归纳高三数学定理定律概念大全

1、各位教师，各位教师， 同学，同学， 我精我精 心汇总，好好利用心汇总，好好利用 第一章第一章 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 集合的概念与运算集合的概念与运算 1.11.1集合的有关概念集合的有关概念 （1）定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。 （2）元素的三要素：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用 。 （3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法； （4）集合的分类：有限集、无限集和空集，空集记作； （5）元素a和集合 A 之间的关系：aA，或aA； （6）常用数集： 自然数集：N ；正整数集：N N * *或N N ；整数集：Z；有理数集：Q

2、；实数集：R。 N N* * N N Z Z Q Q R R 1.21.2子集子集 （1）定义：A 中的任何元素都属于 B，则 A 叫 B 的子集 ；记作：AB， 注意：AB 时，A 有两种情况：A与 A （2） 性质： A A, A； 若A B,B C， 则A C； 若A B,B A则A=B； 1.31.3真子集真子集 （1）定义：A 是 B 的子集 ，且 B 中至少有一个元素不属于A；记作：A B； （2）性质：A A , , A A；若A A B B, ,B B C C，则A A C C； 1.41.4补集补集： （1）定义：记作：CUA x | xU,且x A； （C U A） A；

3、（2）性质：A CUA ，ACUA U，CU 1.51.5交集与并集交集与并集 （1）交集：A AI B B x x | | x x A A, ,且 且 x x B B 性质：A A A, A 若A B B，则B A （2）并集：A AU B B x x | | x x A A, ,或 或 x x B B 性质：A A A, A A若A B B，则A B 1.61.6集合运算中常用结论集合运算中常用结论 （1）德摩根公式： C U (AI B) C U AU C U B;C U (AU B) C U AI C U B. （2） AI B A AU B B A B C U B C U A AI

4、C U B C U AU B R （3）含 n 个元素的集合的所有子集有2个 n 2 2一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 2.12.1一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法 通过去分母、 去括号、 移项、 合并同类项等步骤化为ax b的形式， 若a 0,则x 若a 0,则x b ； a b ；若a 0,则当b0时，xR；当b 0时，x。如：已知关于x a 1 的 不 等 式(a b)x (2a 3b) 0的 解 集 为(, )， 则 关 于x的 不 等 式 3 (a 3b)x (b 2a) 0的解集为_（答：x| x 3） 2.22.2二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的

5、关系二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系: : 判别式：=b-4ac 二次函数 y 2 0 y 0 0 y f (x) ax2 bx c(a 0) 的图象 一元二次方程 x1 O x2x O 有两相异实数根 x1=x2 x O 没有实数根 x 有两相等实数根 ax2 bx c 0(a 0)的根 一元二次不等式 x 1 ,x 2 (x 1 x 2 ) x | x x 1 ,x x 2 “”取两边 b x 1 x 2 2a x | x b 2a ax bx c 0(a 0)的解 集 一元二次不等式 2 R ax2 bx c 0(a 0)的解 集 x | x 1 x x 2 “”取中

6、间 2.42.4二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？ 2 二次方程ax bxc 0的两个根即为二次不等式ax bx c 0( 0)的解集的端 2 2 点值，也是二次函数 y ax bxc的图象与x轴的交点的横坐标。 如（1）不等式 x ax 31 的解集是 (4,b)，则a=_（答： ） ； （2）若关于 x的不等式 28 ax2 bx c 0的解集为(,m)(n,)，其中m n 0，则关于x的不等式 cx2 bx a 0 的 解 集 为 _ （ 答 ：( , 11 )( ,)） ； （ 3 ） 不 等 式 mn 3x22bx1

7、0对x1,2恒成立，则实数b的取值范围是_（答：） 。 2.52.5常用等价转换常用等价转换 含参数的不等式 ax b xc0 恒成立问题含参不等式 ax b xc0 的解集是 R； 其解答分 a0(验证 bxc0 是否恒成立)、a0（a0 且0)的图象是把函数 y=f(x)的图象沿 x 轴向左移a个单位得到的； 函数 y=f(x+a),(a0)的图象是把函数 y=f(x)的图象沿 y 轴向上平移a个单位得到的； 函数 y=f(x)+a,(a0)的图象是把函数 y=f(x)的图象沿 y 轴向下平移a个单位得到的。 （2）对称变换 函数y f (x)与函数y f (x)的图象关于直线 x=0 对

