专题：阿氏圆与线段和最值问题(含答案)

专题：阿氏圆与线段和最值问题恰答案）（推荐完整）编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（专题：阿氏圆与线段和最值问题（含答案）（推荐完整））的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为专题：阿氏圆与线段和最值问题（含答案）（推荐完整）的全部内容。专题:阿氏圆与线段和最值问题（含答案）（推荐完&编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望专题:阿氏圆与线段和最值问题（含答案）（推荐完整）这篇文档能够给您的工作和学习带来便利.同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为〈专题：阿氏圆与线段和最值问题（含答案）（推荐完整）〉这篇文档的全部内容。专题：阿氏圆与线段和最值问题以阿氏圆（阿波罗尼斯圆）为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理（全称:阿波罗尼斯圆定理），具体的描述:一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m（手1），则p点的轨迹，是以定比m内分和外分定线段ab的n n两个分点的连线为直径的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.定理读起来和理解起来比较枯燥,阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB,（k手1）P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,（k米1）P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似例题1、问题提出：如图1,在Rt^ABC中，/ACB=90°,CB=4,CA=6,3C半径为2,P为圆上一动点，连结AP、BP,求AP+^BP的最小值.2（1） 尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路:如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有也=里=J_，又■/ZPCD=ZBCP,aAPCD^ABCP.^D=^,aPDCPCB2 BP2=1bp,/.AP^BP=AP+PD.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2请你完成余下的思考，并直接写出答案：ap+Ibp的最小值为 ^2 （2） 自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，LAP+BP的最小值为 .3 ⑶拓展延伸：已知扇形COD中，/C0D=90°,OC=6,OA=3,OB=5，点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值.【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为ad=，.®；⑵连接CP,在CA上取点D,使CD=&则有鱼旦旦，可证△PCDs^ACP,得到PD=J_AP,3CPCA3 3即:J_AP+BP=BP+PD，从而1AP+BP的最小值为BD；3 3（3）延长OA到点E,使CE=6,连接PE、OP,可证△OAPs^OPE,得到EP=2PA,得到2PA+PB=EP+PB,当E、P、B三点共线时,得到最小值.【解答】解：（1）如图1,连结AD,•.•ap+Lbp=ap+pd，要使AP+^BP最小，2 2•••AP+AD最小，当点A,P,D在同一条直线时，AP+AD最小，即:AP+1BP最小值为AD,2在RtAAGD中，CD=1,AC=6,「AD= =«3T，AP+§BP的最小值为扃，故答案为：、.节;(2)如图2,连接CP,在CA上取点D,使CD=星,3•••四耳二CPCA3■/ZPCD=ZACP,/.APCD^AACP,PD_■ ,AP~3pd=|ap,■Aap+bp=bp+pd,二同(1)的方法得出1AP+BP的最小值为BD=；诃顽=3(3)如图3,延长OA到点E,使CE=6,.•.OE=OC+CE=12,连接PE、OP,,/OA=3,.皿虺」，OPOE2■/ZAOP=ZAOP,/.AOAP^AOPE,-AP1EP"2，...EP=2PA,...2PA+PB=EP+PB,

