高考数学大二轮复习 能力升级练（六）解三角形 理-人教版高三数学试题

能力升级练(六)解三角形一、选择题1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=()A.π6 B.π3 C.2π解析在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理,得cos∠BAC=b2+c2-a22bc=9+25-答案C2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,则b=(A.2 B.3 C.2 D.3解析由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×23,解得b=3,或b=-13答案D3.已知△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若A=π3,b=2acosB,c=1,则△ABC的面积等于(A.32 B.34 C.36解析由正弦定理得sinB=2sinAcosB,故tanB=2sinA=2sinπ3=3,又B∈(0,π),所以B=π3,则△ABC是正三角形,所以S△ABC=12答案B4.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是()A.等边三角形 B.不含60°的等腰三角形C.钝角三角形 D.直角三角形解析sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA·sinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=1,则有A+B=π2,故三角形为直角三角形答案D5.(2019广东深圳模拟)一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为()A.4003m B.400C.20033m D.解析如图所示.在Rt△ACD中可得CD=20033=BE,在△ABE中,由正弦定理得ABsin30°=BEsin60°,则AB=答案A6.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,BA.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形解析因为cos2B2=a+c2c,所以2cos2B2-1=a+cc-1,所以cosB=所以△ABC为直角三角形.答案B7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为()A.33 B.233 C.解析由bsinC+csinB=4asinBsinC及正弦定理,得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,易知sinBsinC≠0,∴sinA=12又b2+c2-a2=8,∴cosA=b2则cosA>0.∴cosA=32,即4bc=3∴△ABC的面积S=12bcsinA=1答案B8.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()A.102海里 B.103海里 C.203海里 D.202海里解析如图所示,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理,得BCsin30°=ABsin45°答案A9.(2019山东济宁模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=π3,3sin2CcosC=2sinAsinBA.2 B.3 C.4 D.6解析在△ABC中,A=π3,b=∴a2=b2+c2-2bccosA,即a2=36+c2-6c,①又3sin2CcosC=2sinAsinB,∴即cosC=3c22ab=a2+b2-由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.答案C二、填空题10.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为米.

解析连接OC,由题意知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60°.在△COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos60°,即OC=507.答案50711.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,且A-C=90°,则cosB=.

解析∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∴2sinB=sinA+sinC.∵A-C=90°,∴2sinB=sin(90°+C)+sinC,∴2sinB=cosC+sinC,∴2sinB=2sin(C+45°).①∵A+B+C=180°且A-C=90°,∴C=45°-B2,代入①式中,2sinB=2sin90∴2sinB=2cosB2∴4sinB2cosB2=2cosB2∴cosB=1-2sin2B2=1-1答案312.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB=.

解析在△ACD中,由余弦定理可得cosC=49+9-252×7×3=在△ABC中,由正弦定理可得ABsin则AB=ACsin答案513.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若sinAsinB=5c2b,sinB=74,S解析由sinAsinB=5c2b由S△ABC=12acsinB=574,sinB=74,得1联立①②,得a=5,c=2.由sinB=74且B为锐角,得cosB=34,由余弦定理,得b2=25+4-2×5×2×34=14,答案14三、解答题14.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10000m,速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为多少米?(取2≈1.4,3≈1.7)解如图,作CD垂直于线段AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).又在△ABC中,BCsin所以BC=2100012×sin15°=10500(6因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC=10500(6-2)×22=10500(≈7350(m).故山顶的海拔高度为10000-7350=2650(m).15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-ab-2b2=0.(1)若B=π6,求A,C(2)若C=2π3,c=14,求S△ABC解(1)由已知B=π6,a2-ab-2b2=0结合正弦定理,得sin2A-sinAsinπ6-2sin2π6=0,化简整理,得2sin2A-sinA-于是sinA=1或sinA=-12(舍)因为0<A<π,所以A=π2又A