2022年中考数学二轮专题复习：二次函数性质综合题

二次函数性质综合题类型一与线段有关的问题例题图①例如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线和直线BC的解析式；【思维教练】将A、C两点的坐标代入抛物线解析式中，利用待定系数法得到抛物线解析式及点B坐标，再利用待定系数法求直线解析式即可．解：(1)将A(－1，0)，C(0，3)代入抛物线解析式，得

解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点B的坐标为(3，0)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b′，将点B(3，0)，C(0，3)代入，得

解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋3；例题图①例题图①【思维教练】要求a的值，根据抛物线对称轴的位置，结合增减性分情况讨论最值的位置求解即可．(2)当a－3≤x≤a时，抛物线有最小值为－12，求a的值；(2)由(1)知抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线对称轴为直线x＝1，分两种情况讨论：①当a≤1时，在x＝a－3处抛物线有最小值，∴－(a－3－1)2＋4＝－12，解得a1＝0，a2＝8(舍去)；②当a－3≥1时，在x＝a处抛物线有最小值，∴－(a－1)2＋4＝－12，解得a3＝5，a4＝－3(舍去)．综上所述，a的值为0或5；例题图①例题图②(3)如图②，若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线PQ交BC于点Q，作PH⊥BC于点H.①求△PQH周长的最大值；【思维教练】根据题中所给线段关系结合点B、C的坐标可判断△PQH形状的特殊性，根据其特殊性将求周长最值转化为求线段最值，结合二次函数的性质即可求解．①画出大致图象如解图①，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠OCB＝45°，∵PQ⊥OB，∴∠HQP＝45°，∵PH⊥BC，∴△PQH为等腰直角三角形，设点P(p，－p2＋2p＋3)，∴Q(p，－p＋3)，∴PQ＝－p2＋2p＋3－(－p＋3)＝－p2＋3p＝－(p－

)2＋

，∵－1＜0，0＜p＜3，例题解图①∴当p＝

时，PQ取最大值，最大值为

，∵△PQH为等腰直角三角形，∴△PQH周长＝PQ＋2×

PQ，＝(＋1)PQ，∴△PQH周长的最大值为(＋1)；例题解图①例题图③②如图③，过点H作HG⊥y轴于点G，设w＝

PH－GH，求w的最大值；【思维教练】根据w的线段关系，可将其放在等腰直角三角形中求解，利用等腰直角三角形的性质，分别表示出PH、GH的长，结合二次函数性质求得最大值．由(1)知△HPQ是等腰直角三角形，∵GH⊥y轴，PQ∥y轴，∴GH⊥PQ，∴PM＝MQ＝HM，PQ＝

PH，设点P的坐标为(p，－p2＋2p＋3)，则点Q(p，－p＋3)，∴PQ＝－p2＋3p，∴PH＝PQ＝－p2＋3p，HM＝

PQ＝－

p2＋

p，∴GH＝GM－HM＝p－(－

p2＋

p)＝

p2－

p，例题图③M②如解图，延长GH交PQ于点M，∴w＝

PH－GH＝(－p2＋3p)－(

p2－

p)＝－

(p－

)2＋

，∵－

＜0，0＜p＜3，∴当p＝

时，w取得最大值，最大值为

；例题图③M(4)如图④，设点H为抛物线对称轴上一点，连接HA，HC，设w＝HC2＋HA2，求w的最小值．例题图④【思维教练】要求w的最小值，可根据已知的A、C坐标及H点横坐标，设出点H的坐标，将w用含H点纵坐标的代数式表示，利用二次函数性质求得最小值．(4)∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴可设点H的坐标为(1，q)，∵A(－1，0)，C(0，3)，∴w＝HC2＋HA2＝1＋(3－q)2＋22＋q2＝2(q－

)2＋

，∵2＞0，∴当q＝

时，w有最小值，最小值为.例题图④类型二与面积有关的问题例已知抛物线y＝ax2＋4x＋c(a≠0)经过点(－2，－6)，(0，－6)，与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点D.(1)求a、c的值；【思维教练】将题中所给点坐标代入求解即可．解：(1)将(－2，－6)，(0，－6)代入抛物线解析式，得

