两点弦方程在抛物线中的应用-以2021年全国乙卷理科第21题为例

两点弦方程在抛物线中的应用——以2021年全国乙卷理科第21题为例弦是连接曲线上两点的线段，而抛物线是一种常见的曲线，在许多实际应用中都有广泛的应用。2021年全国乙卷理科第21题给出了一个应用了弦方程的抛物线问题，我们将从以下几个方面展开讨论：抛物线的基本概念与性质、弦方程的推导、题目中的具体应用，以及对这道题目的深入思考和启示。首先我们来了解一下抛物线的基本概念与性质。抛物线是由平面上一点P到一条给定的直线l的距离与P到一个定点F的距离相等而得到的轨迹，其中的定点F称为焦点，给定的直线l称为准线。抛物线的特点是对称性，即它关于准线的中点O对称。抛物线的标准方程可以表示为y^2=4ax或x^2=4ay，其中a是焦点到准线的距离。接下来我们来推导一下弦方程。设抛物线上两点A（x1，y1）和B（x2，y2），我们要求这两点所在弦的方程。我们知道，弦的斜率等于两点的坐标之差的纵坐标与横坐标之差的比值，即m=(y2-y1)/(x2-x1)。设弦的方程为y=kx+b，代入点A的坐标得到y1=kx1+b，代入点B的坐标得到y2=kx2+b。由此得出方程组：（1）y1=kx1+b（2）y2=kx2+b解方程组得到k和b的值，进而得到弦的方程。在具体的题目应用中，我们以2021年全国乙卷理科第21题为例，题目如下：已知过抛物线y=2x^2-4x+1的焦点到抛物线的准线的距离是6，过抛物线上的动点M（t^2-1，2t）作弦MN与抛物线交于点N。当动点M的位置变动时，过N点的弦所在直线的斜率的取值范围是____。首先根据题目给出的焦点到准线的距离是6，我们可以得到焦点的纵坐标是6，由此可以求得焦点是（1，6）。接下来我们求动点M所在的直线与抛物线的交点，设交点的坐标为（x，y）。由于点在抛物线上，所以满足抛物线的方程：y=2x^2-4x+1。同时，因为点在直线上，所以满足直线的方程：y=2tx-t^2+2。将这两个方程联立，即可得到交点的坐标。（注意交点的坐标也可以替换为直线方程和抛物线方程中的x和y）将直线方程的y代入抛物线方程中，得到2tx-t^2+2=2x^2-4x+1。将方程整理后，得到2x^2-(2t+4)x+t^2-2=0。这是一个关于x的二次方程，由于交点为动点M所在直线与抛物线的交点，所以此方程有两个不同的解，即有两个交点。根据二次方程的性质，方程有两个不同的解，即存在实数解的充要条件是判别式大于等于0，即(2t+4)^2-4*2*(t^2-2)>=0。将该不等式整理后得到t^2+4t-12>=0。解这个一元二次不等式，得到t>=2或t<=-6。至此，我们已经求得了动点M所在直线与抛物线的交点的横坐标的取值范围。接下来我们需要求此弦所在直线的斜率的取值范围。要求直线的斜率，我们需要知道直线上的两个点，我们已经求得了这两个点的坐标为(t^2-1，2t)和(x，y)。根据弦的斜率公式m=(y2-y1)/(x2-x1)，我们可以计算出斜率。代入上面求得的交点坐标，得到斜率公式为m=(2t-(t^2+4t-12))/(x-(t^2-1))。将斜率取值范围考虑到，我们有两种情况分别讨论。情况一：当t<=-6时，交点的横坐标的取值范围为(t^2-1)>=-6，即t<=-√5或t>=√5。此时斜率的取值范围为(-∞,∞)。情况二：当t>=2时，交点的横坐标的取值范围为(t^2-1)<=-6，即-√5<=t<=√5。此时斜率的取值范围为(-√5-2,√5+2)。综上所述，当动点M的位置变动时，过N点的弦所在直线的斜率的取值范围是(-∞,∞)并(-√5-2,√5+2)。通过解答这道题目，我们不仅了解了如何应用弦方程求解抛物线上的问题，还探讨了抛物线的基本概念与性质。我们发现，对于抛物线上弦方程的求解，实际上可以归结为求解二次方程和斜率的问题。同时，我们也可以发现，题目中的抛物线的性质与求解弦方程密切相关，我们需要充分利用抛物线的对称性和焦点的性质来求解具体的问题。这道题目的解答不仅需要对抛物线和弦方程有深入的理解，还需要善于运用对称性和二次方程的求解方法。并且题目中给出的解答步骤也反映了数学解题的一般思路，即给定条件->求解方程->分析结果。这对我们培养数学思维和解题能力有着积极的促进作用。总之，通过这道题目的解答，我们