维随机变量的函数的分布(1).ppt

1,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.,当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m 的联合分布?,2,3.5二维随机变量的函数的分布,由(X,Y)的分布导出Z=g(X,Y)的分布,3,一、(X,Y)为二维离散型随机变量,若X和Y相互独立,则有,4,例1 设(X,Y)的分布律为:,试求Z=X+Y的分布律,5,解:,由已知,可得:,6,Z=X+Y的分布律为:,7,二、(X,Y)为二维连续型随机变量,1.一般函数的分布,即Z的分布函数是(X,Y)落入区域 D: g(x,y)z的概率,FZ(z)=PZz,=Pg(X,Y)z,fZ(z)=FZ(z),8,设X和Y的联合密度为 f (x,y), 求Z=X+Y的密度.,解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域D=(x, y): x+y z 是直线x+y =z 左下方的半平面.,2. Z=X+Y型分布,9,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,10,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,11,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式 .,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度,12,例2 设X和Y是相互独立的随机变量,且 都服从标准正态分布N(0,1). 试求:Z=X+Y的概率密度,解:,FZ(z)=PZz=PX+Yz,13,令y=tx,则,14,令,15,则,可见，ZN(0, 2)分布,16,一般, X与Y相互独立,且 XN(1,12), YN(2,22) 则Z=X+Y仍然服从正态分布,且 ZN(1+2,12+22),还可推广: 有限个相互独立的正态随机 变量的线性组合仍然服从正态分布,17,例3 设X与Y相互独立,它们的概率密度 分别为:,试求: Z=X+Y的概率密度,解:,18,当z0时,当0z1时,FZ(z)=0,fZ(z)=0,=z1+ez,fZ(z)=FZ(z)=1ez,19,当z1时,综合,得:,=1+ez e1z,fZ(z)=FZ(z)=(e1)ez,20,设X和Y的联合密度为 f (x,y), 求Z=X/Y的密度.,解: Z=X/Y的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X/Y z),这里积分区域D=(x, y): x/y z 为阴影部分的面积.,3. Z=X/Y型分布,21,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=yu,得,x,y,22,交换积分次序,变量代换,23,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X/Y的概率密度为:,特别地，如果X和Y相互独立，则上式可写成：,24,例4 设X与Y相互独立,它们的概率密度分 别为:,求,的概率密度,解:,FZ(z)=PZz,25,当z0时,当z0时,FZ(z)=0,26,27,4. Z=maxX,Y或Z=minX,Y的分布,(1) Z=maxX,Y的分布函数:,FZ(z)=PZz,若X与Y相互独立,则FZ(z)=PXzPYz,=FX(z)FY(z),=PXz,Yz,28,(2) Z=minX,Y的分布函数:,FZ(z)=PZz,=1PZz,=1PXz,Yz,若X与Y相互独立,则 FZ(z)=1PXzPYz,=11PXz1PYz,=11FX(z)1FY(z),29,例5 对某种电子装置的输出测量了5次, 得到的观察值为X1, X2, X3, X4, X5,设它们 是相互独立的装置,且都服从同一分布,试求: Z=maxX1, X2, X3, X4, X54的概率,30,PZ4=1PZ4,=1FZ(4),由已知 ,有FZ(z)=F(z)5,则PZ4=1F(4)5,=1(1e2)5,解:,31,1.要理解二维随机变量的概念及其分布函 数的定义及性质,3.要理解二维随机变量的边缘分布以及与 联合分布的关系,2.会求二维离散型随机变量的分布律和二 维连续型随机变量的分布函数,4. 要理解随机变量的独立性,5.要会求二维随机变量的函数的分布及多 维随机变量的极值分布,小结,