解得∴a＝2，c＝6；(2)如图①，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接PA、PD，求△PAD的面积S的最大值；例题图①【思维教练】要求△PAD面积的最大值，可将△PAD面积转化为△ODP与△OAP面积之和减去△AOD面积，根据(1)中所求a、c的值可知抛物线解析式，从而求得A、D坐标，利用三角形面积公式得到S关于P点横坐标的代数式，化为顶点式即可求得最大值．由(1)可得抛物线解析式为y＝2x2＋4x－6，令2x2＋4x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∵点A在点B左侧，∴A(－3，0)，由题意知，D(0，－6)，设点P的坐标为(p，2p2＋4p－6)，∴S＝S△ODP＋S△OAP－S△OAD＝

×6×|p|＋

×|－3|×|2p2＋4p－6|－

×3×6＝－3p2－9p＝－3(p＋

)2＋

，(2)如解图，连接OP，例题图①∵－3＜0，－3＜p＜0，∴当p＝－

时，S有最大值，最大值为

；例题图①(3)如图②，过点D作DC∥x轴交抛物线于点C，若点P为CD下方一点，过点P作PE∥y轴交AD于点E，求四边形DPCE面积的最大值及此时点P的坐标．【思维教练】要求四边形DPCE面积的最大值，先求出直线AD的解析式，利用对角线垂直的四边形的面积公式表示出四边形DPCE的面积，从而求得四边形DPCE面积的最大值及此时点P的坐标．例题图②(3)设直线AD的解析式为y＝kx＋b，由(2)知A(－3，0)，D(0，－6)，∴

解得∴直线AD的解析式为y＝－2x－6，设P(p，2p2＋4p－6)，则E(p，－2p－6)，∴PE＝(－2p－6)－(2p2＋4p－6)＝－2p2－6p，∵点C在抛物线上，且纵坐标为－6，∴C(－2，－6)，例题图②∴DC＝2，∴S四边形DPCE＝

DC·PE＝

×2×(－2p2－6p)＝－2p2－6p＝－2(p＋

)2＋

.∵－2＜0，－2＜p＜0，∴当p＝－

时，S有最大值，最大值为

，此时点P的坐标为(－

，

)．例题图②类型三与图象变化有关的问题例已知抛物线C1：y＝－x2＋bx＋c过点(1，4)，与x轴交于A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且b－c＝－1.(1)求b，c的值；【思维教练】根据题中所给信息列方程组求解即可．解：(1)将点(1，4)代入抛物线解析式并联立b－c＝－1可得，

解得∴b＝2，c＝3；(2)如图①，点P是抛物线上一个动点，其横坐标为m，平移直线BC得到直线l，设直线l与y轴的交点的纵坐标为n.①若直线l经过点P，求n关于m的函数关系式，并求n的最大值；例题图①【思维教练】根据直线BC解析式，可设出直线l解析式，联立直线l与抛物线解析式，并将所求得的函数关系式配成顶点式即可求得n的最大值．①由(1)知抛物线C1：y＝－x2＋2x＋3，∴C(0，3)，A(－1，0)，B(3，0)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴设直线l的解析式为y＝－x＋n，∵点P在抛物线上，且横坐标为m，∴点P的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，∵直线l过点P，∴－m＋n＝－m2＋2m＋3，∴n＝－m2＋3m＋3＝－(m－

)2＋

，∴n关于m的函数关系式为n＝－m2＋3m＋3，例题图①∵－1＜0，∴当m＝

时，n取得最大值，最大值为

；例题图①【思维教练】要求

的最大值，可先根据已知条件求出直线l′的解析式，联立抛物线与直线l′，结合平行线分线段成比例即可求得最值．②若直线l经过点A，点P在直线l关于x轴对称的直线l′上方，连接PB交直线l′于点N，求

