小学奥数三角形等高模型与鸟头模型

三角形等高模型与鸟头模型例题精讲板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积 底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的 3倍，底变为原来的1,则三角形面积与原来的一3样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:等底等高的两个三角形面积相等；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图§62@力③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图&ACD&BCD；BCDACDBCD反之，如果SwCDSed，反之，如果SwCDSed，ACDBCD等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.【例1］你有多少种方法将任意一个三角形分成： （D3个面积相等的三角形；（2）4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形.【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上.⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?AA【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米.【巩固】（2009【巩固】（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是是平方厘米.50平方厘米，则阴影部分的面积【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD,长方形ABCD的长是20,宽是12,则它内部阴影部分的面积是.BEBEC【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.12,那么阴影部【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD12,那么阴影部【例5】长方形ABCD的面积为36cni2,E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少?【例6】长方形ABCD的面积为36,E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少?【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分,分别与P点连接，求阴影部分面积.A DB C【例7】如右图，E在AD上，AD垂直BC,AD12厘米，DE3厘米.求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍?［例8］如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与VBEC等积的三角形一共有哪几个三角形？【巩固】如图，在VABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE,那么与VABE等积的三角形一共有哪几个三角形？【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对?［例9］（第四届"迎春杯”试题）如图，三角形ABC的面积为1,其中AE3AB,BD2BC,三角形BDE的面积是多少？【例10】 （2008年四中考题）如右图，ADDB,AEEFFC,已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是平方厘米.【巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，长的3EF的长是BF倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB24厘米，BC8厘米，求三角形ZCY的面积.DACDACB【巩固】如图，三角形ABC的面积是24,D、E和F分别是BC、AC和AD的中点.求三角形DEF的面积.【巩固】如图，在三角形ABC中，BC8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？【例11】如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点.如果长方形的面积是 36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位.【巩固】（97迎春杯决赛）如图，长方形ABCD的面积是1,M是AD边的中点，N在AB边上，且2ANBN.那么，阴影部分的面积是多少？DD【例12]【例12]如图，大长方形由面积是12平方厘米、

形组合而成.求阴影部分的面积.24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方【例13]【例13]如图，三角形ABC中，DC2BD,CE的面积是多少？3AE,m角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC【例14】 （2009年第七届"希望杯"二试六年级）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、m角形DCE、三角形BCD的面积分别是89,28,26.那么三角形DBE的面积是.【例15] （第四届〈〈小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是 15分米,它们的差是5分米.求梯形ABCD的面积.【例16]图中VAOB的面积为15cm2,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.【例17]如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.【例18]（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%,黄色三角形面积是21cm2.问：长方形的面积是多少平方厘米?【例19】【例19】0是长方形ABCD内一点，已知OBC的面积是5cm2,OAB的面积是2cni2,求OBD的面积是多少?【例20】【例21] 如右图，正方形ABCD【例20】【例21] 如右图，正方形ABCD的面积是20,正三角形BPC的面积是15,求阴影【巩固】如右图，正方形ABCD的面积是12,正三角形BPC的面积是5,求阴影BPD的面积.如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH,若PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？【例22】在长方形ABCD内部有一点。，形成等腰AOB的面积为16,等腰DOC的面积占长方形面积的18%,那么阴影AOC的面积是多少？ABCD中，E、F【例ABCD中，E、F分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知ADG的面积为面积恰15cm,而BCG的好是梯形ABCD面积的Z,则梯形ABCD的面积是20【例24] 如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?【例25]如图，正方形ABCD的边长为6,AE1.5,CF2.长方形EFGH的面积为【例26]如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC,如果VADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面积.【巩固】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若S.的面积..1,求^BEF△ADECX / \,e/\/B\TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"/\

