0，求解有，积分后，得，变形，得：那么，得到方程的解：

〔3.14〕令r＝Q/V=1/tw并称为冲刷速度常数，tw称为理论停留时间，那么以上方程可以写成：〔3.15〕2、一维模型的非稳态解对于均匀流场的一维模型，式〔3.11〕〔3.11〕2、一维模型的非稳态解对于均匀流场的一维模型，我们讨论污染源排放在〔1〕忽略弥散作用和〔2〕考虑弥散作用的情况下，对〔a〕瞬时排放〔b〕定时排放的两种情形进行分别讨论。〔1〕无纵向弥散作用的情况如果忽略纵向弥散作用〔对一般河流，推流作用导致的污染物迁移作用要远远大于弥散作用，因此这种简化一般也是合理的〕，即Dx＝0，那么成为:〔3.16〕由于为模型是一维〔是空间一维，未算时间维度〕的，那么浓度C可以写成C[t，x(t)]的形式，即表示浓度只与空间变量x相关。这时，偏微分方程〔3.16〕可以采用下面的方法〔有称为特征线法〕求解。首先，因为是一维问题，C[t，x(t)]求导，也因为流速ux=dx/dt，所以有，那么以上方程和方程〔3.16〕共同得到，方程〔3.16〕可以分解为两个常微分方程：方程〔2〕为原方程的特征线方程，它说明污染物团〔环境介质〕任意时刻确实切位置。方程〔1〕那么描述了污染物团内部的情况，即污染物团内部的污染物浓度。由于忽略了弥散作用，污染物只是瞬时出现在某一位置。对于初始条件t＝0，C=C0，方程(1)，有，那么，，即〔3〕由方程〔2〕有，〔4〕将〔4〕代入〔3〕，有〔3.17〕式〔3.17〕就是一维污染物运动无纵向弥散作用的解析解。一维污染物运动无纵向弥散作用的解析解如果瞬时排放〔瞬时排放污染物的量为M，河道流量为Q，河道断面面积A〕真正做到“瞬时〞排放完毕，那么C0=M/Q＝M/Aux，任一一点的污染物浓度为可以将C0代入式〔3.17〕得到。〔3.17〕〔a〕瞬时排放瞬时排放任一一点的污染物浓度为：〔3.18〕

该式说明，任一时刻某一点〔位置〕的污染物浓度C(x，t)和瞬时排放的污染物质量M成正比。〔2〕有弥散作用情况下如果瞬时排放又不忽略弥散作用，方程〔3.11〕在给定初始条件t＝0，C=C0；t-->∞，C=0的条件下的解为：〔采用Lapace’stransition，拉普拉斯变换及其逆变换求解，参阅《环境数学模型》宋新山〕〔3.19a〕对于瞬时排放污染物质量M，A为断面面积。C0=M/Q＝M/Aux，有

〔3.19b〕该式说明，不忽略弥散作用，任一时刻某一点〔位置〕的污染物浓度C(x，t)和瞬时排放的污染物质量M也成正比。将上式写成我们称β为动态比例因子，显然β随着时间和空间位置而变化。让我们分析一下β这个因子。首先，β为动态比例因子，显然β随着时间和空间位置而变化。反映了由于横截面积〔横向宽度B和垂向水深h的乘积〕和弥散系数的不同造成浓度随着时间的变化；反映了由于介质在纵向的流动和弥散造成的浓度随时间的变化；

那么反映了由于污染物降解造成的浓度随着时间的变化。由该比例因子可以看出，只有当x-uxt=0，即t=x/ux时，比例因子才最大，此时的污染物浓度出现最大值。对于式〔3.19b〕，经过实验说明，一般均匀河段只要离排放点下游的距离L大于以下计算值，方程就具有较好的预报准确性。B为河床宽度〔m〕；h为平均水深〔m〕；u为平均流速〔m/s〕；u*为河床剪切流速；i为河床底坡〔坡度，即比降〕；g=9.81m/s2,重力加速度。例题1：瞬时向河流排放某种示踪剂〔K=0〕，排放量为M=10kg，纵向弥散系数Dx＝50m2/s，河道平均流速ux=0.5m/s，河流横断面A=20m2，计算下游500m处示踪剂浓度变化，并求其最大值。解：显然，这是一个污染物瞬时排放的一维迁移问题，符合一维模型的根本条件，根据一维模型的解式〔3.19b〕，将上述数据代入计算得到下表并绘图3.7。