小船过河问题教案及两种问题解答

小船过河问题【模型解析】两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。例1一条宽度为L的河，水流速度为，船在静水中速度为，那么：〔1〕怎样渡河时间最短？〔2〕假设，怎样渡河位移最小？〔3〕假设，怎样渡河船漂下的距离最短？解析：〔1〕小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图1所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为，渡河所需要的时间为，可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当时，〔最大〕。所以，船头与河岸垂直。图1〔2〕如图2所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有，即。图2因为，所以只有在时，船才有可能垂直河岸渡河。〔3〕假设，那么不管船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图3所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据图3船头与河岸的夹角应为，船沿河漂下的最短距离为：此时渡河的最短位移：【模型演练】1.〔2005祁东联考〕小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为，那么以下说法中正确的选项是〔〕A.小船渡河的轨迹为曲线B.小船到达离河岸处，船渡河的速度为C.小船渡河时的轨迹为直线D.小船到达离河岸处，船的渡河速度为答案：A2．(湖南长沙一中09～10学年高一下学期期中)一人游泳渡河，以垂直河岸不变的划速向对岸游去，河水流动速度恒定．以下说法中正确的选项是()A．河水流动速度对人渡河无任何影响B．人垂直对岸划水，其渡河位移是最短的C．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同D．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置向下游方向偏移答案：D3．(河北正定中学08～09学年高一下学期月考)某河水的流速与离河岸距离的变化关系如下图．河宽300，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示．假设要使船以最短时间渡河，那么()A．船渡河的最短时间是75sB．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C．船在河水中航行的轨迹是一条直线D．船在河水中的最大速度是5m/s答案：BD4.在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，那么摩托艇登陆的地点离O点的距离为(C)A．B．0C．D．★解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v2，到达江岸所用时间t=；沿江岸方向的运动速度是水速v1在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离0点距离。答案：C5.某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T1；假设此船用最短的位移过河，那么需时间为T2，假设船速大于水速，那么船速与水速之比为〔〕(A)(B)(C)(D)★解析：设船速为，水速为，河宽为d，那么由题意可知：①当此人用最短位移过河时，即合速度方向应垂直于河岸，如下图，那么②联立①②式可得：，进一步得6．有一小船欲从A处渡河，如下图，河宽为400m，其下游300m处是暗礁浅滩的危险水域，水流速度恒为5m/s，欲使小船能平安到达对岸，求：船相对静水的最小速度应是多少？此时船头的指向与河岸的夹角又是多大？答案：4m/s37°解析：小船要想在到达危险区域之前恰好到达对岸，那么其合位移必为OA，如下图，设水速为v1，小船速度为v2，由平行四边形和几何知识知v2⊥v时v2有最小值，方向如下图，由图知v2＝v1cosθ，cosθ＝eq\f(400,\r(3002＋4002))＝0．8，即θ＝37°v1＝4m/s.7.河宽d＝60m，水流速度v1＝6m／s，小船在静水中的速度v2=3m／s，问：(1)要使它渡河的时间最短，那么小船应如何渡河?最短时间是多少?(2)要使它渡河的航程最短，那么小船应如何渡河?最短的航程是多少?解