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概率论与数理统计习题及答案第3章习题详解-1-习题三1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:XXY01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:XXY0123000102P(0黑,2红,2白)=03.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=求二维随机变量(X,Y)在长方形域内的概率.【解】如图题3图说明:也可先求出密度函数,再求概率。4.设随机变量(X,Y)的分布密度f(x,y)=求:(1)常数A;(2)随机变量(X,Y)的分布函数;(3)P{0≤X<1,0≤Y<2}.【解】(1)由得A=12(2)由定义,有(3)5.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=(1)确定常数k;(2)求P{X<1,Y<3};(3)求P{X<1.5};(4)求P{X+Y≤4}.【解】(1)由性质有故(2)(3)(4)题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的密度函数为fY(y)=求:(1)X与Y的联合分布密度;(2)P{Y≤X}.题6图【解】(1)因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为而所以(2)7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=求(X,Y)的联合分布密度.【解】8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求边缘概率密度.【解】题8图题9图9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求边缘概率密度.【解】题10图10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=(1)试确定常数c;(2)求边缘概率密度.【解】(1)得.(2)11.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).题11图【解】所以12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.(1)求X与Y的联合概率分布;(2)X与Y是否相互独立?【解】(1)X与Y的联合分布律如下表YYX345120300(2)因故X与Y不独立13.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03(1)求关于X和关于Y的边缘分布;(2)X与Y是否相互独立?【解】(1)X和Y的边缘分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为fY(y)=(1)求X和Y的联合概率密度;(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.【解】(1)因故题14图(2)方程有实根的条件是故X2≥Y,从而方程有实根的概率为:15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X和Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为f(x)=求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数(1)当z≤0时,(2)当0<z<1时,(这时当x=1000时,y=)(如图a)题15图(3)当z≥1时,(这时当y=103时,x=103z)(如图b)即故16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),则Xi~N(160,202),从而17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…,P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,….证明随机变量Z=X+Y的分布律为P{Z=i}=,i=0,1,2,….【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数,所以于是18.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布.【证明】方法一:X+Y可能取值为0,1,2,…,2n.方法二:设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…,μn′均服从两点分布(参数为p),则X=μ1+μ2+…+μn,Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以,X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布.19.设随机变量(X,Y)的分布律为XXY012345012300.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05(1)求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0};(2)求V=max(X,Y)的分布律;(3)求U=min(X,Y)的分布律;(4)求W=X+Y的分布律.【解】(1)(2)所以V的分布律为V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3)于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)类似上述过程,有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点(X,Y)在屏幕上服从均匀分布.(1)求P{Y>0|Y>X};(2)设M=max{X,Y},求P{M>0}.题20图【解】因(X,Y)的联合概率密度为(1)(2)21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,求(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少?题21图【解】区域D的面积为(X,Y)的联合密度函数为(X,Y)关于X的边缘密度函数为所以22.设随机变量X和Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.XYXYy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因,故从而而X与Y独立,故,从而即:又即从而同理又,故.同理从而故YYX123.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立,以Y表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.(2)Z的概率分布;(3)P{X=Z}.解(1)由概率分布的性质知,a+b+c+0.6=1
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