二当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE=,商瑚=13.【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出APCDs^ACP和AOAP-AOPE,也是解本题的难点.例题2、问题背景 如图1,在左ABC中，BC=4,AB=2AC.问题初探 请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=,ac=.问题再探 如图2,在AC右侧作ZCAD=ZB，交BC的延长线于点D,求CD的长.问题解决求AABC的面积的最大值.【分析】问题初探：设AC=x，则AB=2x,根据三角形三边间的关系知2x-x<4且2x+x>4,解之得出x的范围，在此范围内确定AC的值即可得出答案；\2.解之可得;问题再探：设CD=a、AD=b,证^\2.解之可得;ADBDAB问题解决：设AC=m、贝IJAB=2m，根据面积公式可得S^Bc=2m ，由余弦定理可得cosC,代入化简*吊『"穿，结合m的取值范围,利用二次函数的，性质求解可得.【解答】解：问题初探，设AC=x，则AB=2x,•.•BC=4,/.2x一xV4且2x+x>4,解得：号VxV4,取x=3，则AC=3、AB=6,故答案为：6、3;问题再探，、/CAD=/B,/D=/D,/.ADAC^ADBA,则也=理=芝ADBDAB设CD=a、AD=b,b~2•'「’,4+a_2解得:M即CD=§；问题解决，设AC=m、则AB=2m,根据面积公式可得S*bc=§ACBCsinC=2msinC=2m.；i_E/c，由余弦定理可得8拓=号!•■.SMBC=2m[(X280n4096.9厂S1」256由三角形三边关系知|<m<4,所以当m=济时,Mbc取得最大彳畦【点评】本题主要考查三角形三边关系、相似三角形的判定与性质及二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、余弦定理及二次函数的性质.例题3、如图，已知AC=6,BC=8,AB=10,③C的半径为4,点D是③C上的动点，连接AD,BD,则AD1BD的最小值为

【解答】2抵0【解答】2抵0例题4、在AABC中，AB=9,BC=8,ZABC=60o,连接PB,PC，^IJ3PC+2PB的最小值为©A的半径为6,P是©A上的动点，【解答】21练习如图，在平面直角坐标系中，点A(4,0),B(4,4),点P在半径为2的圆O上运动，则LAP+BP2的最小值是.

【分析】如图，取点K(1,0)，连接OP、PK、BK.由^POK-AAOP,可得旦L=PL=J_,推PA0A2出PK=^PA，在△PBK中，PB+PKNBK,推出PB+^PA=PB+PK的最小值为BK的长.2 2【解答】解：如图，取点K(1,0),连接OP、PK、BK.a~*•.•OP=2,OA=4,OK=1,二亚=^=L,、npok=/aop,OAOP2.•.△POKs^AOP,■PK^OP^lPAOA2，.•.PK=LPA..•.PB+号PA=PB+PK,在^PBK中，PB+PKNBK,...PB+J_PA=PB+PK的最小值为BK的长，2•.•B(4,4),K(1,0).•.BK=_；^^=5・故答案为5.【点评】本题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.如图，正方形ABCD的边长为4,3B的半径为2,P为。B上的动点，则PD+J_PC的最小值等2于.【分析】在BC上截取BE=1,连接BP,PE，由正方形的性质可得BC=4=CD,BP=2,EC=3,可证△PBEs^CBP,可得PE=^PC,即当点D,点P,点E三点共线时，PD+PE有最小值，即2PD+尹C有最小值，【解答】解:如图，在BC上截取BE=1,连接BP,PE,

