高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 课时达标检测（五十九）直接证明与间接证明、数学归纳法 理-人教版高三数学试题

课时达标检测（五十九）直接证明与间接证明、数学归纳法[小题对点练——点点落实]对点练(一)直接证明1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a，b为正实数，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，则A，B，C的大小关系为()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A解析：选A因为eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是单调减函数，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，即A≤B≤C.2．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，bA．c≥b>a B．a>c≥bC．c>b>a D．a>c>b解析：选A∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.∵1＋a2－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴1＋a2>a.∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a，故选A.3．(2018·山西大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：选C要证eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a，只需证b2－ac<3a2，即证(a＋c)2－ac<3a2，即证2a2－ac－c2>0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证[2a－(a＋b)](a－c)>0，即证(a－b)(a－c)>0，故索的因应是(a－b)(a－c)>0.4．已知a，b∈R，m＝eq\f(6a,36a＋1＋1)，n＝eq\f(1,3)b2－b＋eq\f(5,6)，则下列结论正确的是()A．m≤n B．m≥nC．m>n D．m<n解析：选Am＝eq\f(6a,36a＋1＋1)＝eq\f(6a,62a＋2＋1)＝eq\f(1,626a＋6－a)≤eq\f(1,2\r(62))＝eq\f(1,12)，n＝eq\f(1,3)b2－b＋eq\f(5,6)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,2)))2＋eq\f(1,12)≥eq\f(1,12)，所以n≥m，故选A.5．设a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，则a，b，c的大小关系为________．答案：a>c>b6．已知点An(n，an)为函数y＝eq\r(x2＋1)图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析：由条件得cn＝an－bn＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)，∴cn随n的增大而减小．∴cn＋1<cn.答案：cn>cn＋1对点练(二)间接证明1．用反证法证明命题：“若a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”的假设为()A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全都为正数C．a，b，c，d全都为非负数D．a，b，c，d中至多有一个负数解析：选C用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定是“a，b，c，d全都为非负数”．2．用反证法证明“若△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则B<eq\f(π,2)”时，应假设()A．B>eq\f(π,2) B．B＝eq\f(π,2)C．B≥eq\f(π,2) D．B≤eq\f(π,2)答案：C3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A反证法中否定结论需全否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”．对点练(三)数学归纳法1．用数学归纳法证明2n＞2n＋1，n的第一个取值应是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n＋1不成立；n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立；n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n＋1成立．∴n的第一个取值应是3.2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是()A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立解析：选D当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立．3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为______________．解析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2[大题综合练——迁移贯通]1．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,2n－1).求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N*)，则2·eq\f(1,2q)＝eq\f(1,2p)＋eq\f(1,2r)，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因为p<q<r，且p，q，r∈N*，所以r－q，r－p∈N*.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．2．在数列{an}与{bn}中，a1＝1，b1＝4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn＋1－(n＋3)Sn＝0,2an＋1为bn与bn＋1的等比中项，n∈N*.(1)求a2，b2的值；(2)求数列{an}与{bn}的通项公式．解：(1)由题设有a1＋a2－4a1＝0，a1＝1，解得a2又4aeq\o\al(2,2)＝b2b1，b1＝4，解得b2＝9.(2)由题设nSn＋1－(n＋3)Sn＝0，a1＝1，b1＝4，及a2＝3，b2＝9，进一步可得a3＝6，b3＝16，a4＝10，b4＝25，猜想an＝eq\f(nn＋1,2)，bn＝(n＋1)2，n∈N*.先证an＝eq\f(nn＋1,2)，n∈N*.当n＝1时，a1＝eq\f(1×1＋1,2)＝1，等式成立．当n≥2时，用数学归纳法证明如下：(ⅰ)当n＝2时，a2＝eq\f(2×2＋1,2)＝3，等式成立．(ⅱ)假设当n＝k时等式成立，即ak＝eq\f(kk＋1,2)，k≥2.由题设，kSk＋1＝(k＋3)Sk，①(k－1)Sk＝(k＋2)Sk－1.②①的两边分别减去②的两边，整理得kak＋1＝(k＋2)ak；从而ak＋1＝eq\f(k＋2,k)ak＝eq\f(k＋2,k)·eq\f(kk＋1,2)＝eq\f(k＋1[k＋1＋1],2).这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．根据(ⅰ)和(ⅱ)可知，等式an＝eq\f(nn＋1,2)对任何的n≥2成立．综上所述，等式an＝eq\f(nn＋1,2)对任何的n∈N*都成立．再用数学归纳法证明bn＝(n＋1)2，n∈N*.(a)当n＝1时，b1＝(1＋1)2＝4，等式成立．(b)假设当n＝k时等式成立，即bk＝(k＋1)2，那么bk＋1＝eq\f(4a\o\al(2,k＋1),bk)＝eq\f(k＋12k＋22,k＋12)＝[(k＋1)＋1]2.这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．根据(a)和(b)可知，等式bn＝(n＋1)2对任何的n∈N*都成立．3．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝eq\r(x)(x∈[0,1])是不是理想函数．解：(1)证明：取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，∴f(0)≥0，于是f(0)＝0.(2)对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数．对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝2x1x2≥0，即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数．对于f(x)＝eq\r(x)，x∈[0,1]，显然满足条件①②.对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x