8、称； 函数y f (x)与函数y f (x)的图象关于直线 y=0 对称； 函数y f (x)与函数y f (x)的图象关于坐标原点对称； 如果函数 y=f(x)对于一切xR,都有 f(x+a)=f(a-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线x a对 称。 如果函数y=f(x)对于一切xR,都有f(x+a)=f(b-x)， 那么y=f(x) 的图象关于直线x 称。 函数y f (a x)与函数y f (a x)的图象关于直线 x=0 对称。 函数y f (a x)与函数 y=f(b-x)的图象关于直线 x= y f (x)y f (x) ab 对 2 ba 对称 2 y f (x) y f (

9、x) y f 1(x) 与y f (x)关于直线y x对 称。 （3）伸缩变换 y af (x),(a 0)的图象，可将y f (x)的图象上的每一点的纵坐标伸长 (a 1)或缩短(0 a 1)到原来的a倍。 y f (ax),(a 0)的图象，可将y f (x)的图象上的每一点的横坐标伸长 1 (0 a 1)或缩短(a 1)到原来的 倍。 a 4 4、函数的反函数、函数的反函数 4.14.1、求反函数的步骤、求反函数的步骤： 求原函数y f (x)，(x A)的值域 B把y f (x)看作方程，解出x (y)； x，y 互换的y f (x)的反函数为y f 1(x)，(x B)。 1 4.2

10、4.2、函数与反函数之间的一个有用的结论、函数与反函数之间的一个有用的结论：f (a) b f (b) a 4.3 4.3、原函数y f (x)在区间a,a上单调递增（减） ，则一定存在反函数，且反函数 y f1 5 5、函数、方程与不等式、函数、方程与不等式 (x)也单调递增（减） ；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。 x y 123x 0 22 5.1 5.1、 “实系数一元二次方程ax bx c 0有实数解”转化为“ b 4ac 0” ， 你是否注意到必须你是否注意到必须a 0；当a=0 时， “方程有解”不能转化为 b 4ac 0。 若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，

11、你是否考虑到二次项系数可能若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能 为零的情形？为零的情形？ 5.25.2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。 设x1,x2为方程f (x) 0,(a 0)的两个实根。 若x1 m,x2 m,则 f (m) 0； 2 当在区间(m,n)内有且只有一个实根时， (1) f (m) f (n) 0 (2)考虑端点，验证端点。 当在区间(m,n)内有且只有两个实根时， 0 b m n 2a f (m) 0 f (n) 0 若m x1 n p x2 q时 f (p) f (q) 0 注意：根据要求先画出抛物线，然后写出

12、图象成立的充要条件。 注意端点，验证端点。 f (m) f (n) 0 第三章第三章 基本初等函数（）基本初等函数（） 我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角 函数。 下面我们用表格来把它们总结一下： 函数名称函数的记号函数的图形函数的性质 a):不论 x 为何值,y 总为正数; 指数函数指数函数 b):当 x=0 时,y=1. a):其图形总位于 y 轴右侧,并过 (1,0)点 对数函数对数函数b):当 a1 时,在区间(0,1)的值 为负；在区间(-,+)的值为正；在 定义域内单调增. 令 a=m/n 幂函数幂函数 a 为任意实数 a):当 m

13、 为偶数 n 为奇数时,y 是 偶函数; 这里只画出部分函数图形 b):当 m,n 都是奇数时,y 是奇函 的一部分。 数; c):当 m 奇 n 偶时,y 在(-,0)无 意义. a):正弦函数是以 2 为周期的 (正弦函数) 三角函数三角函数 这里只写出了正弦函数 周期函数 b):正弦函数是奇函数且 a):由于此函数为多值函数,因此 (反正弦函 反三角函数反三角函数 数) 这里只写出了反正弦函数 我们此函数值限制在-/2,/2 上,并称其为反正弦函数的主值. 初等函数初等函数 由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解 析式表出的函数称为初等函数. 有关

14、运算性质 1.指数运算：a 1(a 0)，a m n m n 0p 1 (a 0) ap aa nm(a 0)，a 1 nam (a 0) 2. 对数运算： log a MN log a M log a N M 0，N 0 log a M1 log a M log a N，log a nM log a M Nn logax对数恒等式：a x 对数换底公式： log a b log c bn log amb nlog a b log c am 第四章第四章 基本初等函数（）基本初等函数（） 1 1、角的换算、角的换算 (1)换算关系:180 (弧度) 180 1弧度 () 57 18 (2)弧长

