非交换环的同调论

17/20非交换环的同调论第一部分非交换环的同调论基础 2第二部分链复形与同调群定义 4第三部分正合序列与长正合序列 7第四部分可解环与投影公式 9第五部分Hochschild同调与环上模 11第六部分模的Ext群与Tor群 13第七部分挠环的同调论特点 15第八部分非交换环同调的应用 17

第一部分非交换环的同调论基础关键词关键要点【非交换环的同调论基础】：

1.非交换环的定义及其性质：拓宽传统交换环的定义，允许环的乘法运算不满足交换律。讨论非交换环的一般性质，如幺元、单位元的存在性、环的理想、环的同态等。

2.模的概念及其分类：定义非交换环上的模的概念，并将其分为左模和右模。研究模的结构和性质，如生成子模、同态、直和和张量积等。

3.同调论的基础概念：引入非交换环上的同调论的基本概念，如链复形、边界算子、循环和边界、上同调群和下同调群等。研究这些概念之间的关系和性质。

【非交换环上的链复形】：

#非交换环的同调论基础

1.非交换环的模

在同调论中，模的概念是基础性的。对于非交换环，模的概念与交换环的情况有所不同。

非交换环上的模是指由环元素和模元素组成的集合，其中模元素满足某些运算律。这些运算律包括加法、数乘和模乘。

模的加法是模元素之间的运算，其结果仍然是模元素。模的数乘是指模元素与环元素之间的运算，其结果是模元素。模的模乘是指模元素与模元素之间的运算，其结果是模元素。

非交换环上的模与交换环上的模之间存在一些差异。例如，在非交换环上，模的乘法可能不是交换的。这意味着模元素的顺序可能会影响模乘的结果。

2.非交换环的同调群

非交换环的同调群是同调论中的另一个重要概念。同调群是根据模的链复形构造出来的。

模的链复形是指由模组成的序列，其中每个模都与前一个模和后一个模之间存在映射。这些映射称为链映射。

同调群是模的链复形的商群。商群是指两个群之间的差群。同调群可以用来研究模的拓扑性质。

3.非交换环的同伦论

非交换环的同伦论是同调论的一个分支，它研究模的同伦群。同伦群是根据模的链复形构造出来的。

模的链复形的同伦群是指两个模的链复形之间的同态映射的集合。同态映射是指两个群之间的保序映射。

模的链复形的同伦群可以用来研究模的代数性质。

4.非交换环的科氏同调论

非交换环的科氏同调论是同调论的一个分支，它研究模的科氏同调群。科氏同调群是根据模的链复形构造出来的。

模的链复形的科氏同调群是指两个模的链复形之间的科氏同态映射的集合。科氏同态映射是指两个群之间的保序映射，使得映射的核和像都满足某些条件。

模的链复形的科氏同调群可以用来研究模的代数性质。

5.非交换环的局部化同调论

非交换环的局部化同调论是同调论的一个分支，它研究模的局部化同调群。局部化同调群是根据模的链复形的局部化构造出来的。

模的链复形的局部化是指模的链复形中的每个模都乘以一个可逆元素。可逆元素是指一个元素的逆元素也存在于环中。

模的链复形的局部化同调群是指两个模的链复形的局部化之间的同态映射的集合。同态映射是指两个群之间的保序映射。

模的链复形的局部化同调群可以用来研究模的代数性质。第二部分链复形与同调群定义关键词关键要点链复形

1.定义：链复形是一个由一组阿贝尔群和一组同态映射组成的数学结构。每个阿贝尔群被称为一个链群，每个同态映射被称为一个边界映射。链复形的目的是捕获一个拓扑空间的基本同伦信息。

2.同调群：链复形的同调群是一个由链复形的边界群组成的阿贝尔群。同调群可以用来研究一个拓扑空间的拓扑性质，如连通性、紧凑性和单连通性等。

3.计算同调群：计算同调群的方法有很多种，其中最常见的方法是使用正交分解定理。正交分解定理指出，任何一个链复形都可以唯一地分解成一组正交子复形之和。因此，一个链复形的同调群可以表示为其正交子复形的同调群之和。