时间min358111519时间s1803004806609001140C(mg/m3)13.946149.536450.354623.927655.899578.368时间min263035405060时间s156018002100240030003600C(mg/m3)392.914301.533211.878146.73868.80331.802图3.7下游500m示踪剂的浓度时间过程线由表中数据，在500m处，示踪剂浓度随着时间变化呈现正态分布〔说明见下一节〕。也就是说，对空间某一位置，污染物浓度都有一个峰值通过的时刻。本例情况峰值出现在15min左右，理论计算结果为(500/0.5)s=16.7min，二者比较接近。在1hr以后，示踪剂浓度已经很小，说明示踪剂这时根本已经推移通过了500m处。〔b〕定时排放实际上，所谓瞬时点源的排放一般都不可能“瞬时〞排放完毕。那么，对于在一定时段Δt内排放的总质量为M的守恒污染物〔K=0〕而言〔C0=M/QΔt＝M/AuxΔt，C0为在0-Δt期间排放点处河流中的污染物浓度〕，要预测在下游任一空间位置在任一时刻的污染物的浓度值，可以采用下式计算：〔这种情况我们称之为定时排放〕〔1〕〔2〕假设排放的污染物为守恒污染物，那么K=0，方程〔1〕、〔2〕即成为〔3〕、〔4〕：〔3〕〔4〕〔1〕式在初始条件x＝x0，C=C0〔x0，t〕时，求解得，〔3.20〕其中δ(t-Δt)为δ函数，即，

余误差函数erfc(x)与误差函数erf(x)之间有以下关系：误差函数可以用数值积分求解，也可以通过级数展开求解：例题2：在Δt＝10min时段内，某化工厂向河流排放某种保守性污染物，总量M=20kg。河流横断面A＝16m2，平均流速ux=0.5m/s，纵向弥散系数Dx=500m2/s，求下游500m处的浓度过程线。解：首先求初始污染物浓度C0=M/(AuxΔt)=〔20×1000〕/(16×0.5×10×60)=4.17g/m3=4.17mg/l然后，列表计算A1～A6，采用公式〔3.20〕计算浓度C(500m，t)〔注意K=0〕。并将计算结果列入表中，绘制浓度－时间关系线(如图3.8所示)。从计算表和图形可以看出，下游500m处的污染物浓度随着水流流动，呈现出逐渐增加，10min左右到达最高浓度，之后迅速回落的过程。事实上，对于保守性污染物的排放，下游任一位置的污染物浓度过程线根本都呈现这种过程形态。表500m处不同时刻示踪剂浓度计算表T(min)468101214161820A10.250.250.250.250.250.250.250.250.25A20.890.790.750.730.710.700.700.700.70A3-0.25-0.25-0.25-0.25-0.25-0.25-0.25-0.25-0.25A40.550.380.270.190.120.0670.0200A51.140.890.790.750.73A60.900.550.380.270.19exp(A1)1.281.281.281.281.281.281.281.281.28erfc(A2)0.780.780.780.780.780.780.780.780.78exp(A3)0.210.260.290.300.320.320.320.320.32erfc(A4)0.440.590.700.790.870.930.981.001.00erfc(A5)0.110.210.260.290.30erfc(A6)0.200.440.590.700.79C(mg/L)1.632.112.452.672.111.401.010.730.51图3.8下游500m处的污染物浓度过程线3、二维模型的非稳态解〔3.12〕求解二维模型，除了需要初始条件外，还需要边界条件，才能对方程求解。