15、公式:l r 扇形面积公式:S lr 450 2 2 2 2 1 1 1 2 1 r2 2 900 1 0 不存在 0 2 2、特殊角的三角函数值、特殊角的三角函数值 0300 1 sin0 2 cos tan cot 1 0 不存在 3 2 3 3 3 600 3 2 1 2 3 1800 0 2700 1 0 不存在 0 1 0 不存在 3 3 3 3、任意角的三角函数、任意角的三角函数 xryxyr sin ，cos，tan，cot ，sec，csc yyrrxx 三角函数值的符号规律： “一全二正弦，三切四余弦” 4 4、诱导公式：、诱导公式： “ k 2 ，奇变偶不变，符号看象限”，

16、奇变偶不变，符号看象限” 正弦 2k2 sinsinsinsinsin 余弦coscoscoscoscos 正切tan tan tantan tan 余切cotcotcotcotcot n n 2n(1)2cos,(n为偶数) (1) sin,(n为偶数)n sin() ，cos() n1 n1 22 (1) 2cos,(n为奇数) (1) 2sin,(n为奇数) 5 5、同角三角函数的基本关系式、同角三角函数的基本关系式： 2222 平方关系sin2 cos21；1 tan sec；1 cot csc cos sin 商式关系； cot tan sincos 倒数关系tancot1；sinc

17、sc1; cossec1。 记忆方法：上弦，中切，下割，左正，右余，中间一记忆方法：上弦，中切，下割，左正，右余，中间一 6 6、两角和与差公式、两角和与差公式 令 sin sincos cossin sin2 2sincos 2 cos sin cot tan 2 cos sin cot tan 令 cos cos cos sin sin cos 2 cos 2 sin2 tan tan tan 22 2 cos 1 1 2 sin 1 tan tan 1 cos 2 2 1 cos 2 2sin 2 cos 2 tan 2 2 tan 1 tan2 2sin()sin() sinsin (

18、平方正弦公式); 2 cos()cos() cos2sin2. 7 7、三角函数的图像和性质、三角函数的图像和性质 y cosxy tan x y sin x 1 x | x R且x k,k Z 2 y Asinx （A、0） 定义域 值域 周期性 奇偶性 R 1,1 R 1,1 R R A,A 2 2 奇函数 2 偶函数奇函数当 0,非奇非偶 当 0,奇函数 单调性 2 2k, 2k 1, 2k ； 上 k,k 2 2 2 2k 为 增 函 数 2k, 上为增函数 （k Z） 上为增函数； 2k 1 2k 2k 2k 2k 2 (A), 上为增函数； 1 2 (A) 2 (A), 上为减函数

19、 3 2 (A) 2 上 3 2k 2 2k, 上为减函数 （k Z） 为 减 函 数 （k Z）（k Z） 注意：y sin x与y sin x的单调性正好相反；y cosx与y cosx的单调性也同 样相反一般地，若y f (x)在a,b上递增（减） ，则y f (x)在a,b上递减（增） y sin x 与y cosx的周期是 y sin(x)或y cos(x)（ 0）的周期T 2 y O x y tan x 的周期为 2（ T T 2 ，如图，翻折无效） 2 y sin(x)的对称轴方程是x k（k Z） ， 对称中心 （k,0） ；y cos(x) 2 的对称轴方程是x k（k Z）

20、 ，对称中心（ k 1 ,0 ） ；y tan(x )的对称中心 2 （ k y cos2x 原点对称,0） y cos(2x) cos2x 2 当tantan1, k 2 (k Z)；tantan 1, k 2 (k Z) y cosx与 y sin x 2k 是 同 一 函 数 , 而y (x )是 偶 函 数 ， 则 2 1 y (x ) sin(x k) cos(x) 2 函数y tan x在R上为增函数 （） 只能在某个单调区间单调递增若在整个定 义域，y tan x为增函数，同样也是错误的 y sinx不是周期函数；y sinx 为周期函数（T ） ； ；y cosx为周期函数（T

21、 ） ； y cosx 是周期函数（如图） y y x 1/2 x y=cos|x|图象 1 ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y cos2x 的周期为（如图） 2 y=|cos2x+1/2|图象 y f (x) 5 f (x k),k R abc1 2RS bcsin A 2 8.8.正弦定理：正弦定理：sin A sin BsinC ，； 余弦定理： b2 c2 a2 a =b c 2bccos AcosA= 2bc 222 解斜三角形的常规思维方法是：解斜三角形的常规思维方法是： （1 1）已知两角和一边（如）已知两角和一边（如 A A、B B、c c） ，由，由 A A+ +B

