八上期末复习《一次函数》压轴题含答案

...wd......wd......wd...一次函数综合题选讲及练习例1．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．〔1〕当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式；〔2〕在〔1〕的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，假设AM=，求BN的长；〔3〕当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜测PB的长是否为定值假设是，请求出其值；假设不是，说明理由．变式练习：1．：如图1，一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=﹣x的图象交于点C，点C的横坐标为﹣3．〔1〕求点B的坐标；〔2〕假设点Q为直线OC上一点，且S△QAC=3S△AOC，求点Q的坐标；〔3〕如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD=∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．①在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；〔保存作图痕迹，不得在图2中作无关元素．〕②求点P的坐标．例2．如图1，一次函数y=﹣x+6分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC交x轴负半轴与点C，且OC=OB．〔1〕求直线BC的函数表达式；〔2〕如图2，假设△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠AFC=∠ABC；〔3〕在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形假设存在，请直接写出P点的坐标；假设不存在，请说明理由．变式练习：2．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上〔点P不与点A、C重合〕，满足∠BPQ=∠BAO．〔1〕点A坐标是，BC=．〔2〕当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．〔3〕当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．课后作业：1．，如图直线y=2x+3与直线y=﹣2x﹣1相交于C点，并且与两坐标轴分别交于A、B两点．〔1〕求两直线与y轴交点A，B的坐标及交点C的坐标；〔2〕求△ABC的面积．2．如图①，直线y=﹣x+1分别与坐标轴交于A，B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB〔1〕求直线AC的解析式；〔2〕如图②，在x轴上取一点D〔1，0〕，过D作DE⊥AB交y轴于E，求E点坐标．3．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C〔0，4〕，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．〔1〕求A、B两点的坐标；〔2〕当M在x轴正半轴移动并靠近0点时，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；当M在O点时，△COM的面积若何当M在x轴负半轴上移动时，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；请写出每个关系式中t的取值范围；〔3〕当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．参考答案：例1．【考点】一次函数综合题．【分析】〔1〕当y=0时，x=﹣5；当x=0时，y=5m，得出A〔﹣5，0〕，B〔0，5m〕，由OA=OB，解得：m=1，即可得出直线L的解析式；〔2〕由勾股定理得出OM的长，由AAS证明△AMO≌△ONB，得出BN=OM，即可求出BN的长；〔3〕作EK⊥y轴于K点，由AAS证得△ABO≌△BEK，得出对应边相等OA=BK，EK=OB，得出EK=BF，再由AAS证明△PBF≌△PKE，得出PK=PB，即可得出结果．【解答】解：〔1〕∵对于直线L：y=mx+5m，当y=0时，x=﹣5，当x=0时，y=5m，∴A〔﹣5，0〕，B〔0，5m〕，∵OA=OB，∴5m=5，解得：m=1，∴直线L的解析式为：y=x+5；〔2〕∵OA=5，AM=，∴由勾股定理得：OM==，∵∠AOM+∠AOB+∠BON=180°，∠AOB=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，∵∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BON=∠OAM，在△AMO和△OBN中，，∴△AMO≌△ONB〔AAS〕∴BN=OM=；〔3〕PB的长是定值，定值为；理由如下：作EK⊥y轴于K点，如以以下图：∵点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，∴AB=BE，∠ABE=90°，BO=BF，∠OBF=90°，∴∠ABO+∠EBK=90°，∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠EBK=∠OAB，在△ABO和△BEK中，，∴△ABO≌△BEK〔AAS〕，∴OA=BK，EK=OB，∴EK=BF，在△PBF和△PKE中，，∴△PBF≌△PKE〔AAS〕，∴PK=PB，∴PB=BK=OA=×5=．【点评】此题是一次函数综合题目，考察了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；此题综合性强，难度较大，特别是〔3〕中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果．变式练习：1．【考点】一次函数综合题．【分析】〔1〕把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，那么易求点B的坐标；〔2〕由S△QAC=3S△AOC得到点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的3倍或点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍；〔3〕①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．利用△CAO∽△DAC，求出AD的长，进而求出D点坐标，再用待定系数法求出CD解析式，利用点到直线的距离公式求出公式，=，解出a的值即可．【解答】解：〔1〕把x=﹣3代入y=﹣x得到：y=2．