让我们首先分析一下一维模型的求解过程。我们知道一维模型中动态比例因子的组成成因，假定污染物在横向和纵向的扩散过程是相互独立的，那么仿照一维模型的动态比例因子来确定二维模型的动态比例因子。用上式反映由于水深〔h〕和弥散系数的不同造成的浓度随时间的变化；〔由于在一维纵向扩散中，我们已经考虑了横向宽度B和垂向深度h〔二者的乘积为面积A〕的影响，纵向的影响已经包括在后面的比例因子中，所以在横向和纵向的二维扩散中，在此只考虑水深的影响，即用水深和代替横截面积〕用下式来反映由于介质在纵向和横向流动和弥散造成的浓度随着时间的变化。同样，用下式来反映由于污染物降解造成的浓度随时间的变化：因此，可以得到瞬时中心排放的二维模型的解析解：〔3.21〕在实际应用中，对于二维模型会涉及到有边界和无边界影响的两种情况。而污染物的排放形式有分为中心排放和边界排放两种情况因此，二维模型的解析解也分为中心排放和边界排放情况下的有边界影响和无边界影响几种情况。〔I〕无边界阻碍情况无边界阻碍情况下只有中心排放情形。而因为无边界，那么没有边界排放情况。中心排放那么相当于无边界阻碍情形。〔I〕无边界阻碍情况

中心排放无边界阻碍情况相当于边界条件为y→±∞，＝0〔边界无约束〕。这时，无边界情况下的瞬时排放的二维模型的解析解与式〔3.21〕相同〔即瞬时排放的二维模型的解析解〕：〔3.21〕因此，没有考虑边界的反射作用，相当于中心排放或边界为无限时的解析解〔如图3.9所示〕。即中心排放那么相当于无边界阻碍情形。图3.9不考虑边界反射情况图3.9不考虑边界反射情况〔II〕有边界阻碍情况有边界情况分为中心排放和边界排放两种情形。有边界阻碍时，污染物的扩散那么受到边界的反射影响。反射的结果是造成环境介质中污染物浓度的增加。这种反射作用可以用虚拟的点源来考虑〔图3.10〕。图3.10河宽为B的中心排放情况〔II〕有边界阻碍情况

〔a〕中心排放把边界作为一个理想的反射镜面，在实源的对称位置设立一个源强与实源相等的虚源。虚源的设立可以把由于边界反射作用造成的环境介质污染物浓度的增加考虑进入模型中。在河宽为B，中心瞬时排放的情况下，对式〔3.21〕进行修正，可以得到中心排放的解析解。分别分析实源和虚源的浓度奉献：实源的奉献对任一点(x，y)，实源对浓度的奉献就是式〔3.21〕：(3.21a)虚源对浓度的奉献虚源1对浓度的奉献为：〔3.21b〕虚源2对浓度的奉献为：〔3.21c〕所以总浓度为三者的奉献之和。为：〔3.22〕该式〔3.22〕就是中心排放边界有限条件下的解析解。〔II〕有边界阻碍情况

〔b〕边界排放边界排放时，应该分析以下两种情况：边界无限条件〔图3.11〕边界为有限时〔图3.12〕①边界无限条件〔图3.11〕边界无限的边界排放情况下，最多只有一个边界反射〔只有排放边界影响〕，而另一边边界是无限远的，不影响污染物的扩散，无限边界就相对于在中心排放有限边界图中，不考虑虚源2对最终浓度的奉献，同时将虚源1和实源在边界处集合，即令B=0，那么有解析解为：图3.11边界无限边界排放的情况〔3.23〕显然，边界无限的边界排放的污染物浓度〔3.23〕相当于边界无限的中心排放时〔3.21〕的2倍。②边界为有限〔图3.12〕有限边界这种情况也是只有一个边界反射；可将实源和虚源叠加，可得：〔3.24〕图3.12边界有限边界排放的情况4、三维模型的非稳态解与二维模型解析解类似，可以求得均匀流场中典型的三维模型〔式3.13〕在无边界的瞬时点源排放条件下的解析解为式〔3.25〕:4、三维模型的非稳态解〔3.25〕式中Et,x、Et,y、Et,z分别为x、y、z方向的湍流扩散系数。由于三维模型中考虑了流速的三维分量，没有流速的断面平均，因此不出现弥散项，仅出现湍流扩散项。三维模型在水环境预测计算中应用不多，但是，近似大气污染物湍流扩散中的浓度分布应用较多。三、稳定源排放下的解析解1、零维模型的稳态解