22、 B+ +C C = = 求求 C C，由正弦定理求，由正弦定理求 a a、b b （2 2）已知两边和夹角（如）已知两边和夹角（如a a、b b、C C） ，应用余弦定理求，应用余弦定理求c c 边；再应用正弦定理先求较短边；再应用正弦定理先求较短 边所对的角，然后利用边所对的角，然后利用 A A+ +B B+ +C C = = ，求另一角，求另一角 （3 3）已知两边和其中一边的对角（如）已知两边和其中一边的对角（如 a a、b b、A A） ，应用正弦定理求，应用正弦定理求 B B，由，由 A A+ +B B+ +C C = = 求求 C C，再由正弦定理或余弦定理求，再由正弦定理或余弦

23、定理求 c c 边，要注意解可能有多种情况边，要注意解可能有多种情况 （4 4）已知三边）已知三边 a a、b b、c c，应用余弦定理求，应用余弦定理求 A A、B B，再由，再由 A A+ +B B+ +C C = = ，求角，求角 C C 9 9函数 y Asin(x ) 的图象可以通过下列两种方式得到： 图象左移 y sin x y sin(x ) （1） 1 横坐标缩短到原来的倍 A倍 y sin(x )纵坐标伸长为原来的 y Asin(x ) y sin(x) （2） y sin x 1 横坐标缩短到原来的 倍图象左移 A倍 y sin(x )纵坐标伸长为原来的 y Asin(x

24、) 第五章第五章 立体几何立体几何 1 1、平面的基本性质：、平面的基本性质： 公理 1： 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 公理 2：如果两个平面有一个公共点，那它们还有其它公共点，且所有这些公共点的集合 是一条过这个公共点的直线 。 公理 3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。 推论 2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论 3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。 公理 4：平行于同一直线的两条直线互相平行 2 2、. .空间两条直线的位置关系：空间两条直线的位置关系： 2

25、.1、位置关系：平行、相交、异面 2.2、异面直线所成的角：关键是选点平移，范围是（0，/2 。 求两条异面直线所成的角的大小一般方法 找角。一般点选择在特殊的位置上（常用中位线、平行四边形） ；证角；求角。 3 3、直线与平面、直线与平面 3.1、位置关系：在面内、相交、平行 3.2、直线与平面平行 判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平 面平行 性质定理：如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么 这条直线和交线平行。 3.3、直线与平面垂直 判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直于

26、这 个平面 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 4 4、直线与平面所成的角、直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是00.900 5 5、三垂线定理及其逆定理、三垂线定理及其逆定理： 定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条 斜线垂直； 逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线 的射影垂直。 4 4、平面与平面、平面与平面 4.1、位置关系：平行 ，相交 4.2、两个平面平行 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 另：垂直于同一条直线的两个平面平行

27、性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 另：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 直接法 两平面间的距离问题点到面的距离问题 体积法 4.3、两个平面垂直 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理： 如果两个平面垂直， 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面。 4.4、二面角 定义法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的 角，就是二面角的平面角。 三垂线法： 找二面角的一个面的垂线， 再由垂足向棱作

28、垂线得斜足， 连斜足与另一面上点。 5 5、简单几何体、简单几何体 5.15.1 棱柱棱柱 （1）棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 （2）相关计算：长方体的对角线a2b2c2， V 棱柱 Sh 5.25.2 棱锥棱锥 (1)正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心） (2)正棱锥性质 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫 做正棱锥的斜高 棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。

29、(3)相关计算：V棱锥 5.35.3 球球 2 （1）相关计算：S圆 rC圆 2r， ，S 球 =4R2，V 球 1 Sh 3 4 R3 3 （2）球的截面的性质： 球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有下面的关系：r （3）两点的球面距离：经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度. 5.45.4 正多面体：正多面体： 正多面体的种数有 欧拉公式：V+F-E=2其中：V 顶点数E 棱数F 面数 5.55.5 空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用： （1）两异面直线所成角：cos cos a, b （2）直线与平面所成角：si