的最大值；②由①可知直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴设直线l的解析式为y＝－x＋n，∵A(－1，0)，∴n＝－1，∵直线l与直线l′关于x轴对称，∴直线l′的解析式为y＝x＋1，联立解得x1＝－1，x2＝2，设点P坐标为(p，－p2＋2p＋3)，其中－1＜p＜2，例题解图①如解图①，过点P作PG∥x轴交直线l′于点G，则

＝

，∵AB长为定值，∴当PG取得最大值时，

取得最大值．令－p2＋2p＋3＝x＋1，解得x＝－p2＋2p＋2，∴点G的横坐标为－p2＋2p＋2，此时PG＝－p2＋2p＋2－p＝－p2＋p＋2＝－(p－

)2＋

，∵－1＜0，－1＜p＜2，∴当p＝

时，PG取得最大值

，此时

＝

＝

，即

的最大值为

；例题解图①(3)如图②，将抛物线C1向右平移m个单位长度得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C1的交点为P，当点P在x轴上方，且到直线BC的距离最大时，求m的值；例题图②【思维教练】根据(1)中所求b、c的值可判断出△BOC形状的特殊性，故可将点P到直线BC的距离转化为点P到过点P且平行于y轴的直线与直线BC交点的距离，利用二次函数性质求解即可．∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵PQ∥y轴，∴∠PQT＝45°，∵PT⊥BC，∴PT＝

PQ.设点P的坐标为(t，－t2＋2t＋3)，则Q(t，－t＋3)，∴PQ＝－t2＋3t＝－(t－

)2＋

，例题图②QT(3)如解图，过点P作PT⊥BC于点T，PQ∥y轴交BC于点Q，例题图②QT即当t＝

时，PT有最大值，此时点P的坐标为(

，

)．∵抛物线C2是由抛物线C1向右平移m个单位得到的，抛物线C1可变形为y＝－(x－1)2＋4，∴抛物线C2的解析式为y＝－(x－1－m)2＋4，将点P(

，

)代入C2得－(

－1－m)2＋4＝

，解得m＝1或m＝0(舍去)，∴m的值为1；(4)如图③，已知抛物线C3与抛物线C1关于原点O对称，抛物线C3与x轴交点为E、F(点E在点F的左侧)，动点P是线段AF上一点，过点P作ST⊥x轴于点P，交抛物线C1于点S，交抛物线C3于点T，求ST的最大值．例题图③【思维教练】由抛物线C3与抛物线C1关于原点O对称的关系可求出抛物线C3的解析式，设出点P的横坐标，可将ST用含点P横坐标的代数式表示，利用二次函数性质结合题中所规定取值范围求最大值即可．(4)∵抛物线C3与抛物线C1关于原点O对称，∴抛物线C3的函数解析式为y＝x2＋2x－3.令y＝x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴点F的坐标为(1，0)，设点P的坐标为(m，0)(－1≤m≤1)．∵ST⊥x轴于点P，∴S(m，－m2＋2m＋3)，T(m，m2＋2m－3)，∴ST＝(－m2＋2m＋3)－(m2＋2m－3)＝－2m2＋6.例题图③∴当m＝0时，ST取得最大值，最大值为6.类型四与新定义有关的问题例定义：对于给定的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)，任取自变量x的一个值，当x＜0时，y＝ax2＋bx＋c－(kx＋b)；当x≥0时，y＝ax2＋bx＋c＋(kx＋b)，我们称这样的函数为函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的“再生函数”．例如：二次函数y＝x2与一次函数y＝x，二次函数y＝x2的“再生函数”是y＝(1)已知二次函数y＝x2＋3x与一次函数y＝x.①求二次函数y＝x2＋3x的“再生函数”对应的函数解析式；【思维教练】分为x＜0和x≥0时两种情况并结合“再生函数”的定义求解即可．解：(1)①当x＜0时，y＝x2＋3x－x＝x2＋2x，当x≥0时，y＝x2＋3x＋x＝x2＋4x.∴二次函数y＝x2＋3x的“再生函数”对应的函数解析式为y＝②若点P(m，8)在二次函数y＝x2＋3x的“再生函数”的函数图象上，求m的值；【思维教练】将点P(m，8)代入二次函数的“再生函数”中