2、一维模型的稳态解3、二维模型的稳态解4、三维模型的稳态解稳定源是指污染物的排放源是连续的，其源强大小不随时间变化。在流体环境介质中，污染物处于不断的流动状态，由于排放源的稳定性，环境介质中污染物的分布状况也是稳定的。这时污染物在某一空间位置的浓度不会随时间变化，即dC/dt=0，所以，模型的求解过程相对简单。稳定源排放的模型的解析解我们称之为稳态解。由于稳态情况下模型参数估计和求解都比较简单，因此，有时为了研究问题的方便，如果污染物浓度在一个较长时间内的平均值保持一定的稳定性，也可以把此类情况作为稳态处理。从环境规划和环境管理角度，这种简化是可以接受的。1、零维模型的稳态解对于零维模型〔3.8〕在稳定排放条件下，即dC/dt＝0，会有，那么，得到方程的解：1、零维模型的稳态解式〔3.26〕就是零维模型的稳态解：〔3.26〕其中r＝Q/V=1/tw，称为冲刷速度常数，tw称为理论停留时间。〔3.15〕〔3.26〕将零维模型的稳态解〔3.26〕与非稳态解〔3.15〕比较可以看出：非稳态解包含了稳态解局部和非稳态局部；非稳态局部主要是由污染物降解造成的污染物浓度随时间的变化引起的。2、一维模型的稳态解对于一维模型〔3.11〕稳态条件为әC/әt＝0，有二阶线性偏微分方程，〔1〕其特征方程为：，其特征根为：可以得到方程〔1〕的通解为〔A、B为待定系数〕：考虑到初始条件：C(0)=C0；边界条件：C(∞)=0，代入通解中可推导得到：A=0，B=C0，因此方程的解为：一般情况下，推流迁移远大于弥散作用的影响，所以稳态条件下可忽略弥散作用，即在方程〔1〕中令Dx=0，方程〔1〕为：〔2〕在初始条件C(0)=C0下的求解过程为：因此，忽略了弥散作用的一维稳态解为：〔3.27〕式中的C0可以根据质量平衡得到的下式计算：〔3.28〕式中Q为河流流量；q为排放污水的流量；C1为河流中某污染物的背景浓度；C2为污水中污染物的浓度。3、二维模型的稳态解对于二维模型〔式3.12〕令әC/әt＝0〔稳态条件〕。实际情况一般纵向〔x方向〕推流迁移远远大于弥散作用，而在横向〔y方向〕弥散作用又远远大于推流迁移，所以可以忽略Dx和uy，那么上式可以写成：〔1〕对方程〔1〕可以采用傅立叶变换〔或拉普拉斯变换〕求解，也可以采用较为简单的方法求解〔教材无求解过程，因此不作介绍〕。对方程〔1〕在边界条件әC/әy=0〔当y=0时〕的解析解〔t=x/ux，ux=Δx/Δt，M〕为源强〕：〔3.29〕式〔3.29〕就是二维模型的稳态解。中心排放的稳态解与上面分析相同，中心排放也分为边界无限和有限两种情况：〔a〕边界无限〔图3.9〕,其解析解同〔3.29〕〔b〕边界有限〔图3.10〕，其解析解为〔3.31〕:(一般计算中，取n＝3或4就能到达稳定)边界排放的稳态解在边界排放条件，不考虑边界反射，就是假定边界无限〔图3.11〕，有，〔3.32〕显然，边界无限边界排放的污染物浓度〔3.32〕相当于无限边界中心排放时〔3.29〕的2倍。假设边界排放有限边界，即考虑边界反射作用〔宽度为B〕，其稳态解为:〔3.33〕4、三维模型的稳态解稳态条件的三维模型：〔1〕一个连续稳定排放的点源，在ux≥1m/s时，可以忽略纵向扩散的影响，以及在y方向和z方向上的流动，即Et,x＝0、uy=0、uz=0，那么〔1〕可以简化为：其稳态解析解为〔3.34〕式中Et,x、Et,y、Et,z分别为x、y、z方向的湍流扩散系数。三维稳态模型广泛应用于大气污染状况、深海污染物的排放过程的模拟和预测中。