30、n cos a, n （3）二面角：先求cos n1,n2在根据图形情况作答 （4）点到平面的距离：d R2d2 ABn n （A 为所给点，B 为平面内任意一点） 第六章第六章 平面向量平面向量 1 1、加法与减法的代数运算：、加法与减法的代数运算： (1)向量加法满足：平行四边形法则-“同一起点” 、三角形法则-“首尾相接” 。 向量减法满足：三角形法则-“同一起点，指向被减数” （2）若 a a=（x1, y1）,b b=（x2, y 2 ）则 a ab b=（x1 x2, y1 y 2 ） 2、实数与向量的积：a (1)长度：a=a; 方向： 当0 时，a与a同向； 当0 时，a与a反

31、向；当=0 时，a=0 0 a=（x 1 ,y 1 ）(2)若a=（x1, y1） ，则 (3)两个向量共线的充要条件： 向量 b b 与非零向量a共线有且仅有一个实数，使得 b b=a 若a=（x1, y1）,b b=（x2, y 2 ）则ab b x1y2 x2y1 0 3 3、向量的数量积：、向量的数量积： b=a (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则abcos 其中bcos称为向量b在a方向上的投影 (2) 若 a a=（x1, y1）,b b=（x2, y 2 ）则 a ab b=x1x2 y1y2 b=0 x 1 x 2 y 1 y 2 0（a，b为非零向量）; （

32、3）性质：aba a= aa cos= x 1 y 1 ; x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 y 1 x 2 y 2 2222 22 ab a b = （4）运算律：不满足消去律、乘法结合律 4P 分有向线段P 1P2 所成的比： (1)若点 P 分有向线段P 1P2 成定比，则= (2)定比分点坐标公式： 若点P 1P2 成定比，则 1 (x 1 , y 1 )，P 2 (x 2 , y 2 )，P(x, y)，点 P 分有向线段P P 1P PP 2 x 2 x x1 1 y y1y 2 1 （1） ，中点坐标公式： x2 x x1 y y1 2 y 2 2 （3）若点A(x1, y

33、1)，B(x2, y2)则AB (x 2 x 2 )2(y 2 y 1 )2 的 重 心G的 坐 标 是(4) 若 A(x 1 , y 1 )，B(x 2 , y 2 )，C(x 3 , y 3 ) ， 则 ABC x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 ， 33 5平移公式：将F(x, y)按a (h, k)平移后得到F(x, y)，则有 x x h y y k 第七章第七章 平面解析几何平面解析几何 1 1、直线和圆、直线和圆 1.1. 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率： 直线的倾斜角范围是0,， 直线的斜率：k tan, k y 2 y 1, x 2 x 1 k A B 1.

34、1. 直线方程的几种形式：直线方程的几种形式： 点斜式：y y0 k(x x0)， 斜截式：y kx b y y 1 x x 1 xy ， 截距式：1 y 2 y 1 x 2 x 1 ab 一般式：Ax By C 0 两点式： 1.1. 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 （1）平行： 若斜率存在：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2有 l1l2k1=k2且 b1b2； （2）垂直：若斜率存在：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2有 l1l2k1k2=-1 l1l2k1k2=-1 （3）相交： l 1 到l2的角： tan l 1 与l2的夹角：tan 1.41.4 点到

35、直线的距离公式点到直线的距离公式 k 2 k 1 ，0,) 1 k 1k2 k 2 k 1 ，0, 1 k 1k2 2 Ax 0 By 0 C A B 22 点P(x0, y0)到直线l：Ax By C 0的距离：d 1.51.5 两平行直线间的距离两平行直线间的距离： 两条平行直线l1：Ax By C1 0，l2：Ax By C2 0距离：d 1.61.6 圆的方程圆的方程四种形式 （1）圆的标准方程:(xa) (y b) r. 22 （2）圆的一般方程:x y Dx Ey F 0(D E 4F0). 22 222 C 1 C 2 A B 22 （3）圆的参数方程: x arcos . y

36、brsin （4）圆的直径式方程:(x x 1)(x x2 )(y y 1)(y y2 ) 0(圆的直径的端点是 A(x 1, y1) 、B(x2, y2). 圆中有关重要结论圆中有关重要结论: : 222 (1) 若 P(x0,y0) 是 圆x y r上 的 点 , 则 过 点 P(x0,y0) 的 切 线 方 程 为 xx 0 yy 0 r2. (2)若 P(x0,y0)是圆(xa) (y b) r上的点,则过点 P(x0,y0)的切线方程为 222 (x 0 a)(xa)(y 0 b)(y b) r2. (3)若 P(x0,y0)是圆x y r外一点,由 P(x0,y0)向圆引两条切线,