J J IZ********1^ Z 1sD A F【例27】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.【例28]如图，有三个正方形的顶点 D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形 GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积.【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积.【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积.ABCDABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图【巩固】（2008年西城实验考题）如图,中阴影部分的面积为【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG,且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？A P【巩固】（人大附中考题）已知正方形ABCD边长为10,正方形BEFG边长为6,求阴影部分的面积.【例29】 （2008年”华杯赛”决赛）右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H,已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积.【例30】 （第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DFFC,并且甲、乙、丙3个三角形面积相等.已知梯形 ABCD的面积是32平方厘米.求图中阴影部分的面积.【例31]如图，已知长方形ADEF的面积16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么三角形ABC的面积是多少？A FV>cI DBE【例32]如图，在平行四边形ABCD中，BEEC,CF2FD.求阴影面积与空白面积的比.【例33] （第七届"小机灵杯”数学竞赛五年级复赛 ）如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边上的一点，且AE3EC,O为DC与BE的交点.若CEO的面积为a平方厘米，BDO的面积为b平方厘米.且ba是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是平方厘米.【例34]如图，在梯形ABCD中，AD:BE4:3,BE:EC2:3,且BOE的面积比AOD的面积小10平方厘米.梯形ABCD的面积是平方厘米.【巩固】（第五届〈〈小数报》数学竞赛初赛）如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与DC平行，AE与BD相交于O点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC-BC.求梯形ABCD的面积.【例35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中【例35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是多少？【例36】图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形.将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分（即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米？EC2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?EC2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?【例37]如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，【例38】 （2007年六年级希望杯二试试题）如图，三角形田地中有两条小路AE和CF,交叉处为D,张大伯常走这两条小路，他知道DFDC,且AD2DE.则两块地ACF和CFB的面积比是.【例39] （2008年第一届"学而思杯”综合素质测评六年级 2试）如图，BC45,AC21,ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么DIFK.【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角并1OAB、ABC【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角并1OAB、ABC、BCD、CDE、BDFKMON的两边上分别有A、 C、E及B、D、F六个点，DCFDEF的面积都等于1,则的面积等于 .【例40】E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD5,BC7,AE5,EB3.求阴影部分的面积.【例41】 （2007年人大附中分班考试题）已知ABC为等边三角形，面积为400,D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为 143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）ACAC【例42】【例42】（2009年四中入学测试题）如图,

成两部分，左边部分面积是已知CD5,DE7,EF15,FG6，线段AB将图形分38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是.AA【巩固】（第四届希望杯）如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD2厘米，DE8厘米，EF20厘米，FG4厘米，AB将整个图形分成上下两部分， 下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？【例43】是（2008【例43】是（2008年仁华考题）如图，正方形的边长为10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影部分的面积【巩固】如图，正方形的边长为 12,【巩固】如图，正方形的边长为 12,阴影部分的面积为60,那么四边形EFGH的面积是【例44】 （2008年走美六年级初赛）如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为 70,AB8,AD15,四边形EFGO的面积为.【巩固】（2008年”华杯赛”初赛）如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米.三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米.【巩固】如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米.【巩固】（2008年清华附中考题）如图，长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点，AE2ED,贝U阴影部分的面积为.B C【例45] （清华附中分班考试题）如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米？【例46】 （2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛）如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm的正方形，贝U阴影部分四边形的面积是cm.—1c—【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为 12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4cm2ci【巩固】已知正方形的边长为10,EC3,BF2,则鼐边形ABCD【例47】如图，三角形AEF的面积是17,DE、BF的长度分别为11、3.求长方形ABCD的面积.【例48】（2008【例48】（2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛BC30.E、F分别是AB、BC边上的两点，）如图，长方形ABCD中，AB67,BEBF49.那么，三角形DEF面积的最小值是.【例49】 （2007首届全国资优生思维能力测试）ABCD是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意一点，BLDM4、BKDN5,那么阴影部分的面积是.ALBALB【例50］ 如图所示，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS的面积之比.DB FDB FABCD各边的中点，FG与FHAEBABCD各边的中点，FG与FHAEB［例51］如图，四边形ABCD中，DE:EF:FC3:2:1,BG:GH:AH四边形ABCD的面积等于4,则四边形EFHG的面积.3:2:1,AD:BC1:2，已知【巩固】（2008年"希望杯"二试六年级）如图，E、F、G、H分别是四边形交于点0,S、S?,及S4分别表示四个小四边形的面积.试比较siS与SS的大小【拓展】如图，对于任意四边形ABCD,通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH,求四边形EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几？MNBC、CA的正中间分NR,当PM和RL、MNBC、CA的正中间分NR,当PM和RL、【例53]如图：已知在梯形ABCD中，上底是下底的Z,其中F是BC边上任意一点，三角形AME、

3角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12.求三角形NDE的面积.[例54]如图，已知ABCD是梯形，AD〃BC,AD:BC1:2,Saof：Sdoe1：3,SBEF24c0,求AOF的面积.【例55】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点.如果ASM、MTB与DSN的面积分别是6、7和8,且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为.【例52】 （2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛 ）有正三角形ABC,在边AB、别取点L、M、N,在边AL、BM、CN上分别取点P、Q、R,使LPMQPM和QN、QN和RL的相交点分别是X、Y、Z时，使XYXL.这时，三角形XYZ的面积是三角形ABC的面积的几分之几？请写出思考过程.DD板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角 （相等角或互补角）两夹边的乘积之比E在AC上），如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图（1）（或DE在AC上），贝USA:SA(ABAC)：(ADAE)图⑴图⑵【例56]如图在八ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB2:5,AE:AC4:7,Swde16平方厘米，求△ABC的面积.【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少？A【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BDDC4,BE3,AE6,乙部分面积是甲部分面积的几倍？AA【例57]如图在八ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD5:2,AE：EC3:2,s*12平方厘米，求△ABC的面积.【例58] 【例58] 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？2CF,三角形AFE（图中阴影部分）【例59】已知△