均匀反应堆临界理论

均匀反响堆的临界理论主讲：马续波第4章1Contents前言均匀裸堆的单群扩散理论有反射层反应堆的单群扩散理论功率分布展平概念2在上一章中我们讨论了中子在非增殖介质内扩散的规律和中子扩散方程的解法。现在我们进一步将其用于讨论由核燃料和慢化剂等组成的有限均匀增殖介质〔反响堆系统〕内的中子扩散问题。中心问题是讨论反响堆的临界。

一、前言3在反响堆临界理论中，主要研究两方面的问题：各种形状的反响堆到达临界状态的条件〔临界条件〕:e.g.,临界时系统的体积大小(临界体积)和燃料成分〔富集度〕及其装载量〔临界质量〕。临界状态下系统内中子通量密度〔或功率〕的空间分布。4实际的反响堆系统物理过程与中子能量的复杂依赖关系“分群理论〞几何与材料的复杂性“均匀化〞处理〔均匀反响堆〕

均匀反响堆：是指这样一种堆，其堆芯的各种材料〔燃料、慢化剂、结构材料等等〕是均匀地混合在一起的。因此整个堆芯的材料特性是一致的，核截面等数据都是一样的。5均匀堆与非均匀堆世界上数以千计的反响堆中，只有一个名叫“水锅炉〞的实验堆是均匀堆。其堆芯是硫酸铀酰的水溶液。其他的都是非均匀堆，堆芯中的燃料和慢化剂是分开的，不混在一起。

既然如此，为何还要研究均匀反响堆？Why?6研究思路：沉着易的着手，逐步精确化均匀堆比较容易描述，建立的物理－数学模型比较简单。但是，从中引出的根本概念有普遍应用价值。工程设计中，对实际的非均匀反响堆进行分析时，也要先进行“均匀化〞，化为均匀堆。7单群中子扩散方程的建立均匀裸堆的单群扩散方程的解热中子反响堆的临界条件几种几何形状裸堆的几何曲率和中子通量密度分布反响堆曲率和临界计算任务单群理论的修正

二、均匀裸堆的单群理论8裸堆：无反射层的反响堆单群：全部中子都在一个能群里。实际上是假设堆内里所有中子都是热中子。热中子不能再慢化了，故方程非常简单，只需考虑中子的产生、吸收和泄漏。1.单群理论的建立9对于由燃料与慢化剂组成的均匀增殖介质反响堆系统，单位时间、单位体积内的裂变中子源强为：根据无限介质增殖因子定义代入单群中子扩散方程可得D及a是对中子能谱平均后的数值；在反响堆运行初期，须考虑外源中子，大多数情况下忽略外中子，认为裂变中子是反响堆内中子的唯一来源????10无限平板反响堆(4-3)无外源无限平板反响堆单群扩散方程初始条件为(4-4)边界条件为(4-5)(4-6)由式(4-3)得利用别离变量法求解，方程具有如下形式的解：(4-7)将(4-7)式代入(4-6)式(4-8)2.均匀裸堆的单群扩散方程的解11上式两端必须等于某一常数，设为-B2，有或(4-9)波动方程(4-9)式的通解为由于初始通量密度分布

0(x)关于x=0平面对称，因此只能选择满足对称条件的解，即由边界条件(4-5)式可导出(x)满足如下的边界条件：(±a/2)=0因此要求或(4-10)波动方程(4-9)只对某些特定的特征值Bn才有解，相应的解

