对数与对数函数

第七讲对数与对数函数A组基础巩固一、选择题1.计算：(lg4-lg25)+100—1=(D)A．1C．-10DC．-10［解析］原式=(lg2-2-lg52)X1002=3(—70X10=310-2X10=—2X10=—20做22X52选D.2.设0<a<1，则(B)A.log2a>logq〔«aC.log22.设0<a<1，则(B)A.log2a>logq〔«aC.log2a〈log/a［解析］,:0<a<1，.二0<a2<a<\2<1,.,.在A中，log2a=log.a，故A错误;B．D．logq0a>log.ralog2-Ja<log,qa在B中，log、2,a>log.;-a，故B正确;在C中,在D中,log2a>log..^a，logz'M>log.J'-故C错误;a，故D错误.3.函数歹=A.(—8,:谑匕的定义域是（C2）B．C.(2,3)U(3,+8)D．(2,+8)(2,4)U(4，+8)［解析］因为x-2>0,Jog2(x-2)W0所以x>2且xW3.4.（2021•河南郑州模拟）函数歹=3+loga（2x+3）的图象必经过定点的坐标为（A）B.(-1,4)AB.(-1,4)C.（0,3） D.（2,2）［解析］因为当x=-1时，歹=3+0=3,所以该函数的图象必经过定点（-1,3）,故选A.5.函数fx）=log1（x2—4）的单调递增区间为（D）2A.（0，＋8） B.（—8，0）C.（2，＋8） D.（—8，—2）［解析］函数y=fx）的定义域为（一8,—2）U（2,+8）,因为函数y=fx）是由y=log112

与t=g（x）=x2—4复合而成，又y=log1t在（0,+8）上单调递减，g（x）在（-8,—2）上单调递2减，所以函数y=f（x）在（一8,—2）上单调递增.选D.log。x，x>0,（2020•长沙期末）已知函数<x）={ 27且关于x的方程<x）-a=0有两个实2x,x<0,根，则实数a的取值范围为（A）A.（0,1］ B.（0,1）［0,1］ D.（0,+8）［解析］作出函数y=fx）的图象（如图），欲使y=fx）和直线y=a有两个交点，则0<a<1.37.（2021・山东烟台模拟37.（2021・山东烟台模拟）已知10ga4<1（a>0且aW1）,则实数a的取值范围可以是（D）a(o,4)B.(4,+8(1,八3 八3 一0<a<4；当a>1时，y=［解析］.loga4<1=logaa，故当0<a<1时，y=logax为减函数，3loga4<0,..a>1符合题意，综上知D正确.1x8.关于函数f（x）=ln ，下列说法不正确的是（C）1+xA.f（x）的定义域为（一1,1）B.fx）为奇函数C.fx）在定义域上是增函数D.对任意x1,x产(-1,1)，都有fxJ+fx2)=《xj+x一一… 1—x (2 1［解析］函数fx)=lnrx=ln11Tx—1J，其定义域满足（1—x）（1+x）>0,解得一1<x<1,...定义域为{x|—1<x<1}.，A对., 1+x 1—x 1—x由f—x）=ln1—x=ln〔T+xJ—1=—lnJ^=—fx），是奇函数，..B对.2函数y=1+x—1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，:fx）在定义域内是减函数，C不对.>i）+>2）=ln器+山信勺11（系荔）：D对.故选C.二、填空题3 8.（2021•河南信阳质量检测）若。4=行（。>0），则1。吩=4乙/.（2021•云南玉溪模拟次v）=（l0gl办在R上为减函数，则实数a的取值范围是2 一vqvl.[解析]=（10g]Q）x在R上为减函数，2,110<logA<2<l,即logj<log1a<10gl].2 2 2 2 ~‘一1+6xW2.若函数<x）=, '''（a>0,aWl）的值域是[4,+8）,则实数。的取值范3+log,,x>2围是__（L21.[d>\,[解析]当％<2时m%）24；又函数40的值域为[4,+8）,所以 解l<aW2.[3+log,三4,所以实数a的取值范围为（1,2].故填（1,2]..（此题为更换后新题）设a=logo5066=4o.5,c=Q）-o.6,贝tja,b,c的大小关系是C>b>«.［解析］<2=log050.6<log050.5=1,Z)=4o.5>1,c=4o.6>4o.5,c>b>a..(此题为发现的重题，更换新题见上题)设a=3o.7,b= o.8,c=log070.8,则a,b,c的大小关系是c<a<b.［解析］<2=3o.7>1,O.8=3o.8>3o.7=Q,c=log070.8<log07().7=1,c<l<a<b.三、解答题.(2021•天津一中月考)设<x)=logq(l+x)+log°(3—x)(a>。，a/D，且次D=2.(1)求a的值及4x)的定义域；