•正方形ABCD的边长为4,3B的半径为2,.•.BC=4=CD,BP=2,EC=3.里二耳，且ZPBE=ZPBEBC"2"BP...△PBEs^CBP.虺BPPC2.•.PE=§PC...PD+^PC=PD+PE二当点D,点P,点E三点共线时,PD+PE有最小值，即PD+^PC有最小值，.•.PD+号PC最小值为DE=,；d/+ce2=5故答案为：5【点评】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键.如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，③B的半径为2,P是③B上一动点，则PD+^PC的最小值为；.EPD+4的最小值为；.EPD+4PC的最小值为D【分析】①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE=1.只要证明^PBE-ACBP,可得典PC=理=七推出PD+^PC=PD+PE，再根据三角形的三边关系PE+PDWDE即可解决问题；BC2 2②连接DB,PB,在BD上取一点E,使得BE=21，连接EC,作E1BC于F.只要证明△PBE2-△DBP,可得座=坦!=笠_，推出PE=21_PD,推出互PD+4PC=4(21pD+PC)=4(PE+PC),PDBD4 4 4根据三角形的三边关系PE+PCWEC即可解决问题；【解答】解:①如图，连接PB、在BC上取一点E,使得BE=1.•.•PB2=4,BE•BC=4,.•.PB2=BE・BC,.•■典=陞，•.NPBE=/CBP,BCPB...△PBEs^CBP,-理=PB=1■■ ,PCBC2.•.PD+号PC=PD+PE,、PE+PDWDE,在Rt^DCE中，DE=3?+42=5,.•.PD+^PC的最小值为5.2②连接DB,PB,在即上取一点E,使得BE=^，连接EC,作EFXBC于F.•PB2=4，BE•BD=^1_X4.巧=4,.•.BP2=BE・BD,二耍=il，・.NPBE=/PBD，BDBP.•.△PBEs^DBP，.理=PB=.挣■■ ，FDBD4.•.PE=§PD，.「EPD+4PC=4(*PD+PC)=4(PE+PC)，...PE+PCNEC，在Rt^EFC中，EF=L,FC=JL,2 2.•.EC=等，.®D+4PC的最小值为10.E.故答案为5,10想【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会根据相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.如图，半圆的半径为1,AB为直径，AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为迎上一动点,求巨PC+PD的最小值.D【分析】如图当A、P、D共线时，巨PC+PD最小，根据盘PC+PD=PM+PD=DM=AD-AM即可2 2计算.【解答】解：如图当A、P、D共线时，JLPC+PD最小.理由：连接PB、CO,AD与CO交于点M,•.•AB=BD=4,BD是切线，/.ZABD=90°,ZBAD=ZD=45°,VAB是直径，/.ZAPB=90°,...NPAB=/PBA=45°,.•.PA=PB,PO±AB,•.•AC=PO=2,AC〃PO,二四边形AOPC是平行四边形,/.0A=0P,ZA0P=90°,二四边形AOPC是正方形，.•.PM=21_PC,.•.^1pc+pd=pm+pd=dm,■/DM±CO,.提匕时巨PC+DP最小=AD-AM=2 -巨=疽.O【点评】本题考查切线的性质、轴对称-最短问题、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是找到点P的位置，学会通过特殊点探究问题，找到解题的突破口，属于中考常考题型.

如图，在RtAABC中，/A=30°,AC=8,以C为圆心,4为半径作0C.试判断③C与AB的位置关系，并说明理由；点F是③C上一动点，点D在AC上且CD=2,试说明△FCD-AACF；点E是AB边上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+lfA的最小值.DCDC【分析】(1)结论：相切.作CM±AB于M.,只要证明CM=4，即可解决问题；⑵由CF=4,CD=2,CA=8，推出CF2=CDCA,推出箜=坐，由zFCD=zACF,即可推出△FCDs^ACF；(3)作DE'^AB于E',交③C于F'.由^FCDs^ACF,可得业=业=七推出DF=^AC,A?CA2 2推出EF+lAF=EF+DF，所以欲求EF+^AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值；2 2【解答】⑴解：结论：相切.

理由：作CM±AB于M.在RtAACM中，•.NAMC=90°,/CAM=30°,AC=8,.•.CM=|AC=4,..PO的半径为4,/.CM=r,•••AB是③C的切线.(2)证明：■/CF=4,CD=2,CA=8,.•.CF2=CDCA,.•.QL=4・.nfcd=zacf,CDCF/.AFCD^AACF.⑶解：作DEZ±AB于E，，交③C于F'.DE'DE'■/AFCD^AACF,DF=CF=1-• ———,AFCA2.•所=并，EF+1_AF=EF+DF,二欲求EF+^AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值，当E与E',F与F'重合时，EF+DF的值最小，最小值=DE'=Ad=3.【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确切线的证明方法，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考压轴题.问题提出：如图1,在等边△ABC中，AB=12,3C半径为6,P为圆上一动点，连结AP,BP,求AP萝的最小值.尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=3,则有鱼=里=1,又•.NPCD=/BCP,.・.^PCDs^BCP,CPCB2.•旦=L,・・・PD=LbP,.・・AP+【BP=AP+PD.BP2 2 2请你完成余下的思考，并直接写出答案：ap+Lbp的最小值为.2自主探索：如图3,矩形ABCD中，BC=7,AB=9,P为矩形内部一点，且PB=3,顼+PC3的最小值为.⑶拓展延伸：如图4,扇形COD中，。为圆心，/C0D=120°,OC=4,OA=2,OB=3，点P是O!上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程.图3 图4【分析】⑴由等边三角形的性质可得CF=6,AF=6..保由勾股定理可求AD的长;