那么C〔﹣3，2〕．将其代入y=mx+5m，得：2=﹣3m+5m，解得m=1．那么该直线方程为：y=x+5．令x=0，那么y=5，即B〔0，5〕；〔2〕由〔1〕知，C〔﹣3，2〕．如图1，设Q〔a，﹣a〕．∵S△QAC=3S△AOC，∴S△QAO=4S△AOC，或S△QAO=2S△AOC，①当S△QAO=4S△AOC时，OA•yQ=4×OA•yC，∴yQ=4yC，即|﹣a|=4×2=8，解得a=﹣12〔正值舍去〕，∴Q〔﹣12，8〕；②当S△QAO=2S△AOC时，OA•yQ=2×OA•yC，∴yQ=2yC，即|﹣a|=2×2=4，解得a=6〔舍去负值〕，∴Q′〔6，﹣4〕；综上所述，Q〔﹣12，8〕或〔6，﹣4〕．〔3〕①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．∵C〔﹣3，2〕，A〔﹣5，0〕，∴AC==2，∵∠ACD=∠AOC，∠CAO=∠DAC，∴△CAO∽△DAC，∴=，∴AD=，∴OD=5﹣=，那么D〔﹣，0〕．设CD解析式为y=kx+b，把C〔﹣3，2〕，D〔﹣，0〕分别代入解析式得，解得，函数解析式为y=5x+17，设P点坐标为〔a，0〕，根据点到直线的距离公式，=，两边平方得，〔5a+17〕2=2×4a2，解得a=﹣5±2，∴P1〔﹣5﹣2，0〕，P2〔﹣5+2，0〕．【点评】此题考察了一次函数综合题，涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识，综合性较强，值得关注．法二：例2．【考点】一次函数综合题．【分析】〔1〕根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；〔2〕根据角平分线的性质，可得∠FCA=∠BCA，∠FAE=∠BAE，根据三角形外角的关系，可得∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA，根据等式的性质，可得答案；〔3〕根据等腰三角形的定义，分类讨论：AB=AP=10，AB=BP=10，BP=AP，根据线段的和差，可得AB=AP=10时P点坐标，根据线段垂直平分线的性质，可得AB=BP=10时P点坐标；根据两点间的距离公式，可得BP=AP时P点坐标．【解答】解：〔1〕当x=0时，y=6，即B〔0，6〕，当y=0时，﹣x+6=0，解得x﹣8，即A〔8，0〕；由OC=OB，得OC=3，即C〔﹣3，0〕；设BC的函数解析式为，y=kx+b，图象过点B、C，得，解得，直线BC的函数表达式y=2x+6；〔2〕证明：∵∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，∴∠FCA=∠BCA，∠FAE=∠BAE．∵∠BAE是△ABC的外角，∠FAE是△FAC的外角，∴∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA．∴∠ABC+∠BCA=∠F+∠BCA，∠ABC=∠F；〔3〕当AB=AP=10时，8﹣10=﹣2，P1〔﹣2，0〕，8+10=18，P2〔18，0〕；当AB=BP=10时，AO=PO=8，即P3〔﹣8，0〕；设P〔a，0〕，当BP=AP时，平方，得BP2=AP2，即〔8﹣a〕2=a2+62化简，得16a=28，解得a=，P4〔，0〕，综上所述：P1〔﹣2，0〕，P2〔18，0〕，P3〔﹣8，0〕；P4〔，0〕．【点评】此题考察了一次函数综合题，〔1〕利用了函数值与自变量的关系求出A、B、C的值又利用了待定系数法求函数解析式；〔2〕利用了角平分线的性质，三角形外角的性质，〔3〕利用了等腰三角形的定义，分类讨论是解题关键．变式练习：2．【考点】一次函数综合题。【分析】〔1〕把x=0和y=0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可．〔2〕求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根据点的坐标求出AP=BC，根据全等三角形的判定推出即可．〔3〕分为三种情况：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根据〔2〕即可推出①，根据三角形外角性质即可判断②，根据勾股定理得出方程，即可求出③．【解答】解：〔1〕∵y=x+6，∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=﹣8，即A的坐标是〔﹣8，0〕，B的坐标是〔0，6〕，∵C点与A点关于y轴对称，∴C的坐标是〔8，0〕，∴OA=8，OC=8，OB=6，由勾股定理得：BC==10，故答案为：〔﹣8，0〕，10．〔2〕当P的坐标是〔2，0〕时，△APQ≌△CBP，理由是：∵OA=8，P〔2，0〕，∴AP=8+2=10=BC，∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，∴∠AQP=∠BPC，∵A和C关于y轴对称，∴∠BAO=∠BCP，在△APQ和△CBP中，，∴△APQ≌△CBP〔AAS〕，∴当P的坐标是〔2，0〕时，△APQ≌△CBP．〔3〕分为三种情况：①当PB=PQ时，∵由〔2〕知，△APQ≌△CBP，∴PB=PQ，即此时P的坐标是〔2，0〕；②当BQ=BP时，那么∠BPQ=∠BQP，∵∠BAO=∠BPQ，∴∠BAO=∠BQP，而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴此种情况不存在；③当QB=QP时，那么∠BPQ=∠QBP=∠BAO，即BP=AP，设此时P的坐标是〔x，0〕，∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2=OP2+OB2，∴〔x+8〕2=x2+62，解得：x=﹣，即此时P的坐标是〔﹣，0〕．∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是〔2，0〕或〔﹣，0〕．【点评】此题考察了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性对比强，难度偏大．课后作业：1．解：〔1〕当x=0时，y=2x+3=3，那么A〔0，3〕；当x=0时，y=﹣2x﹣1=﹣1，那么B〔0，﹣1〕；解方程组得，那么C点坐标为〔﹣1，1〕；〔2〕△ABC的面积=×〔3+1〕×1=2．2．解：〔1〕y=﹣x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=2，那么点A的坐标为〔2，0〕，点B的坐标为〔0，1〕，∵在y轴的负半轴上截取OC=OB，∴点C的坐标为〔0，﹣1〕，设直线AC的解析式为y=kx+b，把点A〔2，0〕，C〔0，﹣1〕代入得：解得：∴y=x﹣1．〔2〕由直线AB的解析式为y=﹣x+1，DE⊥AB，设直线DE的解析式为y=x+b，把D〔1，0〕代入得：b=0，解得：b=﹣，∴直线DE的解析式为y=x﹣，当x=0时，y=﹣，∴点E的坐标为〔0，﹣〕．3．解：〔1〕假