极坐标及参数方程知识点及高考题汇编

极坐标及参数方程知识点及例题一、极坐标知识点1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.2．点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.3.极坐标与直角坐标的互化：(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式4.曲线的极坐标方程：1．直线的极坐标方程：假设直线过点，且极轴到此直线的角为，那么它的方程为：几个特殊位置的直线的极坐标方程〔1〕直线过极点〔2〕直线过点且垂直于极轴〔3〕直线过且平行于极轴方程：〔1〕或写成及〔2〕〔3〕ρsinθ=b2．圆的极坐标方程：假设圆心为，半径为r的圆方程为：几个特殊位置的圆的极坐标方程〔1〕当圆心位于极点，r为半径〔2〕当圆心位于(a>0),a为半径〔3〕当圆心位于，a为半径方程：(1)(2)(3)5.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.极坐标方程典型例题考点一极坐标与直角坐标的互化1.点的直角坐标是，那么点的极坐标为〔〕A．B．C．D．2.点的极坐标为。3.点P的直角坐标为(－eq\r(2)，eq\r(2))，那么它的极坐标可表示为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,4)))〔2012宁夏〕圆C：，那么圆心C的极坐标为_______答案：〔〕5.把点的极坐标化为直角坐标。6.曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解：将ρ=，sinθ=代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.∴应选B.7.在极坐标系〔与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴〕中，圆C的方程为。求圆C的直角坐标方程；8.假设曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，那么该曲线的直角坐标方程为________．解析∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ.∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.9.化极坐标方程为直角坐标方程为〔〕A．B．C．D．10.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是()A.直线 B.圆 C.双曲线D.抛物线11.极坐标方程表示的曲线为〔〕A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆12.极坐标ρ=cos()表示的曲线是()A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆解：原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sinθ)=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.应选D.13.圆的圆心坐标是〔〕A．B．C．D．14.〔江西15〕曲线C的直角坐标方程为x2＋y2-2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，那么曲线C的极坐标方程为___________。A.B.C.D.A.B.C.D.4.点的极坐标是，那么过点且垂直极轴的直线方程是〔〕。5.点的极坐标是，那么过点且平行极轴的直线方程是〔〕。7.〔佛山市2013届高三上学期期末〕在极坐标系中，直线过点且与直线〔〕垂直，那么直线极坐标方程为．答案：〔或、〕8.在极坐标系中，经过点且垂直于〔为极点〕的直线的极坐标方程是9.(2011·广州测试(二))设点A的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，直线l过点A且与极轴所成的角为eq\f(π,3)，那么直线l的极坐标方程为________________．[审题视点]先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程．【解析】∵点A的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，∴点A的平面直角坐标为(eq\r(3)，1)，又∵直线l过点A且与极轴所成的角为eq\f(π,3)，∴直线l的方程为y－1＝(x－eq\r(3))taneq\f(π,3)，即eq\r(3)x－y－2＝0，∴直线l的极坐标方程为eq\r(3)ρcosθ－ρsinθ－2＝0，可整理为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1或ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝1或ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(4π,3)))＝1.答案ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1或eq\r(3)ρcosθ－ρsinθ－2＝0或ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝1或ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(4π,3)))＝1.10.在极坐标中，求两点之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。11.极点到直线的距离是_____________。解析：直线；点到直线的距离是12.在极坐标系中，点到直线l：的距离为.13.直线的极坐标方程为，那么点〔0,0〕到这条直线的距离是.14.在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ＝3，那么点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直线l的距离为________．解析：∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))化为直角坐标为(eq\r(3)，1)，∴点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直线l的距离为2.15.在极坐标系中，点到曲线上的点的最短距离为．16.在极坐标系下，直线的方程为，那么点到直线的距离为__________.17.〔广州市2013届3月测试题〔一〕〕在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为．答案：考点三圆的极坐标方程的应用1.求圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程。2.在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是。解析：由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得，又，所以.点，求圆的极坐标方程．解析：∵点，在的圆心坐标为〔1，0〕。∵的半径为。圆的极坐标方程为4.极坐标方程ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是〔〕A．2B．C．1D．答案：〔D〕5.在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为6.〔2012安徽13〕在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是【解析】距离是圆的圆心7.在极坐标系下，圆的圆心到直线的距离是．8.点M，N分别是曲线上的动点，那么|MN|的最小值是_______。9.在极坐标系下，点，O是极点，那么的面积等于．10.〔汕头市2013届高三上学期期末〕直线，圆，那么直线l与圆C的位置关系是________.〔相交或相切或相离？〕答案：相交11.在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。