（2）在AB上截取BF=1,连接PF,PC,由业具耍，可证△ABP-APBF，可得PF=^AP,AB3BP 3即LAP+PC=PF+PC，则当点F,点P,点C三点共线时,1AP+PC的值最小，由勾股定理可求3 31AP+PC的值最小值；⑶延长OC,使CF=4,连接BF,OP,PF,过点F作FB±OD于点M,由业二马，可得△0P2OFAOPs^POF,可得PF=2AP,即2PA+PB=PF+PB,则当点F,点P,点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+0P2OF【解答】解：（1）解：（1）如图1,连结AD，过点A作AF±CB于点F,•.•ap+Lbp=ap+pd，要使AP+LBP最小，2 2.•.AP+AD最小，当点A,P,D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+^BP最小值为AD,2...AC=12,AF±BC,ZACB=60°/.CF=6,AF=6_3/.DF=CF-CD=6-3=3•■•AD=\堀痢F=3'•无

.••AP亨P的最小值为3壬⑵如图，在AB上截取BF=1,连接PF,PC,•.•AB=9,PB=3,BF=1二也^妥,且ZABP=ZABP,AB3BP...△ABPs^PBF,-FPBP1■■—AP"AB~3.•.pf=|ap/AaP+PC=PF+PC,二当点F,点P,点C三点共线时，项+PC的值最小,3.■■cf=，_；Bf'+BC‘= =52.•.Xap+pc的值最小值为5E3⑶如图，延长OC，使CF=4，连接BF,OP,PF,过点F作FB±OD于点M,■.■OC=4,FC=4,/.FO=8，且OP=4,OA=2,皇HQL,且ZAOP=ZAOPOP-2-0F...△AOPs^POF.•也PF~OF~2...PF=2AP...2PA+PB=PF+PB,二当点F,点P,点B三点共线时，2AP+PB的值最小，■/ZCOD=120°,/.ZFOM=6Q°，且FO=8,FM±OM/.OM=4,FM=4..3...MB=OM+OB=4+3=7二FB=f'F昨+丘普=祁7..•2PA+PB的最小值为商.【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点.（1）如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD+号网的最小值和PD-号代的最大值；⑵如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那么pd+^fc的最小值为_无_,pd-^fg的最大值为_,：!疏_.3 3 ⑶如图3,已知菱形ABCD的边长为4,ZB=60。，圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，那么PD+土叩勺最小值为_云匚，PD-号^的最大值为_顼_.【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G,使得BG=1.由^PBG-ACBP,推出匹=匹=七PCPB2推出PG=^PC,推出PD+J_PC=DP+PG,由DP+PGNDG,当D、G、P共线时,PD+^PC的值最小，2 2 2最小值为DG=.；EF=5.由PD-号PC=PD-PGWDG，当点P在DG的延长线上时，PD-号PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5;⑵如图3中，在BC上取一点G,使得BG=4.解法类似（1）；⑶如图4中，在BC上取一点G,使得BG=4,作D1BC于F.解法类似（1）；【解答】解：（1）如图1中，在BC上取一点G,使得BG=1.…FB=2=2BC=4=2■ ■BG1PB2.虺=匹，•.NPBG=/PBCBGPB...△PBGs^CBP,FG=BG=1 — ———,PCPB2.•.PG=§PC,PD+号PC=DP+PG,...DP+PGNDG,二当D、G、P共线时，PD+^PC的值最小，最小值为DG=.茅侦=5.•.•PD-号PC=PD-PGWDG,

