第11讲-完全平方数

完全平方数一天，小狐狸偷吃了母鸡妈妈生的蛋，动物之家的治安队队长大灰熊要惩罚小狐狸，小狐狸怕被打得太惨，对大灰熊说：“我犯了错，就要接受惩罚。这样吧，灰熊大哥，961有多少个约数你就打我多少下，你看怎么样？〞大灰熊摸摸脑袋，961！应该不少吧，就点点头容许了，你知道小狐狸最后被打了多少下吗？解：961=31×31故961有3个约数，小狐狸被打3下。知识要点正方形的面积等于它的边长的平方，如果给出的正方形边长数为自然数，那么它的面积就是一个完全平方数。用字母表示，如果自然数A可以写成两个相等自然数B的乘积，即A=B2，那么A就是完全平方数。例如：所以，1、4、9、16、25就是完全平方数。完全平方数的性质1、完全平方数分解质因数时，它的每个不同质因数出现的次数都是偶数次(即每个质因数的指数都是偶数)例如：16=24,25=52,36=22×32，49=72,…2、如果一个数分解质因数后，每个质因数的指数都是偶数，这个数就是完全平方数。例如：9=3216=42=2425=5236=62=22×3212=22×324=23×3

3、完全平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9这个数。例1：计算自然数1—20的平方分别是多少？然后说说这20个完全平方数的个位数字有什么特点？解：这20个完全平方数的个位数字只出现了0、1、4、5、6、9这六种情况，个位数字没有可能出现2、3、7、8这四种情况。4、一个完全平方数如果是奇数，它一定能被4除余1，也一定能被8除余1，而一个完全平方数如果是偶数，它一定能被4整除。例如：9,25,49,81都可以被4除余1，也能被8除余1。4,16,36,64都可以被4整除。5、一个完全平方数的所有约数的个数一定是奇数。解：9=32,9的约数的个数是2+1=3(个)16=24,16的约数的个数是4+1=5(个)25=52,25的约数的个数是2+1=3(个)36=22×32,36的约数个数是(2+1)×(2+1)=9(个)6、两个完全平方数的积还是完全平方数，一个完全平方数与一个非完全平方数的积不是完全平方数。例如：9×16=32×42=(3×4)2=122=14425×36=52×62=(5×6)2=302=900随堂练习下面是一个算式：这个算式的得数是否是某个数的平方？解：算式=1+2+6+24+120+720=873由于个位数字是3，所以算式的结果不是某个数的平方。例题2两个质数的平方的和等于9413，求这两个质数分别是多少？解：两个质数的平方和是9413，是奇数，那么这两个质数的平方和应该是一奇一偶。而一个质数的平方是偶数，那么这个质数一定是2.所以另一个质数的平方和是9413-4=9409.估计：902=8100,1002=10000，所以这个质数在90和100之间，只能是97.所以，这两个质数是2和97.随堂练习三个质数的平方的和等于390，求这三个质数的和是多少？解：390是奇数，这三个质数的平方的奇偶性可能是奇+奇+偶或者偶+偶+偶，而质数的平方是偶数的话，这个质数只能是2，不符合题意。所以这三个质数的平方的奇偶性只能是奇+奇+偶。所以，有一个质数为2.另外2个质数的平方和是390-4=386.52+192=386。这三个质数和：2+5+19=26.完全平方数分解质因数时，不同质数出现的次数是偶数次例题3利用分解质因数的方法判断以下数是否是完全平方数。7264144150169240解：分解质因数：故64,144,169是完全平方数。例题4自然数24乘以自然数A的乘积等于B，要使B为完全平方数，那么A最小是多少？解：将24分解质因数为：24=23×3因为完全平方数分解质因数时，不同质因数出现的次数是偶数次，所以A至少要有一个2和一个3,即24×2×3=144=12×12所以，A最小是2×3=6.随堂练习1485乘以一个自然数a，是一个完全平方数，a最小是多少？解：将1485分解质因数是：1485=33×5×11

由完全平方数的质因数有偶数个可知，a至少要有一个3、一个5和一个11，即3×5×11所以，a最小是3×5×11=165.完全平方数的约数的个数是奇数个例题5求出以下完全平方数的约数的个数分别有多少个？43681256解：4的约数有：1、2、4共3个36的约数有：1,2,3,4,6,9,12,18,36共9个；