解析：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，又圆与直线相切，所以解得：，或。12.〔梅州市2013届高三3月总复习质检〕在极坐标系中，圆＝2上的点到直线＝3的距离的最小值是＿＿＿＿答案：113.〔肇庆市2013届高三3月第一次模拟〕在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为__▲__答案：114.(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．解析ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcosθ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π,4))).15.曲线的极坐标方程分别为，，那么曲线与交点的极坐标为．解析：联立解方程组解得,即两曲线的交点为。16.〔肇庆市2013届高三上学期期末〕在极坐标系〔〕中，曲线与的交点的极坐标为_____解析：两式相除得，交点的极坐标为17.在极坐标系中，假设过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，那么|AB|＝________.[审题视点]先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程，再利用圆的知识求|AB|.【解析】注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x＝1，曲线ρ＝4cosθ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线x＝1的距离等于1，因此|AB|＝2eq\r(4－1)＝2eq\r(3).在极坐标中，假设过点且与极轴垂直的直线交曲线于、两点，那么=。在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为20.〔惠州市2013届高三上学期期末〕直线与圆相交的弦长为．解析：直线与圆的普通方程为，圆心到直线的距离为，所以弦长为21.〔2012陕西〕直线与圆相交的弦长为．【解析】是过点且垂直于极轴的直线，是以为圆心，1为半径的圆，那么弦长=.22.〔湛江市2013届高三上学期期末〕在极坐标系中，直线与圆相交的弦长为＿＿＿＿答案：23.(2011·广州调研)在极坐标系中，直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．解析由ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2，得eq\f(\r(2),2)(ρsinθ＋ρcosθ)＝2可化为x＋y－2eq\r(2)＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),\r(2))))2)＝4eq\r(3).24.〔江门市2013届高三上学期期末〕以直角坐标系的坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系〔〕，曲线的极坐标方程是，正六边形的顶点都在上，且、、、、、依逆时针次序排列。假设点的极坐标为，那么点的直角坐标为．答案：考点四极坐标方程的综合应用25.如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．[审题视点]在圆上任取一点P(ρ0，θ0)，建立P点与P的中点M的关系即可．【解析】设M(ρ，θ)是所求轨迹上任意一点．连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，那么有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cosθ，得ρ0＝8cosθ0.所以2ρ＝8cosθ，即ρ＝4cosθ.故所求轨迹方程是ρ＝4cosθ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．二、参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，假设曲线C上的点满足，该方程叫曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。〔在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。〕相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。曲线的参数方程〔1〕圆的参数方程可表示为.〔2〕椭圆的参数方程可表示为.〔3〕抛物线的参数方程可表示为.〔4〕经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为〔为参数〕.3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.规律方法指导：1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和〔差〕消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.

2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适中选取参数；二是确保互化前前方程的等价性，注意方程中的参数的变化范围。

参数方程典型例题考点一参数方程与普通方程的互化1.把以下参数方程化为普通方程：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝2－sinθ；))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝5＋\f(\r(3),2)t.))解析：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝x－3，,sinθ＝2－y，))由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1,可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程．(2)由t＝2x－2，代入y＝5＋eq\f(\r(3),2)t中，得y＝5＋eq\f(\r(3),2)(2x－2)，即eq\r(3)x－y＋5－eq\r(3)＝0就是它的普通方程．2.经过点M(1，5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是()A．B. C.D.3.直线经过点,倾斜角，写出直线的参数方程;解析：直线的参数方程为，即．4.假设直线的参数方程为，那么直线的斜率为〔〕B．C．D．5.直线的斜率为______________________。6.设直线参数方程为〔为参数〕，那么它的斜截式方程为。7.曲线的参数方程为(t是参数)，那么曲线是〔〕A、线段B、双曲线的一支C、圆D、射线8.极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋t))(t为参数)所表示的图形分别是()．A．直线、直线 B．直线、圆C．圆、圆 D．圆、直线解析：∵ρcosθ＝x，∴cosθ＝eq\f(x,ρ)代入到ρ＝cosθ，得ρ＝eq\f(x,ρ)，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．又∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋t，))相加得x＋y＝1，表示直线．答案D9.假设直线l的参数方程为(t为参数)，那么过点(4，-1)且与l平行的直线在y轴上的截距为.10.假设直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－2t，,y＝2＋3t))(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，那么常数k＝________.