n(x)称为此问题的特征函数。12由于特征函数的正交性，对于每一个n值的项都是线形独立，因此对应于每一个Bn2值和

n(x)，都有一个Tn(t)与之对应该式可转换为式中(4-12)(4-13)(4-14)l

为无限介质的热中子寿命，ln是有限介质热中子寿命。方程(4-12)解为其中C为待定常数。对于一维平板反响堆，其中子通量密度的完全解就是对n=1到n=所有项的总和，即(4-15)13对于一定几何形状和体积的反响堆芯部，假设B12对应的k1<1，那么其余的kn都将小于1，那么(kn-1)为负值，(x,t)将随时间t按指数规律衰减，系统为次临界状态。假设k1>1，那么(k1-1)为正值，中子通量密度(x,t)将随时间不断增加，系统处于超临界状态。假设调整堆芯尺寸或改变材料成分，使k1=1，那么其余(kn-1)都将为负值。中子通量密度(x,t)第一项将与时间无关，而其它各项将随时间而衰减。当时间足够长时，n>1各项将衰减到零，系统处于稳态，中子通量密度按基波形式(B=B1)分布，系统处于临界状态。3.热中子反响堆的临界条件三种情况：14重要结论：(1)裸堆单群近似的临界条件为：(4-17)B12为波动方程的最小特征值，记为Bg2，称为特征曲率；k1为有效增殖因子。(2)反响堆处于临界状态时，中子通量密度按最小特征值Bg2对应的基波函数分布，也就是说，稳态反响堆的中子通量密度空间分布满足波动方程(4-18)15无限平板反响堆的临界条件为(4-19)假设系统材料组成给定，那么只有一个唯一的尺寸a0能使k1=1，即为临界大小；当a>a0时，那么k1>1，为超临界；当a<a0时，k1<1，系统处于次临界。另一方面，假设反响堆尺寸a给定，那么必然可以找到一种燃料富集度(材料组成)，使得由其所确定的k及L2值能使(4-19)式成立，使k1=1，系统处于临界。临界时，反响堆内的中子通量密度分布为(4-20)16反响堆内单位时间单位体积内的中子泄漏率为-D2，根据(4-18)式，-D2=DBg2，单位时间单位体积内中子的吸收率为a，不泄漏概率为(4-21)那么裸堆单群近似的临界条件(4-17)可写为171.球形反响堆普遍解为(4-22)(4-23)根据边界条件：当r→0时中子通量密度为有限值，常数E必须为零，可得根据边界条件(R)=0的要求，必须使BgR=n,n=1,2,3,…。对应于最小特征值，几何曲率为(4-24)与此对应的临界反响堆内的中子通量密度分布为(4-25)4.几种几何形状裸堆的几何曲率和中子通量密度分布182.有限高圆柱体反响堆最常见的反响堆形状。中子通量密度只取决于r和z两个变量(4-26)边界条件是：(1)中子通量密度在堆内各处均为有限值(2)当r=R或z=±H/2时，(r,z)=0。采用别离变量法求解，设令左端每一项均等于常数，有(4-27)(4-28)(4-29)19求解(2-27)式，令x=Brr，将其代入(4-27)式，可得零阶贝塞尔方程其普遍解为(4-30)其中J0、Y0分别为第一类及第二类零阶贝塞尔函数。如果假设(4-27)式右端等于一正数，那么它将化为一个零阶修改贝塞尔方程其普遍解为(4-31)其中I0、K0分别为第一类及第二类零阶修正贝塞尔函数。根据边界条件(1)和(2)看出，Y0、I0及K0均应从上述解中消去。因此方程(4-27)的解为零阶贝塞尔函数曲线20利用边界条件(2)，有(4-32)因而(4-33)(4-34)求解(4-28)可得(4-35)其中(4-36)圆柱裸堆的几何曲率为其中Br2径向几何曲率，Bz2周向几何曲率。(4-37)(4-38)在给定Bg2值下，当直径D=1.083H时，圆柱体反响堆具有最小临界体积。21临界时均匀裸堆内的中子通量密度分布只取决于反响堆的几何形状，而与反响堆的功率大小无关临界反响堆内中子通量密度的基波函数特征分布可以在任意功率水平下得到稳定。反响堆功率可表示为将中子通量密度分布表达式代入上式，可求出常数C。(4-39)22稳态反响堆内中子通量密度的空间分布满足波动方程最小特征值Bg2，称为几何曲率，对于裸堆，其与反响堆的几何形状及尺寸大小有关，而与反响堆的材料成分和性质没有关系。k、L2等参数仅仅取决于反响堆芯部材料特性，对于一定材料成分的反响堆，便有一个确定的B2值能满足临界方程，我们称为材料曲率，记作Bm2。对于单群扩散理论，有(4-44)5.反响堆曲率和临界计算任务23临界条件可写为：Bm2=Bg2对于裸堆，可将临界条件写成(4-45)(4-46)(4-47)24物理解释：材料曲率反映堆内中子产生率高出吸收率的程度几何曲率的大小反映中子泄漏的程度材料曲率等于几何曲率说明：当多余的中子产生率正好被泄漏率抵消时，系统正好处于平衡态－临界状态。25问题当材料曲率小于几何曲率时，反响堆处于什么状态？当材料曲率大于几何曲率时，反响堆处于什么状态？26例题计算纯铀235金属球的临界尺寸。：27快临界装置的半径就是8.1cm！！相应的临界质量是52公斤。用铀做原子弹大概如此。加上反射层后临界质量可以减少到13~15kg。用钚做原子弹，裸球临界质量为10kg，加上反射层后临界质量减少到5-6公斤。解：28球形临界质量(kg)U-233:15U-235:52Np-237:60Pu-239:10Pu-240:40Pu-241:16Pu-242:100Am-241:60-100Am-242:9-18Am-243:50-150Cm-245:12Cm-246:70Cm-247:7Cf-251:9广岛：小男孩(LittleBoy)，U-235长崎：胖子(FatMan)，Pu-239锎(Cf):世界上最贵重金属29临界公式用途不仅可以用于反响堆，而且可用于其他核设施的临界平安分析同位素别离工厂，后处理厂，核废物库，核物料运输罐的设计、平安分析。30反响堆临界问题：第一类问题：给定反响堆材料成分，确定它的临界尺寸。第二类问题：给定反响堆的形状及尺寸，确定临界时反响堆的材料成分。第三类问题：给定反响堆材料成分、几何尺寸，确定有效增值因子或反响性。(4-48)31称为反响性。对于临界反响堆，=0；假设>0，超临界；<0，次临界||表示反响堆偏离临界状态的程度。PCM:反响性单位，1PCM=10-5元：$，分：¢，1$=100¢;1元反响性=1eff〔反响堆动力学〕(4-49)32单群是一种非常近似的方法。对于热中子反响堆，直接以上临界条件有较大误差。 修正：用M2=L2+来替换上式中的L2热中子反响堆的修正单群理论。例题：P1006.单群理论的修正33反响堆的最正确形状这里所谓最正确，是指用同样材料，做成的反响堆临界体积最小。组成反响堆的材料确定后，材料曲率就定了，堆的临界几何曲率Bg也定了。但是，对同一个几何曲率Bg值，可以有不同的形状和尺寸，对应不同的体积。34

