曲线运动典型习题

1、〔2013·北京石景山一模，19题〕如下图，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位于竖直平面内。现有一小球从一水平桌面的边缘P点向右水平飞出，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入轨道。OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角为θ2。以下说法正确的选项是A．tanθ1tanθ2=2B．cotθ1tanθ2=2C．cotθ1cotθ2=2D．tanθ1cotθ2=22、〔2013·北京东城区示范校高三综合练习，5题〕长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在最高点的速度v以下说法中正确的选项是A．当v的值为时，杆对小球的弹力为零B．当v由逐渐增大，杆对小球的拉力逐渐增大C．当v由逐渐减小时，杆对小球的支持力力逐渐减小D．当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大3、如下图，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右为x轴的正方向．在圆心O正上方距盘面高为h处有一个正在间断滴水的容器，从t＝0时刻开始随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为v.容器在t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴一滴水．求：(1)每一滴水经多长时间滴落到盘面上？(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘转动的角速度ω应为多大？(3)第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的最大距离x.4、如下图，在竖直平面的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平．设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力．一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示，(坐标格为正方形，g＝10m/s2)求：(1)小球在M点的速度v1；(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；(3)小球到达N点的速度v2的大小．5、如图13所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1kg的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25。现让小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以初速度v0水平抛出，经过0.4s，小球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2，求：(1)小球水平抛出的速度v0；(2)小滑块的初速度v。图136、如下图,水平地面AB=10.0m,BCD是半径为R=0.9m的光滑半圆轨道,O是圆心,DOB在同一竖直线上.一个质量m=1.0kg的物体静止在A点.现用F=10N的水平恒力作用在物体上,使物体从静止开始做匀加速直线运动.物体与水平地面间的动摩擦因数μ=0.5.当物体运动到B点时撤去F,之后物体沿BCD轨道运动,离开最高点D后落到地上的P点(图中未画出).g取10m/s2,求:(1)物体运动到B点时的速度大小.(2)物体运动到D点时的速度大小.(3)物体落地点P与B间的距离.7、【2013•重庆市质量检测】如下图，水平传送带AB的右端与竖直面内的用光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小。传送带的运行速度为，将质量m=1.0kg的可看作质点的滑块无初速地放到传送带A端，长度为L=12.0m，“9”字全高H=0.8m，“9”字上半局部圆弧半径为R=0.2m，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.3，重力加速度g=10m／s2，试求：(1)滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间。(2)滑块滑到轨道最高点C时对轨道作用力的大小和方向。