高考数学二轮复习 专题四 导数及其应用 第1讲 导数的几何意义、利用导数研究函数的性质考题溯源变式 理-人教版高三数学试题

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题四导数及其应用第1讲导数的几何意义、利用导数研究函数的性质考题溯源教材变式理真题示例对应教材题材评说(经典考题)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m).(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)>0.(选修2－2P32B组T1(3)(4))利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：(3)ex>1＋x，x≠0；(4)lnx<x<ex，x>0.静态向动态转化是命题的有效途径，让数学问题更具生命力.[教材变式训练]一、选择题[变式1](选修2－2P31练习(3)改编)若方程x3－12x＋m＝0有且仅有两相异实根，则实数m的值为()A．16 B．－16C．±16 D．±2解析：选C.依题意知函数f(x)＝x3－12x＋m有两个不同零点，由f′(x)＝3x2－12＝0知x1＝－2，x2＝2，且x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，x∈(－2，2)时，f′(x)<0，x∈(2，＋∞)时f′(x)>0，∴f(x)极大值＝f(－2)＝16＋m，f(x)极小值＝f(2)＝－16＋m，∴当(16＋m)(m－16)＝0，即m＝±16，f(x)有两个不同零点．[变式2](选修2－2P18A组T6改编)曲线y＝xex－1在点(1，1)处的切线方程为()A．2ex－y＋1－2e＝0 B．ex－y＋1－e＝0C．2x－y－1＝0 D．x－y＝0解析：选C.∵y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，∴y′|x＝1＝2，又y|x＝1＝1.∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.[变式3](选修2－2P60A组T1改编)曲线y＝cosx与直线x＝－eq\f(π,3)，x＝eq\f(π,3)，y＝0所围成的封闭图形的面积为()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)解析：选D.∵y＝cosx在[－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)]上是偶函数．∴由定积分几何意义知所求面积S＝2∫eq\A\AC(\s\up6(\f(π,3),0))cosxdx＝2sinxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\s\up6(\f(π,3)),0))＝eq\r(3).[变式4](选修2－2P16思考改编)曲线y＝ln(x＋a)的一条切线方程为x－y＋1＝0，则实数a的值为()A．1 B．2C．－1 D．－2解析：选B.设切点为P(x0，y0)，由y′＝eq\f(1,x＋a)知y′|EQ\S\DO4(x＝x0)＝eq\f(1,x0＋a)＝1，∴x0＝1－a，y0＝ln(x0＋a)＝0，∴切线方程为y＝x－(1－a)与x－y＋1＝0对比知a－1＝1，∴a＝2.[变式5]曲线y＝eq\f(1,\r(x))在x＝a处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为18，则实数a的值为()A．8 B．16C．32 D．64解析：选D.∵y′＝－eq\f(1,2)xEQ\S\UP4(－eq\f(3,2))知y′|x＝a＝－eq\f(1,2)aEQ\S\UP4(－eq\f(3,2))，∴切线方程为y－eq\f(1,\r(a))＝－eq\f(1,2)aEQ\S\UP4(－eq\f(3,2))(x－a)，令x＝0得y＝eq\f(3,2\r(a))，令y＝0得x＝3a，∴切线与坐标轴的交点为A(3a，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2\r(a))))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2\r(a))＝eq\f(9,4)eq\r(a)＝18，∴eq\r(a)＝8，a＝64.[变式6]定义在R上的函数f(x)满足f(－1)＝2，若函数f(x)图象上任一点处的切线斜率均大于2，则不等式f(x)>2x＋4的解集为()A．{x|－1<x<1} B．{x|x>－1}C．{x|x<－1} D．{x|x>1}解析：选B.依题意知f(－1)＝2，f′(x)>2，令g(x)＝f(x)－2x－4，则g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)在R上为增函数，∴不等式f(x)>2x＋4⇔f(x)－2x－4>0⇔g(x)>g(－1)，∴x>－1，∴不等式f(x)>2x＋4的解集为{x|x>－1}．二、填空题[变式7](选修2－2P56例1、必修2P144B组T3改编)设区域Q＝{(x，y)||x|＋|y|≤2}，区域A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）∈Q\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x2,y2≤x))))))，在Q内任取一点P，则P点落在区域A内的概率为________．