构造函数法在导数中的巧妙应用

构造函数法在抽象不等式中的巧妙应用构造函数是解决抽象不等式的根本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的根本运算法那么，相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答.本文从一到高考试题出发，追根溯源，研究并揭示高考试题的本质.1小荷才露尖尖角真题设函数是奇函数的导函数，，当时，，那么使得成立的取值范围〔〕.A.B.C.D.解析：设，那么.因为时，，所以,即当时，单调递减.又因为为奇函数，且，所以为偶函数，且,那么当时，单调递增.当时，，.当时，，.所以成立的取值范围，即答案为A..上述题为2015年课标全国Ⅱ选择题第12题，创新有难度，丰富有内涵.此其题外表看上，不知道如何入手，解决问题.因为这是一道没有具体函数表达式的不等式试题，且不等式中含有和，更是难上加难.从试题的解析可以看出，巧妙地构造出了函数，通过分析的单调性和奇偶性，解答问题.解题突破口不易寻找，给人一种“旧时茅店社林边,路转溪桥忽见”的感觉.对题的解析过程进行回忆，此题是如何构造出，从而给出极其巧妙的解答.为了寻求问题的本质，这里对以下例题进行分析.2千树万树梨花开例1函数的图像关于轴对称，且当时，成立，假设，，，那么的大小关系〔〕A.B.C.D.解析：设，那么.因为时，，所以,那么当时，单调递减.又因为函数的图像关于轴对称，所以为奇函数，当时，单调递减.又因为，，，那么，即答案为A.例2函数满足：，那么系列不等式成立的是〔〕A.B.C.D.解析：设，那么.因为，所以,那么在定义域上单调递增，所以,那么，即答案为A.例3为定义在上的可导函数，且对于恒成立且为自然对数的底，那么〔〕A.B.C.D.解析：设，那么.由，得，那么,在定义域上单调递减，所以,即答案为A.例4定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，那么〔〕A.B.C.D.解析：因为，所以，.由，得设，那么，可得,那么在定义域上单调递减，所以,那么，即答案为A.评注：爱因斯坦赞叹：“数学美，本质上终究是简单性”.那又如何构造出函数，将问题简单化，这在数学上是一个值得深究的问题.仔细的观察和思考例1和例2的解法，它们有一个共同点：采用导数的积运算法那么，即.例3和例4的解法，它们也有一个共同点：采用导数的商运算法那么，即.由此可见，对于含有和的不等式，将不等式的右边化0，假设左边是和相加得形式，其中和常见的变量或常量.此时用导数的积运算法那么；假设左边是和相减得形式，此时用导数的商运算法那么.当然，这只是做题的起初思想，但是要做出试题，还远远不行，而问题的关键在构造函数.波利亚：“观察可能导致发现，观察将揭示某种规那么、模式或定律.”根据我们所学习的知识，通过观察，认识数学的本质特点，灵活的运用所学知识和技巧进行求解，从而将抽象复杂的问题转化为具体简单的问题，使解法顺利的完成。以下给出例1至例4的方法技巧例1中，，根据导数的积运算法那么得(箭头指向方向为函数的导函数，后面不做说明)+<0可以看出的导数为，的导数为1，从而构造出函数.例2中，，根据导数的积运算法那么得+<0可以看出的导数为，2的导数为1，显然不成立.那么不等式两边定约去了一个不为0的变量.函数和本身的导函数有相同的变量，那么猜测到函数.但这里还要考虑系数1和2，进一步猜测到复合函数.给上述不等式两边同乘以，那么+<0从而构造出函数.例3中，，根据导数的商运算法那么得可以看出的导数为，的导数为，且分母为，从而构造出函数.例4中，可得且，根据导数的商运算法那么得可以看出的导数为，的导数为，且分母为，从而构造出.对于以上4个例题的不等式可以总结为和.这里有所疑问，当不等式的右边不是0时，那上述的构造函数方法显然不适用.下面给出一道试题进行研究.3青山座座皆巍峨例6是定义在上的函数，其导函数为.假设，，那么不等式的解集.分析：数学变式题的给出，都离开最初的原题.借助例1至例6构造函数的方法，找出函数与本身导函数的关系.并根据，从而可以解答试题.因为，所以.这里把看做一个整体，再由例4知，设，那么，得，那么在上为单调递增.因为，，所以的解集.实践说明，对于含有和抽象函数的不等式，问题的本质在于巧妙地构造出原函数，这是解决问题的最有力的武器.在