(3)假设滑块从“9”形规道D点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ=60°的斜面上P点，求P、D两点间的竖直高度h(保存两位有效数字)。8、(运动的分解法)某电视台“快乐向前冲”节目的场地设施如图5所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，水面上漂浮着一个半径为R、角速度为ω、铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为L，平台边缘与转盘平面的高度差为H.选手抓住悬挂器可以在电动机的带动下，从A点下方的平台边缘处沿水平方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动．选手必须作好判断，在适宜的位置释放，才能顺利落在转盘上．设人的质量为m(不计身高)，人与转盘间的最大静摩擦力为μmg，重力加速度为g.(1)假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度ω应限制在什么范围？(2)假设H＝5m，L＝8m，a＝2m/s2，g＝10m/s2，且选手从某处C点释放能恰好落到转盘的圆心上，那么他是从平台出发后多长时间释放悬挂器的？(3)假设电动悬挂器开动后，针对不同选手的动力与该选手重力关系皆为F＝0.6mg，悬挂器在轨道上运动时存在恒定的摩擦阻力，选手在运动到上面(2)中所述位置C点时，因恐惧没有释放悬挂器，但立即关闭了它的电动机，那么按照(2)中数据计算悬挂器载着选手还能继续向右滑行多远的距离？9、如下图，用内壁光滑的薄壁细管弯成的“S”形轨道固定于竖直平面内，其弯曲局部是由两个半径均为R的半圆平滑对接而成〔圆的半径远大于细管内径〕，轨道底端D点与粗糙的水平地面相切。现一辆玩具小车m以恒定的功率从E点开始行驶，经过一段时间t之后，出现了故障，发动机自动关闭，小车在水平地面继续运动并进入“S”形轨道，从轨道的最高点A飞出后，恰好垂直撞在固定斜面B上的C点，C点与下半圆的圆心等高。小车与地面之间的动摩擦因数为μ，ED之间的距离为x0，斜面的倾角为30º。求：〔1〕小车到达C点时的速度大小为多少?〔2〕在A点小车对轨道的压力是多少，方向如何？〔3〕小车的恒定功率是多少？10、质量为m=1kg的小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上的P点，随传送带运动到A点后水平抛出，小物块恰好无碰撞的沿圆弧切线从B点进入竖直光滑的圆孤轨道下滑。B、C为圆弧的两端点，其连线水平。圆弧半径R=1.0m圆弧对应圆心角，轨道最低点为O，A点距水平面的高度h=0.8m,小物块离开C点后恰能无碰撞的沿固定斜面向上运动，0.8s后经过D点，物块与斜面间的动摩擦因数为=(g=10m/s2,sin37=0.6,cos37°=0.8〕试求：〔1〕小物块离开A点时的水平初速度v1。〔2〕小物块经过O点时对轨道的压力。〔3〕假设小物块与传送带间的动摩擦因数为0.3，传送带的速度为5m/s，那么PA间的距离是多少？〔4〕斜面上CD间的距离。11、过山车是游乐场中常见的设施。以下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的二个圆形轨道组成，B、C分别是二个圆形轨道的最低点，半径R1=2.0m、R2=1.4m。一个质量为m=1.0kg的小球〔视为质点〕，从轨道的左侧A点以v0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s2，试求〔1〕小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；〔2〕如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；12、如下图，在圆柱形房屋天花板中心O点悬挂一根长为L的细绳，绳的下端挂一个质量为m的小球，绳能承受的最大拉力为2mg，小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球恰好以速度v2=落到墙脚边．求〔1〕绳断裂瞬间的速度v1；〔2〕圆柱形房屋的高度H和半径．13、如图半径分别为2R和R的甲、乙两光滑圆形轨道固定放置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道CD相连，曲面轨道与水平面轨道在B处光滑连接〔物块经过B点时没有机械能损失〕，现有一小物块从斜面上高h处的A点由静止释放，曲面轨道以及水平轨道BC段是光滑的，小物块与CD段以及D右侧的水平轨道间的动摩擦因数均为μ。