同调群定义

1.定义：同调群是一个由链复形的边界群组成的阿贝尔群。同调群可以用来研究一个拓扑空间的拓扑性质，如连通性、紧凑性和单连通性等。

2.计算同调群：计算同调群的方法有很多种，其中最常见的方法是使用正交分解定理。正交分解定理指出，任何一个链复形都可以唯一地分解成一组正交子复形之和。因此，一个链复形的同调群可以表示为其正交子复形的同调群之和。

3.同调群的应用：同调群在拓扑学和代数拓扑学中有着广泛的应用。例如，同调群可以用来证明庞加莱猜想、研究流形拓扑性质以及计算示性数等。链复形与同调群定义

在非交换环的同调论中，链复形和同调群是两个基本概念。链复形是一个代数结构，由一组模和一系列同态映射组成。同调群是链复形的同伦不变量，描述了链复形的拓扑性质。

#链复形

设$R$是一个环，$M_i$是$R$-模的序列。若存在一系列$R$-模同态

满足

则称$(M_*,\partial_*)$为一个链复形。记为

链复形的元素称为链，同态映射称为边界算子。边界算子的零核称为自旋链，边界算子的像称为边界链。

#同调群

设$(M_*,\partial_*)$是一个链复形。定义$i$阶同调群为

同调群是链复形的拓扑不变量，即如果两个链复形同伦等价，那么它们的同调群是同构的。

#链复形的同态映射

设$(M_*,\partial_*)$和$(N_*,\partial_*)$是两个链复形，$f_i:M_i\rightarrowN_i$是一系列$R$-模同态。如果

则称$(f_*,\partial_*)$是一个链复形的同态映射。记为

链复形的同态映射诱导同调群的同态映射。

#链复形的同伦等价

设$(M_*,\partial_*)$和$(N_*,\partial_*)$是两个链复形。如果存在一系列链复形的同态映射

以及一系列链复形的同态映射

使得

（恒同映射）

则称$(M_*,\partial_*)$和$(N_*,\partial_*)$是同伦等价的。

同伦等价的链复形具有相同的同调群。

#例子

考虑一个闭合曲面上的CW复形。我们将曲面分解成一系列多边形，并为每个多边形赋予一个方向。然后，我们可以构造一个链复形，其中$i$阶链群由$i$维单元的带方向的线性组合组成，而边界算子是将一个单元映射到其边界上的单元的和。这个链复形的同调群称为曲面的同调群。

同调群是一个非常有用的工具，它被广泛应用于代数拓扑学、几何拓扑学和同伦论等领域。第三部分正合序列与长正合序列关键词关键要点正合序列

1.正合序列是指一个正合链复形的同调群之间的同态序列。

2.正合序列通常由一个边界的同调群开始，然后经过一系列同态映射连接到另一个边界的同调群。

3.正合序列可以用来计算链复形的同调群，也可以用来证明一些重要的同调定理。

长正合序列

1.长正合序列是指一个链复形的同调群和边界同调群之间的正合序列。

2.长正合序列可以用来计算链复形的同调群，也可以用来证明一些重要的同调定理。

3.长正合序列是同调论中一个非常重要的工具，它在许多领域都有应用。#《非交换环的同调论》里介绍的正合序列与长正合序列

1.正合序列

正合序列是一个数学概念，用于描述一个序列中元素之间的关系。在同调论中，正合序列是一个重要的工具，用于研究拓扑空间的同调群。

2.定义

3.性质

正合序列具有以下性质：

2)如果\(0\rightarrowM\rightarrowN\rightarrowP\rightarrow0\)和\(0\rightarrowN\rightarrowP\rightarrowQ\rightarrow0\)是两个正合序列，则\(0\rightarrowM\rightarrowN\oplusP\rightarrowQ\rightarrow0\)也是一个正合序列。

3)如果\(0\rightarrowM\rightarrowN\rightarrowP\rightarrow0\)是一个正合序列，则\(0\rightarrowM\otimesA\rightarrowN\otimesA\rightarrowP\otimesA\rightarrow0\)也是一个正合序列，其中\(A\)是任何\(R\)-模。