解析：参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－2t，,y＝2＋3t，))所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x＋ky＝1垂直可得－eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,k)))＝－1，解得k＝－6.11.方程〔t为非零常数，为参数〕表示的曲线是()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线12.〔东莞市2013届高三上学期期末〕在直角坐标系中，圆以C的参数方程是(为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，那么圆心C的极坐标是．答案：考向二直线与圆的参数方程的应用13.直线：3x-4y-9=0与圆：，(θ为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心14.(2011·广州调研)直线l的参数方程为：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝1＋4t))(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2eq\r(2)sinθ，那么直线l与圆C的位置关系为________．解析：将直线l的参数方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝1＋4t))化为普通方程得，y＝1＋2x，圆ρ＝2eq\r(2)sinθ的直角坐标方程为x2＋(y－eq\r(2))2＝2，圆心(0，eq\r(2))到直线y＝1＋2x的距离为eq\f(\r(2)－1,\r(1＋4))，因为该距离小于圆的半径，所以直线l与圆C相交．答案相交15.在平面直角坐标系中，以坐标原点为几点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为参数〕。〔Ⅰ〕设为线段的中点，求直线的平面直角坐标方程；〔Ⅱ〕判断直线与圆的位置关系。【解析】〔Ⅰ〕由题意知，因为是线段中点，那么因此直角坐标方程为：〔Ⅱ〕因为直线上两点∴垂直平分线方程为：，圆心，半径.,故直线和圆相交.16.假设直线((t为参数)与圆x2+y2-4x+1=0相切，那么直线的倾斜角为()A.B.C.或D.或17.曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是参数〕，点是曲线上的动点，点是直线上的动点，求||的最小值．解：曲线的极坐标方程可化为,其直角坐标方程为，即.直线的方程为.所以，圆心到直线的距离所以，的最小值为.18.〔茂名市2013届高三上学期期末〕曲线C的参数方程为(θ为参数)，那么曲线C上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为。答案：3曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是〔为参数〕．〔Ⅰ〕将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；〔Ⅱ〕设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.解析：〔1〕曲线的极坐标方程可化为：又.所以，曲线的直角坐标方程为：.〔2〕将直线的参数方程化为直角坐标方程得：令得即点的坐标为又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，那么∴20.〔北京9〕．直线为参数)与曲线为参数)的交点个数为______。【解析】直线的普通方程，圆的普通方程为，可以直线圆相交，故有2个交点。21.〔湖南省9〕在直角坐标系中，曲线的参数方程为，〔为参数〕.在极坐标系〔与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴〕中，曲线的方程为，那么与的交点个数为.[22.在直角坐标系xOy中，曲线：(t为参数)与曲线：(为参数，)有一个公共点在X轴上，那么.【解析】曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；曲线：直角坐标方程为，其与轴交点为，由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知.23.〔2010年高考陕西卷理科15〕(坐标系与参数方程选做题)圆的参数方程(为参数)，以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,那么直线与圆的交点的直角坐标为.【答案】【解析】由题设知，在直角坐标系下，直线的方程为，圆的方程为.又解方程组，得或.故所求交点的直角坐标为.24.在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为是参数〕和是参数〕，它们的交点坐标为_______.【解析】解得：交点坐标为25.〔增城市2013届高三上学期期末〕曲线〔为参数且〕与曲线〔为参数〕的交点坐标是． 答案：〔1,2〕26.直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，,y＝4－2t))(参数t∈R)，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ＋2，,y＝2sinθ))(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，,y＝4－2t))消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ＋2，,y＝2sinθ))消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝eq\f(|2×2＋0－6|,\r(22＋1))＝eq\f(2\r(5),5)，所以所求弦长为2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq\f(8\r(5),5).27.直线与直线相交于点，又点，那么_______________。28.直线被圆截得的弦长为______________。29.〔珠海市2013届高三上学期期末〕在直角坐标系xOy中，曲线：,(为参数〕与曲线：,〔为参数〕相交于两个点、，那么线段的长为.答案：430.〔广州市2013届高三上学期期末〕圆的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为,那么直线截圆所得的弦长是.答案：31.直线的方程为〔t为参数〕，以坐标原点为极点，x轴正方向为极轴的极坐标中，圆的极坐标方程为，那么与该圆相交所得弦的弦长为。32.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。直线的极坐标方程为，它与曲线〔为参数〕相交于两点A和B，那么|AB|=_______.33.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,那么直线和截圆的弦长等于_________.34.在平面直角坐标系中，直线与曲线的参数方程分别为：〔为参数〕和：〔为参数〕，假设与相交于、两点，那么．35.直线被圆所截得的弦长为．考点三直线与圆锥曲线的参数方程1.二次曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5cosθ，,y＝3sinθ))(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析题中二次曲线的普通方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1左焦点为(－4,0)．2.(江苏卷)在平面直角坐标系中，求过椭圆〔为参数〕的右焦点，且与直线〔为参数〕平行的直线的普通方程．3.〔湖北16〕在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.射线与曲线〔t为参数〕相交于A，B两点，那么线段AB的中点的直角坐标为.解析：在直角坐标系下的一般方程为，将参数方程〔t为参数〕转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛物线，联立上面两个方程消去有，设两点及其中点的横坐标分别为，那么有韦达定理,又由于点点在直线上，因此的中点.2007-2013年广东省高考真题《极坐标与参数方程》