中考压轴题《弦图模型》

《弦图模型》破解策略.内弦图如图，在正方形ABCD中，BF±CG,CG±DH,DH±AE,AE±BF,则△ABE/^BCF/^CDG/^DAH.证明因为NABC=NBFC=90°所以NABE+NFBC=NFBC+NFCB—90°.所以NABE=NFCB.又因为AB=BC.所以△ABE/^BCF,同理可得△ABE/^BCF/^CDG/^DAH..外弦圈如图，在正方形ABCD中，点M,N,P,Q在正方形ABCD边上，且四边形MUPQ为正方形，则△QBM04MCN04NDP04PAQ.证明因为NB=NQMN=NC=90°,所以NBQM+NQMB=NQMB+NNMC=90°,所以NBQM=NNMC.又因为QM=MN,所以△QBM/^MCN.同理可得△QHM04MCN04NDP04PAQ..括展(1)如图，在Rt^ABH中.NABH=90°,BE^AH于点E.所以△ABE^^BHE^^AHB.(2)如图，在Rt^QBM和Rt^BLK中，QB=BL,QM^BK,所以△QBM^^BLK.证明因为NBLK=90°,QM±BK,所以NKBL+NQMB=NKBI十NK=90所以NQMB=NK,又因为QB=BL.所以△QBM/^BLK.例题讲解例1四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE,以CE连结BF.当点E在线段AD上时，AE为边，作正方形CEFG（点D,F连结BF.当点E在线段AD上时，AE解如图，过点F作FH，AD交AD的延长线于点H延长FH交BC的延长线于点K.因为四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据“弦图模型”可得^ECD/△FEH,所以FH=ED=AD-AE=3,EH=CD=4.因为CDHK为矩形，所以HK=CD=4,CK=DH=EH-ED=1.所以FK=FH十HK=7,BK=BC+CK=.5.所以BF=FKK2+BK2=<74例2如图，4BCD为等腰直角三角形，NCBD=90°,NBAC=45°,若S,d=4.5,求AC的长．解如图，过点B作BELAC于点E,过点D作DFLBF交EB的延长线于点F.由“外弦图模型”可得△BFD04CEB,所以BF=CE.易证AE=BE,所以AC=EF,所以S=1AC•EF=1AC2=4.5,△ACD2 2 ． ,从而AC=3.例3某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究,提出下列问题,请你给出证明．GH分别交AD,BC(1)如图1,在矩形ABCD中，EF±CH,EF分别交AB,CD于点F,GH分别交AD,BC于点G.H于点G.H求证:EF_ADGH-AB(2)如图(2)如图2,在满足(1)的条件下，又AM^BN,点M,N分别在边BC,EFCD上，若——=GH1115,BN则=AM1115,BN则=AM(3)如图3,在四边形ABCD中，ZABC=90°,AB=AD=10,BC=CD-5,AM±DN,DN点耽N分别在边BC，AB上，求AM的值.解（1））如图4.过点A作AP〃EF.交CD于点P,过点B作BQ〃GH,交AD于点Q.因为四边形ABCD是矩形.所以AB〃DC,AD〃BC.所以四边形AEFP,四边形BHGQ都是平行四边形，所以AP=EF,GH=BQ.又因为CH±EF.所以AP^BQ.所以NQAT+NAQT=90°因为四边形ABCD是矩形，所以NDAB=ND=90°,所以NDAP+NDPA=90°,所以NAQT=NDPA.所以△PDAs^QAB.所以BQ二ADAB所以BQ二ADAB所以EFGHAD

AB(2)因为EF^GH,AMXBN.所以由(1)中的结论可得gh=所以由(1)中的结论可得gh=—,EFADBNADAMAB所以空=EF=11.AMGH15(3)如图5.过点D作平行于AB的直线交过点A且平行于(3)如图5.过点D作平行于AB的直线则四边形ABSR是平行四边形.因为NABC=90°,所以四边形ABSR是矩形.所以NR=NS=90°,RS=AB=10,AR=BS.因为AM^DN.所以由(1)中的结论可得DN=AR.AMAB设SC=x,DS=y，则AR=BS=5+x.RD=10—y,所以在Rt^CSD中，X2+y2=25.在^^庆区0中.(5+x)2+(10—y)2=100.联立方程组1 12+y2=25 ,[(5+x)2+(10—y)2=102得(舍)，或得(舍)，或{1：4所以AR=5+x=8,所以DNAMAR所以DNAMAR_ =4AB10 5进阶训练1.如图，在平面直角坐标系中，经过点庆的双曲线，1.如图，在平面直角坐标系中，经过点庆的双曲线，y=-(k>0)同时经过点B.且1点A在点B的左侧，点A的横坐标为五./庆08=/08庆=45°,则卜=2.如图，巳知NABC=90°,D是直线AB上的点，AD=BC.E是直线BC上的一点，且CE=BD.直线AE，DC相交于点P，NAPD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数;若不是，请说明理由．参考答案：弦图模型1.1+，；5.【提示】过点A作AM，y轴于点M,过点B作BD，x轴于点D,直线AM,BD交于点N,则四TOC\o"1-5"\h\zk k .一边形OMND为矩形，易证△AOM/^ABN,所以AM=BN=、2,OM=AN=2,BD=刍一、「2,<2 <2OD=工+<2，所以点B（工+<2，二一互），根据双曲线表达式，有（工+<2）（（工v2 <2 *2 <2 v-2+、22)=k,解得k=1+<5.2./APD=45°,为固定值.CF