4.长正合序列

长正合序列是正合序列在同调论中的一个重要应用。它可以用来计算拓扑空间的同调群。

5.定义

设\(X\)是一个拓扑空间，\(C_*(X)\)是其奇异链复形。则存在一个长正合序列：

其中\(\partial_*\)是奇异链复形的边界算子，\(i_*\)是从奇异链复形的同调群到拓扑空间的同调群的自然同态。

6.性质

长正合序列具有以下性质：

1)如果\(X\)是一个单连通空间，则\(H_n(C_*(X))\congH_n(X)\)对于所有\(n\geq1\)。

2)如果\(X\)是一个CW复形，则长正合序列可以分解为一系列短正合序列。

3)长正合序列可以用来计算拓扑空间的同调群。第四部分可解环与投影公式关键词关键要点【同调论】：

1.同调论是代数拓扑学中的一个基本理论，旨在研究拓扑空间的基本性质，例如连通性和闭合性。

2.同调论在非交换环的理论中得到了广泛应用，例如在研究非交换环的K-理论和L-理论等。

3.同调论在非交换环中遇到的主要困难是如何定义复杂的定义。

【投影公式】：

[同调代数]非交换环的同调论[可解环与投影公式]

1.可解环的定义

给定一个环\(R\)，若存在一个环列

$$R=R_0\supseteqR_1\supseteq\cdots\supseteqR_n=0$$

2.投影公式

令\(R\)是一个环，\(M\)是一个\(R\)-模。若\(P\)是\(R\)的一个投影，则存在一个短正合序列

其中，\(\alpha(m)=(m,m)\)，\(\beta(m,n)=(m-n)\)。

投影公式指出，对于可解环\(R\)和\(R\)-模\(M\)，存在一个从\(M\)到\(PM\)的满同态，它的核与\(M\)的同调群相关。

3.投影公式的证明

投影公式的证明需要用到归纳法。

基情形：\(n=0\)。此时，\(R\)是交换环，投影公式显然成立。

现在，考虑短正合序列

应用蛇引理，得到一个从\(M\)到\(RM\)的满同态，它的核与\(M\)的同调群相关。

再考虑短正合序列

应用蛇引理，得到一个从\(M/P\)到\(PM\)的满同态，它的核与\(M\)的同调群相关。

综合以上结果，得到一个从\(M\)到\(PM\)的满同态，它的核与\(M\)的同调群相关。这证明了投影公式对\(n+1\)成立。

因此，投影公式对所有\(n\)成立。

4.投影公式的应用

投影公式在同调论中有着广泛的应用。例如，它可以用来计算可解环上的同调群，研究可解环上的模的同调性质，以及研究同调环的结构等。

投影公式也是同调论中许多重要定理的基础。例如，豪斯希尔德-萨利文定理、布朗-杜马斯定理、拜尔-波维尔定理等都依赖于投影公式。第五部分Hochschild同调与环上模关键词关键要点Hochschild同调的定义

1.Hochschild同调是将模的概念推广到非交换环上的一个代数工具，也称非交换环的Hochschild同调。

2.Hochschild同调的构造是基于这样的事实：交换环上的模可以看作是该环上的双边理想的商环，因此可以通过考虑非交换环上的双边理想的商环来定义Hochschild同调。