35反响堆的最正确形状〔续〕几何形状最佳尺寸最小临界体积长方体a＝b＝c161/圆柱D＝1.08H148/球R130/

36反射层的作用以及如何选择反射层一侧带有反射层的反响堆带有反射层的球形堆一侧带有反射层的柱形堆反射层节省三、有反射层反应堆的单群扩散理论37减少芯部中子的泄漏，从而减小芯部的临界体积，节省一局部核燃料；提高反响堆的平均输出功率，这是由于反射层的原因，其芯部中子通量密度分布比裸堆的中子通量密度分布更加平坦的缘故。如何选择反射层？反射层材料散射截面要大反射层材料吸收截面要小良好的慢化能力热中子堆常用的反射层材料有：H2O,D2O,石墨，铍等。快堆常用反射层材料：重核？1.反射层的作用以及如何选择反射层38芯部稳态单群扩散方程(角标c)(4-52)该方程只有对于临界系统才成立。对于任意给定材料成分及几何形状与尺寸的反响堆系统，它不一定处于稳态引入一个特征参数k来进行调整使其到达临界。或者写为Lc为芯部的扩散长度。(4-53)(4-54)

多区问题:分别写出每一区的扩散方程证明:K为芯部的有效增殖因子2.一侧带有反射层的反响堆39反射层稳态单群扩散方程〔角标为r〕(4-56)式中(4-57)Lr为反射层的扩散长度。

边界条件为：(1)在芯部或反射层的交界面上(4-58)(2)在芯部或反射层的外推边界上中子通量密度为零401.带有反射层的球形堆〔芯部半径为R，反射层厚度为T〕(4-59)芯部方程式解：反射层方程式解：(4-60)根据：反射层外推边界r=R+T处中子通量密度为零，有上式代入(4-60)可得(4-61)方程(4-59)、(4-61)有两个常数，由芯部与反射层交界面处边界条件确定41带反射层球形反响堆单群临界方程给出了临界曲率与临界尺寸的关系当堆芯材料、反射层材料尺寸已经确定时，用此公式计算临界尺寸a的值。当堆芯尺寸已经确定时，用它来计算到达临界所需的堆芯材料成分材料定，曲率知，算尺寸尺寸知，算曲率，配材料。421裸堆2有反射层反响堆432.侧面带有反射层的圆柱形反响堆(半径R，高度H，侧面反射层厚度T)芯部反射层(4-63)(4-64)边界条件为在z=±H/2处在r=R+T处在r=R处(4-65)(4-66)(4-67)44芯部周围有反射层局部泄露出芯部的中子在反射层内被散射而返回芯部，减少了中子损失，提高了中子的不泄露概率。因此在芯部材料性质相同情况下，临界体积就要比裸堆的临界体积小。反射层节省：反响堆加上反射层所引起的临界尺寸的减少。(4-81)2.反射层节省45反射层节省46对于圆柱形反响堆，反射层节省通常分别用径向和轴向的反射层节省来表示(4-82)可以把有反射层反响堆的几何曲率用芯部外形尺寸增大或2来表示。带反射层球形堆圆柱形反响堆Reff、Heff称为等效半径、等效高度47带反射层球形反响堆反射层节省反射层厚度很小，即T<<Lr

=T；反射层很厚时，即T>>Lr

=Lr。过大的