山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第5章-直角三角形中直角边所在直线上的点

第5章直角三角形中直角边所在直线上的点直角三角形中直角边所在直线上的点有如下的结论，作为其性质介绍如下：性质设是直角〔〕的直角边所在直线上一点〔异于〕，那么．证明对于图〔1〕，当点在的延长线上时，由勾股定理，有．当点在的延长线上时，类似地有．对于图〔2〕，当在边上时，类似地有．显然，在图中，假设点与点重合，那么，有，此即为勾股定理．因此，我们可把上述性质称为广勾股定理．由上述性质，还可得如下推论：注：也可运用余弦定理证：．推论三角形一边的平方等于、小于或大于其他两边的平方和，视其该边所对的角是直角、锐角或钝角而定．推论三角形的一角是直角、锐角或钝角，视其该角所对的边的平方等于、小于或大于其他两边的平方和而定．下面给出三角形的广勾股定理应用的例子．1．直接在直角三角形中用例〔三角形的中线长公式〕三角形一边上的中线长的平方，等于其他两条边长的平方和之半减去该边长平方的四分之一．证明如图，为的边的中点，作于．分别在和中应用广勾股定理〔即〔〕式〕，有，．由上述两式相加，得．例〔平行四边形边长与对角线长关系〕平行四边形各边的平方和等于两对角线的平方和．事实上，在图中，将延长至，使，那么四边形为平行四边形，由三角形中线长公式，即得．例〔定差幂线定理〕设，是两条线段，那么的充要条件为．证明必要性．如图，假设，那么可设于．分别在，中应用广勾股定理，有，．上述两式相减，得．充分性．当时，如图．设，，，，，分别为，，，．，的中点，将这些中点联结如图，那么，，均为平行四边形．由例的结论，有，．由题设有，即有．上述三式整理得，即，从而为矩形，有．而，，故．例如图，在中，，点在边上，使得，，且．求的长．解由，知．过点作的平分线交于，那么为等腰三角形．令，那么，且．分别对，应用广勾股定理，有，即 ．．又由角平分线性质，有，即，解得．从而为所求．2．作出垂线，构造新直角三角形例如图，在中，．〔1〕如下图，当点在斜边上〔不含端点〕时，求证：；〔2〕当点与点重合时，〔1〕中的等式是否成立？请说明理由；〔3〕当点在的延长线上时，〔1〕中的等号是否成立？请说明理由．解〔1〕过作于，那么由射影定理〔或直角三角形相似〕有．对的直角边上的点应用广勾股定理，有，即．于是， ．〔2〕当点与重合时，〔1〕中等式仍然成立．此时，，，．于是 ，，故 ．〔3〕当点在的延长线上时，〔1〕中的等式不成立．此时，同〔1〕作辅助线，应用广勾股定理，有，即．从而．例如图，四边形为正方形，过正方形的顶点和对角线的交点，并分别交，于点，．〔1〕求证：；〔2〕假设的半径为，，求的值．解显然为的直径，即点在上．联结，，那么，即知为等腰直角三角形，于是．〔1〕由，，，知≌．从而．〔2〕过作于，那么为的中点，，．令，那么．对的直角边上的点应用广勾股定理，有．即 ，亦即 ．解得或，所以，或．例如图，在中，，，是边上一点，．求证：．证明如图，延长至，使．由题设，那么，即知为等腰三角形．过点作于，那么为的中点．取的中点，那么，联结．对的直角边所在直线上的点应用广勾股定理，有①又在，中分别对点应用广勾股定理，有，．此两式相加得． ②同理，在，中分别对点应用广勾股定理，有，，此两式相加，得． ③由②，③得，将①代入并注意，得．故．3．作出特殊线，证明是垂线例〔《中等数学》2023〔4〕数学奥林匹克问题222号〕如图，在矩形内，讨顶点，，，分别作的切线，切点分别为，，，．假设，，，求的长．解联结，，，，，，，，那么，，，．设的半径为，那么由勾股定理，知，，，．过点作分别交，于，，那么由题设知，，且．在中，对点，在中，对点分别应用广勾股定理，有，．此两式相减得，即．〔*〕于是，．故为所求．注：〔*〕式说明：矩形内一点到两双对顶点的距离的平方和相等．例〔第31届俄罗斯数学奥林匹克〔第4轮〕题〕非等腰，，是它的两条高，又线段与平行于的中位线相交于点．证明：经过的外心和垂心的直线与直线垂直．证明如图，设，分别为的外心和垂心，是与平行的中位线，交于，交于．联结交于点，联结交于点．注意到，，那么知，即．过点作外接圆的切线，那么，且，即知，于是知，即．联结，．在，中，分别对点应用广勾股定理，有，．上述两式相减得． ①由于，知，，，四点共圆；由，知，，，四点共圆；由，知，，，四点共圆，于是，，． ②将②式代入①式，得．于是，由定差幂线定理，知．4．综合应用例〔2023年福建省竞赛题〕如图，与线段切于点，且与以为直径的半圆切于点，于点，与以为直径的半圆交于点，且与切于点，联结，．求证：〔1〕，，三点共线；〔2〕；〔3〕．证明〔1〕设的中点为，由于与内切于点，那么知，，三点共线．联结，那么．又，知．于是，．从而，两等腰，的底角相等，即有．由此即知，，三点共线．〔2〕在中，由切割线定理，有．联结，那么，知，，，四点共圆，即有．联结，那么由勾股定理有．在中，应用广勾股定理，有，即有，故．〔3〕在中应用广勾股定理，有，而，故．注：〔*〕处亦即直角三角形的射影定理．这说明可用广勾股定理推导直角三角形射影定理．例〔《中等数学》2023〔7〕数学奥林匹问题高251〕凸四边形外切于，两组对边所在的直线分别交于点，，对角线交于点．求证：．证明设与边，，，的切点分别为，，，，那么由牛顿定理知〔参见第29章〕，，，四线共点于．联结交于，联结交于，那么，．在和中分别应用广勾股定理，有，．注意到直角三角形的射影定理，有．从而．由例的结论，知．练习五1．设为的边上一点，求证：．2．内的弦平行于直径，为上的一点，求证：．3．设为正的外接圆劣弧上任一点．求证：．4．设为锐角的垂心，是所在平面内任一点，作于点交的延长线于点，作于点交