3.Hochschild同调可以用来研究非交换环的表示论、同调论和K-理论等方面的问题。

Hochschild同调的计算

1.Hochschild同调的计算可以通过构造一个称为Hochschild链复形的链复形的同调来进行。

2.Hochschild链复形是基于环上的双边理想的商环构造的，其同调就是Hochschild同调。

3.Hochschild同调的计算可以使用各种代数方法，例如谱序列法、消元法和同伦理论等。

Hochschild同调的应用

1.Hochschild同调在同调论、K-理论和表示论等领域都有着广泛的应用。

2.Hochschild同调可以用来研究非交换环的表示论，例如，可以用来计算非交换环的格罗滕迪克群。

3.Hochschild同调还可以用来研究非交换环的同调论，例如，可以用来计算非交换环的同调群。

Hochschild同调与模

1.模的概念在交换环上有着重要的意义，它可以用来研究交换环的表示论、同调论和K-理论等方面的问题。

2.Hochschild同调是将模的概念推广到非交换环上的一个代数工具，它可以用来研究非交换环的表示论、同调论和K-理论等方面的问题。

3.Hochschild同调与模之间有着密切的关系，例如，Hochschild同调可以用来计算模的Ext群。

Hochschild同调的最新进展

1.近年来，Hochschild同调的研究取得了很大的进展，其中一个重要的进展是将Hochschild同调推广到了更一般的代数结构上，例如群和李代数等。

2.另一个重要的进展是将Hochschild同调与其他代数工具联系起来，例如范畴论和拓扑学等。

3.这些进展使得Hochschild同调成为一个更加强大的代数工具，并为解决非交换环的表示论、同调论和K-理论等方面的问题提供了新的途径。

Hochschild同调的未来发展

1.Hochschild同调的研究在未来还将继续发展，其中一个重要的方向是将Hochschild同调推广到更一般的代数结构上，例如群和李代数等。

2.另一个重要的方向是将Hochschild同调与其他代数工具联系起来，例如范畴论和拓扑学等。

3.这些进展将使得Hochschild同调成为一个更加强大的代数工具，并为解决非交换环的表示论、同调论和K-理论等方面的问题提供新的途径。#Hochschild同调与环上模

1.基本概念与构造

设\(R\)为一个环，\(M\)为一个左\(R\)-模，\(R\)-模范畴记为\(_R-Mod\)。Hochschild同调\(HH_n(R,M)\)是一个链复形的同调，链复形由以下项组成：

其中\(r_1,\ldots,r_n\inR\)。

2.Hochschild同调的性质

Hochschild同调具有如下性质：

*\(HH_n(R,M)\)是一个左\(R\)-模。

*\(HH_n(R,M)\)是对\(R\)-模的正合函子。

*\(HH_0(R,M)=M\)。

*\(HH_n(R,R)=0\)若且唯若\(R\)为交换环。

3.Hochschild同调的应用

Hochschild同调在环论和代数几何中都有广泛的应用。例如，它可以用来研究环的同调论、环上的模的结构、以及环上的代数簇的性质。

4.环上模的Hochschild同调

设\(R\)为一个环，\(M\)为一个左\(R\)-模。则\(M\)的Hochschild同调\(HH_n(R,M)\)是一个链复形的同调，链复形由以下项组成：

其中\(r_1,\ldots,r_n\inR\)。

5.环上模的Hochschild同调的性质

环上模的Hochschild同调具有如下性质：

*\(HH_n(R,M)\)是一个左\(R\)-模。

*\(HH_n(R,M)\)是对\(R\)-模的正合函子。

*\(HH_0(R,M)=M\)。

*\(HH_n(R,R)=0\)若且唯若\(R\)为交换环。

6.环上模的Hochschild同调的应用

环上模的Hochschild同调在环论和代数几何中都有广泛的应用。例如，它可以用来研究环上模的结构、以及环上的代数簇的性质。第六部分模的Ext群与Tor群关键词关键要点【模的Ext群与Tor群】:

1.Ext群和Tor群是两个相关的同调论工具，用于研究非交换环的同调性质。

2.Ext群是两个A模M和N之间的导函子，而Tor群是两个A模M和N之间的附加函子。

3.Ext群和Tor群可以用各种方法计算，包括谱序列方法、交换代数方法和拓扑方法。

【模的Ext群】

同调论中的模的Ext群与Tor群

在非交换环与模的同调论中，Ext群和Tor群是两个重要的同调不变量，用于研究模的同调性质和Ext群的结构。

Ext群

Ext群是导出函子Ext(M,N)的右导出函子，其中M和N是R模。Ext(M,N)的元素由M和N的扩展组成。一个扩展是M和N的短正合序列0→M→E→N→0。Ext(M,N)的元素由同伦类给出，其中同伦是两个扩展之间的同态，在意义上保持短正合序列。

Ext群有许多重要的性质。首先，Ext群是阿贝尔群。其次，Ext群与Hom群之间存在一个自然同构：Ext^1(M,N)≈Hom(Ext(M,R),N)。第三，Ext群具有长正合序列，这是将Ext群与Hom群和Tor群联系起來的重要工具。

Tor群

Tor群是导出函子Tor_R(M,N)的右导出函子，其中M和N是R模。Tor_R(M,N)的元素由M和N的张量积组成。一个张量积是M和N的张量积T(M,N)。Tor_R(M,N)的元素由同伦类给出，其中同伦是两个张量积之间的同态，在意义上保持张量积的结构。

Tor群有许多重要的性质。首先，Tor群是阿贝尔群。其次，Tor群与Hom群之间存在一个自然同构：Tor_1^R(M,N)≈Hom(M,Tor(R,N))。第三，Tor群具有长正合序列，这是将Tor群与Hom群和Ext群联系起來的重要工具。