,、 ，一、 3 ,-，(2)求fx)在区间［0,'J上的最大值.［解析］(1):<1)=2,，loga4=2(a>0,aW1),a=2.11+x>0,由｛ 得xG(-1,3)，、3—x>0,...函数fx)的定义域为(一1,3).(2)fx)=log2(1+x)+log2(3―x)=log2［(1+x)(3―x)］=log2［-(x―1)2+4］,...当x£(—1,1］时，fx)是增函数，当x£(1,3)时，fx)是减函数，，「-31,一，，一故函数fx)在［0,2_|上的最大值是<1)=log24=2..已知函数fx)=logj_(x2—2ax+3).2(1)若fx)的定义域为R,求实数a的取值范围；(2)若函数fx)的值域为R,求实数a的取值范围；(3)若函数fx)在［—1,+8)内有意义，求实数a的取值范围；(4)若函数fx)的值域为(一8,—1］,求实数a的值.［解析］(1)由fx)的定义域为R,知x2-2ax+3>0的解集为R,则/=4a2—12<0,解得一用<a<\.'3.所以a的取值范围为(一\"，\").(2)函数fx)的值域为R等价于u=x2—2ax+3取(0,+8)上的一切值，所以只要umin=3—a2W00aW-v'3或a三,：3.所以实数a的取值范围是(一8,一、门］UN9+8).(3)由fx)在［一1,+8)内有意义，知u(x)=x2一2ax+3>0对x£［一1,+8)怛成立，因为y=u(x)图象的对称轴为x=a,所以当a<—1时，u(x)min=u(—1)>0,a<Ta<T,2a+4>0,解得一2<a<—1；当a三一1时，u(x)min=u(a)=3一a2>0,即一aJ3<a<\/3,所以一1Wa<寸3.综上可知，a的取值范围为(一2,-、0).(4)因为y=fx)W-1,所以u(x)=x2—2ax+3的值域为［2,+8),又u(x)=(x一a)2+3一a2三3一a2,

则有u(x)min=3—a2=2,解得a=±1.B组能力提升.(理)在同一坐标系中，fx)=kx+b与g(x)=log产的图象如图，则下列关系正确的是(D)B.k>0,b>1B.k>0,b>1c.£)gc.£)g(1)>0(x>0)D.x>1时，fx)—g(x)>0(文)函数fx)=loga(x+b)的大致图象如图，则函数g(x)=ax—b的图象可能是(D)［解析］(理)由直线方程可知，k>0,0<b<1,故A、B不正确；而g(1)=0,故C不正确；而当x>1时，g(x)<0,fx)>0,所以fx)—g(x)>0,所以D正确.、人 ［0<a<1,①(文)由图象可知0<a<1且0<f(0)<1,即<.〈I0gb<1②由②得loga1<logab<logaa，:0<a<1,...由对数函数的单调性可知a<b<1,结合①可得a,b满足的关系为0<a<b<1,由指数函数的图象和性质可知，g(x)=ax—b的图象是单调递减的，当x一十8时，g(x)一一1,且一定在直线歹=—1上方.故选D..已知函数fx)=|lnx|,若0<a<b，且fa)=fb)，则2a+b的取值范围是(B)A.(2-..；'2,+^) B.［2也，+8)C(3,+8) D.［3,+8)［解析］fx尸析x|的图象如下:因为0<a<b，且fa)=fb),所以|lna|=|lnb且0<a<1,b>1,所以一山a=lnb，所以ab=1,所以2a+b三2\：五b=2'.豆，当且仅当2a=b，即a=*,b=5时等号成立，故选B.3.(2019•北京，5分)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2—m1=|lgE，其中星等为mk的星的亮度为£仆=1,2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(A)A.1010.1 B.10.1D.10－D.10－10.1,太阳的亮度为E2,天狼星的星等为m1,天狼星的［,太阳的亮度为E2,天狼星的星等为m1,天狼星的亮度为E1亮度为E1,则由m2—m1=E，得一26.7+1.45=E2E,|lgE=一25.25,E EE，lg,=一10.1,lg#=10.1,h=1010」.故选A.E2 E1 E14.(2020•课标I,A.a>2b12,5分)若2a+log2a=44.(2020•课标I,A.a>2bB.a<2bC.a>b2 D.a<b2［解析］2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),令fx)=2x+log2x，则fa)<f(2b)，又易知fx)在(0,+8)上单调递增.所以a<2b，故选B.5.(2021•安徽蚌埠月考)已知函数fx)=log4(4x+1)+2kx(k£R)是偶函数.(1)求k的值；(2)若方程fx)=m有解，求实数m的取值范围.［解析］(1)由函数fx)是偶函数，可知fx)=f-x),所以log4(4x+1)