当点P在DG的延长线上时,PD-【PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5.⑵如图3中，在BC上取一点G,使得BG=4.BG4 2PB6 2理=些，-/ZPBG=ZPBCBGPB/.APBG^ACBP,•FG=BG=2,PCPB3.•.PG=|_PC,/.pd^Lpc=dp+pg,•.•DP+PGNDG,二当D、G、P共线时,PD+^PC的值最小，最小值为DG=菱?+萨=,'近・3•.•PD-|_PC=PD-PGWDG,当点P在DG的延长线上时，PD-号PC的值最大，最大值为DG=,i菰故答案为箱，-/'106⑶如图4中，在BC上取一点G,使得BG=1,作DF^BC于F.•■理=匹，-/ZPBG=ZPBC,BGPB•△PBGs^CBP,•FG=BG=1.•.PG亏PC,•PD+号PC=DP+PG,...DP+PGNDG,.••当D、G、P共线时，PD亨C的值最小,最小值为DG,在RtACDF中，ZDCF=60°,CD=4,...DF=CDsin60°=^3,CF=2,在RtAGDF中，DG= ,3)气⑸2=：37■/PD^-PC=PD-PG^DG,当点P在DG的延长线上时，PD-^PC的值最大(如图2中)，最大值为DG=®.故答案为•.勺7,外'百.【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题.如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点，直线AC：y=-Lx2-6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点，过点E作EF±x轴交AC于点F,交抛物线于点G.求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；在(2)的前提下，y轴上是否存在一点H,使ZAHF=ZAEF?如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由.【分析】(1)把A、B点的坐标分别代入代入y=-x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c,从而得到抛物线的解析式；(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=2x+4，设G(x,-x2-2x+4),则E(x,2x+4)，根据平行四边形的判定，当GE=OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，从而得到-x2-2x+4-(2x+4)=4,然后解方程即可得到此时G点坐标；(3)先确定C(0,-6)，再利用勾股定理的逆定理证明△BAC为直角三角形，/BAC=90°,接着根据圆周角定理，由ZAHF=ZAEF可判断点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M,如图，设H(0,t),由于E(-2,0),F(-2,-5)，^1川(-2,-旦)，然后根据HM=^EFTOC\o"1-5"\h\z2 2得到22+(t+旦)2=1x52，最后解方程即可得到H点的坐标.2 4【解答】解：(1)把A(-4,-4),B(0,4)代入y=-x2+bx+c^得-世-粉口二-七解得廿-勺\c=4 Ic=4二抛物线的解析式为y=-x2-2x+4；(2)设直线AB的解析式为y=kx+m,把A(-4,-4),B(0,4)代入得一业+亦一4，解得仕二2,]ni=4 Ib=4二直线AB的解析式为y=2x+4,设G(x,-x2-2x+4)，则E(x,2x+4),...OB〃GE,二当GE=OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，二-x2-2x+4-(2x+4)=4,解得x1=x2=-2,此时G点坐标为(-2,4)；(3)存在.当x=0时,y=-Lx-6=-6，则C(0,-6),2■/AB2=42+82=80,AC2=42+22=20,BC2=102=100,.•.AB2+AC2=BC2,.•.△BAC为直角三角形，/BAC=90°,■/ZAHF=ZAEF,二点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M,如图，设H(0,t),,.,G(-2,4),■.E(-2,0),F(-2,-5),•••M(-2,-号)，、HM=§EF,二22+(t+|_)2=jx52，解得t1=-1,t2=-4,•.•H点的坐标为(0,-1)或(0,-4).【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的判定;会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，能运用圆周角定理判断点在圆上；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式.如图1,抛物线y