37、 切点分别为 A、B 2 则直线 AB 的方程为xx0 yy0 r. 222 (4)若 P(x0,y0)是圆(xa) (y b) r外一点, 由 P(x0,y0)向圆引两条切线, 切 2 点分别为 A、B，则直线 AB 的方程为(x0a)(xa)(y0b)(y b) r. 222 圆的切线方程圆的切线方程 (1)已知圆x y Dx Ey F 0 若已知切点(x0, y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是 22 D(x 0 x)E(y 0 y) F 0. 22 D(x 0 x)E(y 0 y) 当(x0, y0)在圆外时 ,x 0 x y 0 y F 0表示过两个切 22 x 0 x y 0 y

38、 点的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为y y0 k(x x0)，再利用相切条件求k，这时必 有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为y kxb，再利用相切条件求b，必有两条切线 (2)已知圆x y r 2 过圆上的P 0 (x 0 , y 0 )点的切线方程为x 0 x y 0 y r ; 222 斜率为k的圆的切线方程为y kxr 1k2. 1.71.7 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系： 相离、相切和相交。 d r 相交 判断方法（几何法） ：圆心到直线的距离 d r 相切 d r 相离 2222 过圆x y r 上一点P(x 0 , y 0 )的

39、切线方程是：x 0 x y 0 y r 弦长问题：利用垂径定理，构造直角三角形解决 切线长问题：构造直角三角形解决 2. 2.圆锥曲线圆锥曲线 一、椭圆一、椭圆 PF 1 PF 2 2a F 1F2 方程为椭圆, 1椭圆方程的第一定义 椭圆方程的第一定义： PF PF 2a F F 无轨迹, 1212 PF 1 PF 2 2a F 1F2 以F 1,F2为端点的线段 平面内与两定点平面内与两定点 F F1 1，F F2 2的距离的和为常数的距离的和为常数( (大于大于F 1F2 ) )的点的轨迹的点的轨迹。其中两 定点 F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 （1）椭圆的标准方程： 22y x

40、 i中心在原点，焦点在 x 轴上： 1(a b 0) a2b2 22 ii中心在原点，焦点在y轴上： y x 1(a b 0) 22ab 一般方程：Ax2By21(A 0,B 0) x2 a2 y2 b2 椭圆的标准参数方程： x acos 1的参数方程为 y bsin （一象限应是属于0 2 ） 几何性质几何性质 顶点：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0)轴：对称轴：x 轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b 焦点：(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c)焦距：F 1F2 2c,c a2b2 c a2a2 准线：x 或y 离心率：e (0 e 1) cca 焦半径：PF 1 aex 0 ,

41、 PF 2 aex 0 PF1 aey 0 , PF 2 aey 0 a2a2 由椭圆第二定义可知：pF 1 e(x 0 )aex 0(x0p0),pF2 e(x 0)ex0a(x0f0) cc 归结起来为“左加右减” b2 b2 )和(c, )通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经坐标：(c, aa （3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆 方程 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 1(a b 0)的离心率是e c (c a2b2)， a t(t是大于 0 的参数，a b 0)的离心率也是e c ， 我们称此方程为共离心 a 率的椭圆系方程 （4）若 P 是椭圆： 为为b2tan 2

42、 x2 a2 y2 b2 1上的点F 1,F2 为焦点，若F 1PF2 ，则PF 1F2 的面积 （用余弦定理与PF 1 PF 2 2a可得） 若是双曲线，则面积为若是双曲线，则面积为b2cot 2 二、双曲线二、双曲线 PF 1 PF 2 2a F 1F2 方程为双曲线 1双曲线的第一定义双曲线的第一定义： PF PF 2a F F无轨迹 1212 PF 1 PF 2 2a F 1F2 以F 1,F2的一个端点的一条射线 平面内与两个定点平面内与两个定点F 1 ,F 2 距离的差的绝对值等于距离的差的绝对值等于2a(2a | F 1F2 |)的点的轨迹。的点的轨迹。 x2y2y2x2 （1）

43、双曲线标准方程： 2 2 1(a,b 0), 2 2 1(a,b 0) abab 一般方程：Ax Cy 1(AC 0) a2 （2）i焦点在x 轴上：顶点：(a,0),(a,0)，焦点：(c,0),(c,0)，准线方程x ， c x2y2xy 渐近线方程： 0或 2 2 0 ab ab 22 a2 ii 焦点在y轴上： 顶点：(0,a),(0,a) 焦点：(0,c),(0,c) 准线方程：y 渐 c x asecx btan y2x2yx 近线方程： 0或 2 2 0，参数方程：或 y btany asecab ab 轴x, y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为 2b，焦距 2c离心率e c