总结在污水排入河流之后，从污水排放口到污染物在河流横断面上到达均匀分布，通常要经历垂向〔深度〕和横向混合〔宽度〕两个阶段。总结通常河流深度要比宽度小很多，污染物进入河流后，在较短的距离内就到达垂向的均匀分布，这样垂向混合过程就完成了。一般地，完成垂向混合水流所需要行进的距离大约是水深的数倍至数十倍。在这个过程中，河流与污水之间会发生质量、热量以及动量的交换，在垂向混合阶段也会发生横向混合作用。总结而横向混合阶段是指从污染物到达垂向均匀分布到污染物在整个断面上到达均匀分布的过程〔先深度后宽度〕。在直线均匀河道中，横向混合的主要动力是横向弥散作用；在弯道中，由于水流形成的横向环流，大大加速了横向混合的进程。一般地，完成横向混合所需的距离要比垂向混合长得多。总结横向混合完成之后，污染物在整个断面上就到达均匀分布。如果没有新的污染物输入，守恒污染物将一直保持恒定的断面浓度；非守恒污染物那么由于生物化学等作用产生浓度变化，但在整个断面上的分布始终是均匀的。总结在垂向混合阶段，由于所研究的问题涉及到空间三个方向，垂向混合问题又称为三维混合问题；相应的横向混合问题称为二维混合问题，完成横向混合后的问题称为一维混合问题。如果研究的河道很长，水深、水面宽度又相对很小，一般可以简化为一维混合问题。处理一维混合问题要比二维/三维混合问题简单得多。3.4污染物在流场中的分布特征和模型参数估计一、污染物在流场中的分布特征二、根本环境流体动力学模型参数估计一、污染物在流场中的分布特征在例题1中，我们提出了关于正态分布的问题。这一节我们就来解决关于污染物在流场中的分布特征问题。浓度随时间为什么会呈现正态分布？根据我们学过的《概论论和数理统计》关于什么是正态分布的有关内容。知道，一、污染物在流场中的分布特征如果随机变量x的概率密度为那么称随机变量x服从参数为(μ，σ2)的正态分布。其中μ为总体平均数〔反映随机变量分布的重心位置〕；σ2为总体方差，是随机变量离散程度的反映；服从正态分布的随机变量x的取值落在区间(μ-2σ，μ+2σ)内的概率为95.45%，一、污染物在流场中的分布特征我们看一维非稳态解式〔3.19b〕，假设K=0(守恒污染物)，并令σ2反映了污染物的分散程度，显然，σ2与Dx和t成正比，因此弥散作用越大，流经的距离越远，污染物也就越分散，污染物浓度的最大值就越小那么〔3.19b〕成为一、污染物在流场中的分布特征〔3.19b’〕与概率密度式比照，显然上式C(x,t)具有近似正态分布密度函数的形式，反映了一维流场中瞬时点源排放的污染物浓度分布具有一定的正态分布的特征〔图3.7、图3.8〕。根据上式，可知，下游某一空间断面x处的污染物浓度出现最大浓度值的时间为：t=x/ux〔此时动态比例因子为1〕，相应的最大浓度值为：值得注意的是：一般情况下，实际观测到的污染物浓度时间过程线并不是完全对称，重心是向后偏离的，向后有一个“拖长〞的尾巴。这是由于推流作用与弥散作用共同作用的结果。在〔3.19b’〕中，由于σx中含有变量t，是变化的，所以实际污染物浓度时间过程线是随着时间的延长有所偏离。另外，非守恒污染物的衰减也会影响正态分布的形状和最大值的大小〔通常会削弱最大值〕。根据统计学原理，在±2σx的范围内，正态分布概率密度函数的积分〔即正态曲线下面包围的面积〕占总面积的95%，这说明在±2σx的范围内，分布的污染物量占污染物总量的95%，因此，近似地可以把4σx的长度定义为污染物团的长度。〔2〕瞬时排放的二维模型：对于二维问题也可以类似得到污染物的浓度分布在空间上〔两个方向〕服从独立的正态分布。同样，令，那么有，由此可见，污染物浓度在x和y方向上均符合正态分布并相互独立〔即二者的相关系数为0〕。这说明下游某一位置处的浓度过程线在x和y方向上均形成“钟形曲线〞二者共同作用的结果就是形成“钟形曲面〞。