概率论与数理统计总结

概率论与数理统计总结3、分布函数与概率的关系4、离散型随机变量的分布函数(1)0–1分布(2)二项分布泊松定理有(3)泊松分布=（5）几何分布则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数，2、分布函数的性质：（1）连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。（2）对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数a的概率均为零，即P{X=a}=0。3、常见随机变量的分布函数(1)均匀分布(2)指数分布(3)正态分布N(,2)N(0,1)—标准正态分布2、连续型随机变量函数的分布：（1）分布函数法；（2）设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数g(x)处处可导且恒有g(x)>0(或恒有g(x)<0)，则Y=g(X)的概率密度为其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，二维连续型随机变量（1）联合分布函数为函数f(x,y)称为二维向量(X,Y)的(联合)概率密度.其中：，（2）基本二维连续型随机向量分布均匀分布：二维正态分布：3、离散型边缘分布律：连续型边缘概率密度F(x，y)=Fx(x)FY(y)则称随机变量X和Y是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件设(X，Y)是连续型随机变量，f(x，y)，fx(x)，fY(y)分别为(X，Y)的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的充要条件是等式f(x，y)=fx(x)fY(y)

对f(x，y)，fx(x)，fY(y)的所有连续点成立.五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律：（3）条件分布函数：2、连续型随机变量的条件分布（1）条件分布函数（2）条件概率密度在Y=y条件下X的条件概率密度同理X=x条件下X的条件概率密度六、多维随机函数的分布1、离散型随机变量函数分布：二项分布：设X和Y独立,分别服从二项分布b(n1,p),和b(n2,p)，则Z=X+Y的分布律：Z～b(n1+n2,p).泊松分布：若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,则Z=X+Y服从参数为的泊松分布。2、连续型随机变量函数分布：（1）Z=X+Y或若X和Y相互独立时，正态分布的特点：a设X,Y相互独立且XN(μ1，σ12)，YN(μ2，σ22经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布,且有ZN(μ1+μ2，σ12+σ22).b若XN(µ,σ2)，则c若XN(µ,σ2)，则（2）M=max(X,Y)N=min(X,Y)的分布设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为Fx(x)和FY(y)M=max(X,Y)：N=min(X,Y)：(2)几种常见分布的数学期望i.X服从参数为p的(0,1)分布：E(X)=0×(1-p)+1×p=pii.若Xb(n,p),则E(X)=npiii.若Xπ(λ)，则E(X)=λ2、连续型随机变量的数学期望(1)定义：(2)几个常见连续型随机变量的数学期望i.若XU(a,b),则E(X)=(a+b)/2ii.若XN(µ,σ2)，则E(X)=μiii.若X服从指数分布，则E(X)=1/3、函数Y=g(X)的数学期望(1)离散型：离散型变量X的概率分布为若无穷级数绝对收敛，则。(2)连续型：连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若广义积分绝对收敛，则。4、数学期望的性质：iC为常数,则有E(C)=C；ii设X是一个随机变量，C常数，则有E(CX)=CE(X)；iii设X，Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况:iv设X，Y是相互独立的随机变量，则有:E(XY)=E(X)E(Y)这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况二、方差1、定义：设X是一个随机变量，若存在，则称为X方差，记为D(X)或Var(X).称它的平方根为标准差，记作(X)2、计算方法：(1)用定义：离散型：连续型：(2)用公式：3、方差的性质(1)设C是常数，则D(C)=0；(2)设X是随机变量，a是常数，则D(aX)=a2D(X),从而D(aX+b)=a2D(X)；(3)设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D(XY)=D(X)+D(Y)；(4)对任意常数C,D(X)E(X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立(5)D(X)=0则P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)4、常见分布的方差(1)(0-1)分布，其分布律为P{X=0}=1-p，P{X=1}=p,则D(X)=p(1-p)(2)二项分布Xb(n,p),，其分布律为则E(X)=np,D(X)=npq(3)泊松分布X(),其分布律为则E(X)=,D(X)=(4)均匀分布X在区间(a，b)均匀分布E(X)=(a+b)/2，(5)正态分布XN(µ,σ2)，E(X)=μ，D(X)=σ2.5、契比雪夫不等式：设随机变量X的期望和方差都存在，且E(X)=μ,D(X)=σ2，则对任意的ε>0,有6、矩的概念：(1)设X和Y是随机变量，若存在，称为k阶原点矩，简称k阶矩。(2)若存在，称为k阶中心矩。(3)若存在，称为k+l阶混合矩。(4)若存在，称为k+l阶混合中心矩。7、标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称为X的标准化随机变量，显然，三、协方差和相关系数1、协方差(1)定义：E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X，Y)，即Cov(X，Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。离散型：连续型：(2)关系公式:i协方差与方差的关系：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)ii协方差与数学期望的关系：Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)iii若X，Y独立，则Cov(X，Y)=0,但反之不成立。(3)协方差的性质Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)2、相关系数(1)定义：若Cov(X，Y)存在，并且D(X)、D(Y)存在且不为零，则称为随机变量X与Y的相关系数。(2)性质：i|ρXY|≦1ii|ρXY|=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1.3、利用相关系数计算协方差4、不相关：若X与Y的相关系数ρXY=0，则称X与Y不相关。假设随机变量X，Y的相关系数ρXY存在，当X与Y相互独立时,ρXY=0,即X与Y不相关，反之若X与Y不相关，X与Y却不一定相互独立。5、协方差矩阵i定义：对于n维随机向量(X1,X2,…,Xn),把向量(X1,X2,…,Xn)用列向量形式表示并记为X，即若依概率收敛于零，即对任意ε>0，有则称随机变量序列{Xn}服从（弱）大数定律。2、几个常见的大数定理：定理1（契比雪夫大数定律）设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，且有常数C，使得即D(Xi)≤C，i=1,2,…，则{Xn}服从大数定律。即对任意ε>0，有推论（契比雪夫大数定律的特殊情况）设X1,X2,…Xn，…独立同分布，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,则对任给>0,定理2贝努利大数定律(贝努利定理)设nA是n重贝努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε>0，有贝努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小。二、中心极限定理定理1（独立同分布下的中心极限定理/Levy-Lindberg）设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=