模的Ext群与Tor群的关系

Ext群与Tor群在同调论中的应用

Ext群和Tor群在同调论中有许多重要的应用。例如，Ext群和Tor群可以用来计算模的同调群，Ext群和Tor群可以用来研究模的结构，Ext群和Tor群可以用来研究环的同调性质。第七部分挠环的同调论特点关键词关键要点【挠环的同调论特点】：

1.挠环同调论中，环的挠性对同调群有很大影响。

2.挠环的同调群比交换环的同调群更为复杂，并且挠环的同调群可能不是自由群。

3.挠环的同调论中引入了挠同调群的概念，挠同调群可以用来研究挠环的代数结构和几何性质。

【挠环同调论中的挠同调群】：

挠环的同调论特点

挠环的同调论与交换环的同调论有很多相似之处，但也有很多不同之处。挠环的同调论的特点主要体现在以下几个方面：

#1.挠环上没有经典同调论

在交换环上，同调论可以建立在一个非常经典的基础上，即链复形的概念。链复形是一个由一组模和一组链映射组成的结构，它可以用来计算同调群。然而，在挠环上，经典的链复形概念无法直接使用，因为挠环上没有乘法。因此，挠环上的同调论需要使用一些新的工具和方法。

#2.挠环上的同调论与范畴论密切相关

挠环上的同调论与范畴论有着密切的关系。挠环可以被看作是一个范畴，在这个范畴中，对象是挠环上的模，态射是从一个模到另一个模的同态映射。挠环上的同调论可以使用范畴论中的工具和方法来研究，这使得挠环上的同调论具有很强的抽象性和一般性。

#3.挠环上的同调论与代数几何密切相关

挠环上的同调论与代数几何有着密切的关系。代数几何中的许多重要问题都可以用挠环上的同调论来研究。例如，代数曲线的同调论可以用挠环上的同调论来研究。挠环上的同调论也与代数簇的同调论密切相关。

#4.挠环上的同调论有广泛的应用

挠环上的同调论有广泛的应用，其中包括：

*代数几何中的应用：挠环上的同调论可以用来研究代数曲线的同调论和代数簇的同调论。

*数论中的应用：挠环上的同调论可以用来研究数论中的许多问题，例如，素数的分布问题和黎曼猜想。

*表示论中的应用：挠环上的同调论可以用来研究表示论中的许多问题，例如，表示的可约性问题和表示的分解问题。

*拓扑学中的应用：挠环上的同调论可以用来研究拓扑学中的许多问题，例如，同伦论和同调论。

#5.挠环上的同调论是一个活跃的研究领域

挠环上的同调论是一个活跃的研究领域，目前仍在不断发展之中。挠环上的同调论有很多重要的问题还没有得到解决，例如，挠环上的同调论的分类问题和挠环上的同调论的稳定性问题。挠环上的同调论的研究对于代数几何、数论、表示论和拓扑学等领域的发展都有着重要的意义。第八部分非交换环同调的应用关键词关键要点非交换环同调与K-理论

1.非交换环同调的K-理论应用。

2.K-理论与代数拓扑学的关系。

3.K-理论与数论的应用。

非交换环同调与同伦论

1.非交换环同调的同伦论应用。

2.同伦论与代数拓扑学的关系。

3.同伦论与数论的应用。

非交换环同调与代数几何学

1.非交换环同调的代数几何学应用。

2.代数几何学与代数拓扑学的关系。

3.代数几何学与数论的应用。

非交换环同调与表示论

1.非交换环同调的表示论应用。

2.表示论与代数拓扑学的关系。

3.表示论与数论的应用。

非交换环同调与算子代数

1.非交换环同调的算子代数应用。

2.算子代数与代数拓扑学的关系。

3.算子代数与数论的应用。

非交换环同调与量子场论

1.非交换环同调的量子场论应用。

2.量子场论与代数拓扑学的关系。

3.量子场论与数论的应用。#非交换环同调的应用

非交换环同调在数学的许多分支中都有着广泛的应用，包括代数几何、代数拓扑、数论和表示论等。下面列出了一些非交换环同调的应用示例：

1.层上同调

非交换环同调被用来研究层上同调，