44、a 2a22b2c 准线距（两准线的距离） ；通径参数关系c2a2b2,e caa 焦半径公式：对于双曲线方程 曲线的上下焦点） “长加短减”原则： MF 1 ex 0 a MF 2 ex 0 a M F 1 ex 0 a M F 2 ex 0 a x2 a2 y2 b2 1（F 1,F2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双 构成满足MF 1 MF 2 2a （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） y y F1 M MF 1 ey 0 a MF 2 ey 0 a M M x F1 F2 M F2 x M F 1 ey 0 a M F 2 ey 0 a （3）等轴双曲线：

45、双曲线x2y2 a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y x，离心率 e 2 （4）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的 x2y2x2y2 共轭双曲线 2 2 与 2 2 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： abab x2 a2 y2 b2 0 x2 a2 y2 b2 ( 0)的渐近线方程为 x2 a2 y2 b2 0如果双曲线（5）共渐近线的双曲线系方程： x2y2xy 的渐近线为 0时，它的双曲线方程可设为 2 2 ( 0) ab ab y 例如：若双曲线一条渐近线为y 11 x且过p(3,)，求双曲线的方程？ 22 F1 43 2 1 F2 x 1x

46、2y2x2 2解：令双曲线的方程为： 1y ( 0)，代入(3,)得 2824 5 3 3 （6）直线与双曲线的位置关系： 区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计2 条； 区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计3 条； 区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计4 条； 区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计2 条； 区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条 若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与

47、渐近线求“” 交和两根之和与两根之积同号 （7）若 P 在双曲线 x2 a2 y2 b2 1，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m ：n，则 P 到两准线 PF 1 的距离比为 mn简证： d 1 m e = d 2 PF 2 n e 常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b 三、抛物线三、抛物线 设p 0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 y2 2px y2 2px x2 2 py y x2 2py y yy x O x O x O x O 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦半径 PF p x1 2 PF p x1 2 F( p ,0) 2 p 2 F(

48、x p ,0) 2 p 2 F(0, y p ) 2 p 2 F(0, y p ) 2 x p 2 x 0, yRx 0, yR x轴 xR, y 0 xR, y 0 y轴 （0，0） e 1 PF p y1 2 PF p y1 2 4ac b2b ， ) 注：ay by c x顶点( 4a2a 2 y2 2px(p 0)则焦半径 PF x P ;x2 2py(p 0)则焦点半径为 PF y P 22 通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的 x 2pt2 x 2pt y 2px（或x 2py）的参数方程为（或） （t为参数） 2 y 2pty 2pt 22 直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆

49、锥曲线的位置关系： （1）判定方法：联立直线与圆锥曲线方程，消元得关于x（或 y）的一元二次方程，求出 ，根据 判定直线与圆锥曲线的位置关系 （2）弦长公式：直线 y=kx+b 和圆锥曲线 f(x,y)=0 交于两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) 则弦长 P1P2=1k2| x1 x2|(1 k2)(x1 x2)24x1x2 命题：经过圆锥曲线焦点弦的端点的两条切线相交于准线上。命题：经过圆锥曲线焦点弦的端点的两条切线相交于准线上。 x xy yx2y2 经过椭圆 2 2 1（ab0）上一点 P(x 0，y0)的切线方程为 0 2 0 2 1。 abab x xy yx2y2 经过

50、双曲线 2 2 1上一点 P(x 0，y0)的切线方程为 0 2 0 2 1。 abab 经过抛物线 y =2Px（P0）上一点 P(x0，y0)的切线方程为 y0y=P(x0+x)。 2 “四线”一方程“四线”一方程 2 对于一般的二次曲线Ax Bxy Cy Dx Ey F 0， 用x0 x代x， 用y0y代y， 222 x 0 y xy 0 x xy y 代xy，用 0 代x，用 0 代y即得方程 222 x y xy 0 x xy y Ax 0 x B0Cy 0 y D0 E0 F 0， 222 曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到. 用