小物块通过甲轨道最高点时与轨道间压力为物块重力的3倍，而后经过有摩擦的CD段后又进入乙轨道运动。〔1〕求初始释放物块的高度h〔2〕为防止出现小物块脱离圆形轨道乙而发生撞轨现象，那么CD段的长度应满足什么条件？1、【答案】A【解析】平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．速度与水平方向的夹角为θ1，tanθ1==．位移与竖直方向的夹角为θ2，anθ2===，那么tanθ1tanθ2=2．故A正确，B、C、D错误．【解析】在最高点，假设速度v=，杆对小球的作用力为零，当v＞，杆子表现为拉力，速度增大，向心力增大，那么杆子对小球的拉力增大,故AB正确．当v＜时，杆子表现为支持力，速度减小，向心力减小，那么杆子对小球的支持力增大,故C错误．在最高点，根据F向=m得，速度增大，向心力逐渐增大，故D正确．三、计算题3、(1)水滴在竖直方向上做自由落体运动，有h＝gt2〔2分〕解得t＝.〔2分〕(2)在一滴水的下落时间内，圆盘转过的角度应为kπ，所以角速度为〔3分〕解得：ω＝kπ〔k＝1，2，3，…〕〔3分〕(3)第二滴水落在圆盘上的水平位移为x2＝2vt＝2v.〔2分〕第三滴水落在圆盘上的水平位移为x3＝3vt＝3v.〔2分〕当第二与第三滴水在盘面上的落点位于同一直径上圆心两侧时，两点间的距离最大，那么x＝x2＋x3〔2分〕解得：x＝5v.〔2分〕4、解析(1)设正方形的边长为s0.竖直方向做竖直上抛运动，v0＝gt1,2s0＝t1水平方向做匀加速直线运动，3s0＝t1.解得v1＝6m/s.(2)由竖直方向的对称性可知，小球再经过t1到x轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到x＝12处，位置N的坐标为(12,0)．(3)到N点时竖直分速度大小为v0＝4m/s，水平分速度vx＝a水tN＝2v1＝12m/s，故v2＝＝4m/s.5、解析：(1)设小球落入凹槽时的竖直分速度为vy，那么vy＝gt＝10×0.4m/s＝4m/s，v0＝vytan37°＝3m/s(2)小球落入凹槽时的水平分位移x＝v0t＝3×0.4m＝1.2m那么小滑块的位移s＝＝1.5m小滑块的加速度大小a＝gsin37°＋μgcos37°＝8m/s2根据公式s＝vt－at2解得v＝5.35m/s答案：(1)3m/s(2)5.35m/s6、(1)10m/s(2)8m/s(3)4.8m7、【解析】〔1〕在传送带上加速运动时，由牛顿第二定律得加速到与传送带到达同速所需要的时间，位移之后滑块做匀速运动的位移所用的时间故〔2〕滑块由B到C的过程中动能定理在C点，轨道对滑块的弹力与其重力的合力为其做圆周运动提供向心力，设轨道对滑块的弹力方向竖直向下，由牛顿第二定律得，，代入数据得，方向竖直向下，由牛顿第三定律可知，滑块滑到轨道最高点C时对轨道作用力的大小为90N，，方向向上.〔3〕滑块从B到D的过程中由动能定理得在P点，又因，解得8、解析(1)设选手落在转盘边缘也不会被甩下，最大静摩擦力提供向心力，那么有μmg≥mω2R，故转盘转动的角速度应满足ω≤.(2)设选手水平加速阶段的位移为x1，时间为t1；选手平抛时的水平位移为x2，时间为t2.那么水平加速时有x1＝at.v＝at1，平抛运动阶段有x2＝vt2，H＝gt，全程水平方向x1＋x2＝L，联立以上各式代入数据解得t1＝2s.(3)由(2)知x1＝4m，v＝4m/s，且F＝0.6mg.设阻力为f，选手继续向右滑动的距离为x3，由动能定理得，加速阶段Fx－fx＝mv2减速阶段－fx3＝0－mv2联立以上两式解得x3＝2m.答案(1)ω≤(2)2s(3)2m9、解：〔1〕把C点的速度分解为水平vA和竖直的vy，有：…………〔1分〕…………〔1分〕…………〔1分〕…………〔1分〕解得：…………〔2分〕〔2〕小车在A点的速度大小…………〔1分〕因为>，对外轨有压力，轨道对小车的作用力向下…〔1分〕…………〔2分〕解得FN=mg…………〔1分〕根据作用力与反作用力，小车对轨道的压力FN=mg…………〔1分〕方向竖直向上…………〔2分〕〔3〕从D到A的过程中，机械能守恒，那么…………〔2分〕小车从E到D的过程中，…………〔2分〕解得…………〔2分〕10、〔1〕对小物块，由A到B有：在B点----1分所以-----1分〔2〕对小物块，由B到O有：-----1分其中在O点所以N=43N由牛顿第三定律知对轨道的压力为-----1分〔3〕小物块在传送带上加速过程：-----1分PA间的距离是-----1分11、解：〔1〕设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理2分①小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律2分②由①②得