对于三维问题也可以类似得到污染物的浓度分布在空间上〔三个方向〕服从独立的正态分布。〔3〕连续稳定排放情况下的浓度分布特征对于二维稳态模型，令，上式有：可见，污染物在排放点下游某一横断面上呈正态分布。最大浓度发生在x轴上〔y＝0〕，最大值为：根据概率论的知识，可以定义横向扩散羽的宽度为4σy。同理可知三维稳态模型的稳态解在y和z方向上也服从类似的正态分布。二、根本环境流体动力学模型参数估计在根本模型中，流速、流量、宽度、深度等参数都可以在实际现场测定或通过调查和监测资料获得。只有弥散系数需要利用实测数据和特定模型进行参数估计。参数估计方法有作图法、最小二乘法、矩阵法、经验公式法等。在此不做介绍。3.1－3.4局部的思考题掌握污染物在环境介质中的运动特征各种运动的机理和数学描述掌握和理解0、1维模型的推导过程掌握和理解0、1、2维根本环境数学模型认识3维模型与其他维度模型的异同掌握0维模型的稳态解和非稳态解求解过程3.1－3.4局部的思考题掌握0、1维模型稳态解和非稳态解的表达式和物理含义理解瞬时排放和定时排放的含义和异同以及与现实生活中的排放情况的对应情况理解2维模型稳态解和非稳态解的表达式的构成和物理含义理解边界影响的机理认识3维模型的稳态解和非稳态解掌握0、1、2、3维流动的异同和实际中的简化条件3.1－3.4局部的思考题掌握1维流动的环境介质中污染物运动的分布特征了解2、3维流场的分布特征3.5地表水环境数学模型一、概述二、河流水质模型三、河口水质模型四、湖泊和水库水质模型概述地表水是地球生态系统中最为关键的局部。近几十年来，河流水质模型的研究比较深入和广泛，并在水质规划、管理中得到成功地应用。河流水质状况与污水和河水混合的物理过程〔推流、弥散、湍流扩散等〕、生物化学过程〔碳氧化、氮氧化、复氧作用、光合作用、藻类的呼吸作用等〕密切相关的。概述建立河流的水质模型的根本思想就是对这些过程在模型中作合理的简化，从而使它们的定量化关系在模型中得到反映。本章主要对河流、河口和湖库的水质模型的建立及应用进行讨论。首先我们讨论地表水体的污染物分类和水质调查通常选择的水质参数，并对水质过程进行分析。1、地表水污染物的分类：根据污染物在水环境中输移、衰减的特点以及现有的预测模式，一般地，将污染物分为四大类：1)持久性污染物：指所有在水环境中难降解、毒性大以及长期积累的有毒物质。如重金属、芳烃类有机物等。2)非持久性污染物：指在水环境中能通过自身衰变能力衰减的放射性物质和在微生物作用下可以迅速生化降解的有机物。3)酸和碱〔用pH值表征〕4)热污染〔以温度表征〕2、地表水水质参数的选择在建模准备阶段，须收集大量数据和资料，但没有现成资料时，需要进行水质调查。水质调查时所选择调查的水质参数一般包括两大类：1)常规水质参数：能够反映水域水质的一般状况。以GB3838中所提出的pH值、溶解氧(DO)、生化需氧量(BOD)、化学需氧量(COD)、总氮或氨氮(NH3-N)、酚、氰化物、砷(As)、汞(Hg)、六价铬(Cr6+)、总磷以及水温等为根底，根据水域类别、评价等级、污染源状况等作适当删减。2)特征水质参数：能够地表建设工程将来排放的水质。根据具体建设工程的情况选择确定。3、地表水水质过程分析影响地表水水质过程的因素很多，不同水体显现的问题各有不同。在此主要分析影响水质过程的一般性问题，对于特殊问题在具体涉及的水质模型中讨论。下面分别对对地表水水质产生影响的物理过程、生化过程和溶解氧的消耗与增加过程〔水体的耗氧和复氧〕分别进行分析。1)物理过程物理过程是指污染物在水体中的输移、混合、扩散稀释、沉降、悬浮、吸附、解吸、挥发等对污染物的分布形式有影响而对污染物总量不产生影响的物理过程。