51、第八章第八章 不等式不等式 1 1、不等式的基本性质：、不等式的基本性质：此类选择题多采用取特殊值法处理 2 2、均值不等式：、均值不等式：若a,bR，则a b 2ab（当且仅当a b时取等号） 22 a b ab（当且仅当a b时取等号） 2 a b 2) ；基本变形：a b ；( 2 a2b2a b 222 () 若a,bR，则a b 2ab， 22 若a,b 0，则 应用条件：应用条件： “一正二定三取等；积定和小，和定积大”。 3 3、绝对值不等式：、绝对值不等式：a b a b a b 4 4、证明不等式常用方法：、证明不等式常用方法： （1）比较法： 步骤：作差；变形（对差进行因式

52、分解或配方变成几个数（或式）的完全平方和）。 判断差的符号 （2）综合法：由因导果。 （3）分析法：执果索因。基本步骤：要证只需证，只需证 5 5、不等式的解法：、不等式的解法：注意“系数化正” （1）一元一次不等式：ax b(a 0)；ax b(a 0) 2 （2）一元二次不等式：ax bx c 0(a 0)先“系数化正” ，再根据 b 4ac的 2 三种情况即 0， 0， 0写出解集， （3）绝对值不等式：若a 0，则| x | a ；| x | a ； 注意：(1).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。 (2).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来

53、解。 （4）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； f (x)f (x) 0 ； 0 ； g(x)g(x) （5）高次不等式：穿根法： ） 第九章第九章 数列数列 1.1.数列的定义：数列的定义： 按一定次序排列的一列数叫做数列数列， 数列中的每一个数都叫做这个数列的项项各 项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，第 n 项， 数列也可以看作一个定义域为自然数集 N（或它的有限子集1，2，3，n） 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 2.2.数列的表示法数列的表示法 数列的表示法与函数的表示法相同 列表法：把数列表示成 a1，a2，a3，an， 图象法： 在直角坐

54、标系中， 数列可用一群坐标为(1， a1)， (2， a2)， (3， a3)， ， (n，an)，分散的弧立的点表示 解析法：用通项公式来表示或用递推公式来表示 3.3.数列的通项公式数列的通项公式 如果数列a n的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个公式来表示， 这个公式 就叫做这个数列的通项公式通项公式 4.4.数列的前数列的前 n n 项和项和 已知数列a n,Sn=a+a+a+an，称为数列的前 n 项的和， 123 注意在 S nS 的表达式中令 n=1 不一定与 S 相同 n-11 5.5.数列的分类数列的分类 （1）按项数分：有穷数列，无穷数列 （2）按项与项之间

55、大小关系分：递增数列，递减数列，摆动数列 （3）按|a n |的取值范围分：有界数列，无界数列 6.6.等差数列等差数列 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就 叫做 （一阶） 等差数列等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差公差， 公差通常用字母 d 表示 等差数列的性质：等差数列的性质： 等差数列任意两项间的关系： 如果a n 是等差数列的第n项，am是等差数列的第m 项，且m n，公差为d，则有an am (n m)d .对于等差数列an，若n m p q，则an am a p a q 。 an a1 a ,a ,a , ,an2,an1,an ，如图所

56、示： 123 a2an1 * 若数列an是等差数列，S n 是其前 n 项的和，k N，那么S k ，S 2k S k ， 也就是：a1 an a2 an1 a3 an2 S 3k S 2k 成等差数列。如下图所示： S 3k a1 a2 a3 ak ak1 a2k a2k1 a3k SkS 2k S k S3kS 2k 设数列an是等差数列，S 奇 是奇数项的和，S 偶是偶数项项的和，Sn 是前 n 项的 和，则有如下性质：(i)奇数项a1,a3,a5,成等差数列，公差为2d (ii)偶数项a2,a4,a6,成等差数列，公差为2d (iii)若有奇数项 2n 1项，则 S 奇 S 偶 a1 a 2n1(n 1) a n1 (n 1) 2 S 奇 S 偶 a n1 (2n1) (2n1)a 中 a2 a2n 所以有n an1n S 奇 S 偶 a n1 a 中 2 S 奇 S 偶 SS 偶 S n n1 ； 奇 2n 1 nS 奇 S 偶 S 奇 S 偶 a1 a2n1 n nan 2 若有偶数项2n项，则S奇 S偶 a2 a2n n nan1 2 所以有S 偶 S 奇 a 2 a1a4 a3a 2n a2n1 nd 若等差数列 a n 的前 2n1项的和为S 2n1 ，等差数列 b n 的前 2n1项的和为 S 2n1 ，则 anS