解析：如图，区域Q即为图中正方形BCDE内部(含边界)的点集，其面积为8，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2,y2＝x))解得两曲线交点为F(1，1)，则区域A表示图中的两曲线y2＝x与y＝x2所围成的区域内部(含边界)的点集，其面积为S＝eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up6(\f(3,2))－\f(1,3)x3))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)，∴P点落在区域A内的概率为eq\f(\f(1,3),8)＝eq\f(1,24).答案：eq\f(1,24)[变式8](选修2－2P60B组T1(2)改编)eq\i\in(0,2,)eq\r(－x2＋2x)dx＝________．解析：令y＝f(x)＝eq\r(－x2＋2x)，则y≥0且(x－1)2＋y2＝1，∴f(x)的图象是以(1，0)为圆心，半径R＝1的圆在x轴及其上方的半圆．由定积分的几何意义知eq\i\in(0,2,)eq\r(－x2＋2x)dx＝eq\f(1,2)πR2＝eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)[变式9](选修2－2P32B组T1(4)改编)已知P为函数y＝lnx的图象上任意一点，Q为函数y＝ex的图象上任意一点，则|PQ|的最小值为________．解析：∵y＝lnx和y＝ex互为反函数，∴它们的图象关于直线y＝x对称，∴当点P处和点Q处的切线都与直线y＝x平行时，|PQ|最小，设P(x0，y0)，则y′＝eq\f(1,x)，y′|eq\s\do4(x＝x0)＝1，即x0＝1，y0＝0，∴P(1，0)到直线y＝x的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴|PQ|min＝2d＝eq\r(2).答案：eq\r(2)[变式10](选修2－2P37A组T2(2)改编)将一边长为a的正方形铁片四角截去四个相同的小正方形做成无盖方盒，则无盖方盒的容积的最大值为________．解析：设截去的小正方形的边长为x，则V(x)＝(a－2x)2x，(0<x<eq\f(a,2))即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，V′(x)＝12x2－8ax＋a2＝(2x－a)(6x－a)．令V′(x)＝0，x＝eq\f(a,6)，V′(x)>0，0<x<eq\f(a,6)，V′(x)<0，eq\f(a,6)<x<eq\f(a,2).∴V(x)在(0，eq\f(a,6))上单调递增，在(eq\f(a,6)，eq\f(a,2))上单调递减，∴V(x)max＝V(eq\f(a,6))＝(a－2×eq\f(a,6))2·eq\f(a,6)＝eq\f(2,27)a3.答案：eq\f(2,27)a3三、解答题[变式11](选修2－2P32B组T1(4)改编)设f(x)＝eq\f(lnx,x)－x，(1)求f(x)的最大值；(2)求证：当x>0时，e2x>ex＋x.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)－1＝eq\f(1－x2－lnx,x2)(x>0)，显然f′(1)＝0，当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴当x＝1时，f(x)有极大值也是最大值为f(x)max＝f(1)＝－1.(2)证明：法一：令g(x)＝e2x－ex－x，则g′(x)＝2e2x－ex－1＝(2ex＋1)(ex－1)，∵当x>0时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴当x>0时有g(x)>g(0)，而g(0)＝0，∴g(x)>0，即e2x>ex＋x成立．法二：由(1)知f(x)＝eq\f(lnx,x)－x≤－1，即eq\f(lnx,x)≤x－1，以ex代替x得eq\f(x,ex)<ex－1，即x<e2x－ex，即e2x>ex＋x成立．[变式12](选修2－2P31练习(1)(3)改编)已知函数f(x)＝－x3＋ax＋2在x＝0处的切线在x轴上的截距为－eq\f(2,3)，g(x)＝6x2＋12x＋m.(1)求实数a的值；(2)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)有且仅有一个交点，求m的取值范围．解：(1)f′(x)＝－3x2＋a，k＝f′(0)＝a，又f(0)＝2，∴f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝ax，即ax－y＋2＝0，依题意切线ax－y＋2＝0过点(－eq\f(2,3)，0)，∴－eq\f(2,3)a＋2＝0，即a＝3.(2)由(1)知f(x)＝－x3＋3x＋2，令h(x)＝f(x)－g(x)＝－x3－6x2－9x＋2－m，则h′(x)＝－3x2－12x－9＝－3(x2＋4x＋3)＝－3(x＋1)(x＋3)，由h′(x)>0解得－3<x<－1，由h′(x)<0解得x<－3或x>－1，