高考数学二轮复习 专题十三 选考部分 第2讲 坐标系与参数方程专题强化训练 理-人教版高三数学试题

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题十三选考部分第2讲坐标系与参数方程专题强化训练理(时间：45分钟满分：60分)1．已知直线l的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝4t＋a，))(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝4eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).(1)将圆C的极坐标方程化为普通方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为eq\r(2)，求实数a的值．解：(1)由ρ＝4eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))得ρ＝4cosθ－4sinθ.即ρ2＝4ρcosθ－4ρsinθ.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))得x2＋y2－4x＋4y＝0，得(x－2)2＋(y＋2)2＝8，所以圆C的普通方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝8.(2)直线l的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝4t＋a))可化为y＝2x＋a，则由圆的半径为2eq\r(2)知，圆心(2，－2)到直线y＝2x＋a的距离恰好为eq\r(2).所以eq\f(|6＋a|,\r(5))＝eq\r(2)，解得a＝－6±eq\r(10).2.已知P为半圆C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ,y＝sinθ))(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1，0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧eq\o(AP,\s\up8(︵))的长度均为eq\f(π,3).(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．解：(1)由已知，M点的极角为eq\f(π,3)，且M点的极径等于eq\f(π,3)，故点M的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,3))).(2)M点的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3)π,6)))，A(1，0)，故直线AM的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－1))t，,y＝\f(\r(3)π,6)t.))(t为参数)3．已知直线l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝4和圆C：ρ＝2kcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.(1)求圆心C的直角坐标；(2)求实数k的值．解：(1)∵ρ＝eq\r(2)kcosθ－eq\r(2)ksinθ，∴ρ2＝eq\r(2)kρcosθ－eq\r(2)kρsinθ，∴圆C的普通方程为x2＋y2－eq\r(2)kx＋eq\r(2)ky＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)k))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(2),2)k))eq\s\up12(2)＝k2，∴圆心C的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)k，－\f(\r(2),2)k)).(2)∵ρsinθ·eq\f(\r(2),2)－ρcosθ·eq\f(\r(2),2)＝4，∴直线l的直角坐标方程为x－y＋4eq\r(2)＝0.∴eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)k＋\f(\r(2),2)k＋4\r(2))),\r(2))－|k|＝2.即|k＋4|＝2＋|k|，两边平方，得|k|＝2k＋3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＞0，,k＝2k＋3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＜0，,－k＝2k＋3，))解得k＝－1.4．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2)))，圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ,y＝－\r(3)＋2sinθ))(θ为参数)．(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，(0，eq\f(2\r(3),3))．又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝eq\f(\r(3),3)x.(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3))).所以直线l的平面直角坐标方程为eq\r(3)x＋3y－2eq\r(3)＝0.又圆C的圆心坐标为(2，－eq\r(3))，半径r＝2，圆心到直线l的距离d＝eq\f(|2\r(3)－3\r(3)－2\r(3)|,\r(3＋9))＝eq\f(3,2)＜r，故直线l与圆C相交．5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα,y＝1＋sinα))(α为参数)．以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)求曲线C1上的点到曲线C2上点的最远距离．解：(1)将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα,y＝1＋sinα))(α为参数)化为普通方程得x2＋(y－1)2＝1.将ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0化为直角坐标方程得x－y＋1＝0.(2)由(1)知曲线C1表示圆心为(0，1)，半径为1的圆，直线C2表示直线x－y＋1＝0，并且过圆心(0，1)，所以曲线C1上的点到直线C2上点的最远距离等于圆的半径1.6．已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t,y＝\f(\r(3),2)t＋1))(t为参数)，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosθ,y＝sinθ))(θ为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3)))，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值．解：(1)将点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3)))化为直角坐标，得P(2，2eq\r(3))，直线l的直角坐标方程为y＝eq\r(3)x＋1，显然点P不满足直线l的方程，所以点P不在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q(2＋cosθ，sinθ)，点Q到直线l：y＝eq\r(3)x＋1的距离为d＝eq\f(|2\r(3)＋\r(3)cosθ－sinθ＋1|,\r(3＋1))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＋2\r(3)＋1)),2)，所以当sineq\b\lc\(\rc\)(\a