在水质根本模型建立过程中，为使模型简单易解，一般认为污染物与水体可互溶且具有相同水力学特性。这样就可暂不考虑沉降、悬浮、吸附、解吸、挥发等过程对水体污染物浓度的影响。1)物理过程因此，在水质的根本模型中，物理过程中的输移和扩散是影响污染物时空状态的主要因素，而其他因素可以作为源汇项在实际应用中对水质根本模型作一定的修正。对于输移和扩散作用在上一节已经有讨论，对其他物理过程，一般是在根本模型根底上引入吸附系数、沉降系数等来修正。在具体的水质模型中再进行讨论。2)生化过程污染物排入水体中，会在水体中各种细菌的作用下产生一系列的生物化学反响，一方面使得局部有机污染物氧化分解而衰减；但同时也会消耗水体中的溶解氧。如果污染物排入过量，水体中的溶解氧就会消耗殆尽，使得水生动物〔鱼类、原生动物〕死亡、致使细菌大量繁殖，导致水质恶化、生态循环破坏。2)生化过程当水体中出现厌氧状态时，有机物在厌氧菌的复原作用下，生成甲烷气体，甲烷气体和水体中的硫酸根离子作用生成硫化氢，水面会出现气泡并伴随固体悬浮物浮出水面，发出难闻的恶臭气味。一般有机物在好氧菌作用下，在水体中，首先是含碳有机物发生氧化分解〔图的曲线1〕，用CBOD表示；然后是含有氮的有机物发生氧化分解，也称为硝化过程〔曲线2〕,用NBOD表示。2)生化过程对于主要考虑碳化合物去除的活性污泥处理厂出水而言，硝化菌是被抑制的，只有在碳化合物氧化末期硝化菌才占优势。因此一般10天左右才计入第二阶段的硝化反响阶段。而对于BOD较低的河流而言，有机污染物一旦计入河流，硝化作用就会立即开始。由于生化反响常包括一系列复杂的中间反响。而BOD又是以混合和种类不确定的有机物进行测定，因此一般仍然假定BOD降解近似一级动力学反响，即BOD随着时间的变化可以采用下式描述：，其解析解为：其中L为t时刻的可生化降解有机物的剩余生化需氧量；L0为初始时刻有机物的总生化需氧量；K1为有机物降解速度常数，也称为耗氧系数。3)水体的耗氧和复氧过程〔1〕耗氧过程：废水进入水体后，随着污染物在水体中的迁移转化过程，会因以下原因使河水中的溶解氧被消耗掉：河水中碳化合物的氧化分解引起耗氧；河水中氮化合物的氧化分解引起耗氧；河床底泥中的有机物在缺氧条件下，发生厌氧分解，产生有机酸和甲烷、二氧化碳、氨等气体，当它们释放到水体中时，消耗水中的氧气。〔2〕复氧过程：河水中溶解氧的供给来源有：上游河水或有潮汐河段海水带来的溶解氧；排入水体的废水所带来的溶解氧；大气复氧。其中大气中的氧向水中扩散溶解，是目前水体中溶解氧的主要来源〔图〕。氧气由大气进入水体中的质量传递速度可以表示为：式中DO为水体中的溶解氧浓度；DOf为饱和溶解氧浓度；KL为质量传递系数；A为气体扩散的外表积；V为水的体积。D=〔DOf－DO〕为溶解氧的缺乏量，即氧亏。对于河流，A/V=1/H，H为水深，那么上式为：K2为大气复氧速度常数，也称为复氧系数，1/d。图3.5.1水体的耗氧和复氧图生化耗氧过程二、河流水质模型最著名的河流水质模型的根本形式是S-P模型〔Streeter-Phelps’model〕，许多河流水质模型都是在该模型的根底上修正得到的。二、河流水质模型〔一〕单一河段水质模型〔二〕一维多河段的水质模型〔三〕二维多河段的水质模型〔四〕重金属迁移的一维模型〔一〕单一河段水质模型单一河段：在所研究的河段内只有一个排放口时，称该河段为单一河段。在研究单一河段时，一般情况下，把排放口置于河段的起点，即定义排放口处的纵向坐标x=0；上游河段的水质视为河流水质的本底值。单一河段的模型一般都比较简单，是研究各种复杂模型的根底。1、Streeter－Phelps模型(斯特里特-菲尔普斯模型)〔1〕S-P模型的根本形式〔2〕S-P模型的根本解〔3〕临界氧亏和临界氧亏距离确实定