2020版高中数学第四章导数应用阶段训练五北师大版.docx

阶段训练五(范围：§1§2)一、选择题1已知某商品生产成本c与产量q(0<q<200)的函数关系为c1004q，价格p与产量q的函数关系为p25q，利润Lf(q)，则f(80)的值为()A1B2C3D4答案A解析由题意知f(q)p×qc×q(1004q)q221q100(0<q<200)，f(q)q21，f(80)×80211.2设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)考点函数极值的应用题点函数极值在函数图像上的应用答案D解析由题图可知，当x<2时，f(x)>0；当2<x<1时，f(x)<0；当1<x<2时，f(x)<0；当x>2时，f(x)>0.由此可以得到函数在x2处取得极大值，在x2处取得极小值，故选D.3函数f(x)exsinx在区间上的值域为()A.B.C.D.考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案A解析f(x)ex(sinxcosx)，x，f(x)>0，则f(x)在上是增加的，f(x)minf(0)0，f(x)maxfe，函数f(x)exsinx在区间上的值域为.4函数f(x)x3x2xa在区间0,2上的最大值是3，则a的值为()A2B1C2D1答案B解析由题意得，f(x)3x22x1，令f(x)0，得x1或x(舍去)，又f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，所以f(x)的最大值为a23，故a1.5已知函数f(x)ax3bx21在x1处取得极大值3，则f(x)的极小值为()A1B0C1D2考点函数的极值与导数的关系题点含参数的函数求极值问题答案C解析由题意知f(1)ab13，即ab2.因为f(x)3ax22bx，f(1)0，所以3a2b0.由得a4，b6.所以f(x)12x212x0，解得x0或x1.易知在x0处f(x)取极小值1.故选C.6已知函数f(x)axlnx，若f(x)>1在区间(1，)内恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，1C(1，) D1，)答案D解析f(x)axlnx，f(x)>1在(1，)内恒成立，a>在(1，)内恒成立设g(x)，当x(1，)时，g(x)<0，即g(x)在(1，)上是减少的，g(x)<g(1)1，a1，即a的取值范围是1，)7在三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC2x，OAx，OBy，且xy3，则三棱锥OABC体积的最大值为()A4B8C.D.考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案C解析V×·y(0<x<3)，V2xx2x(2x)令V0，得x2或x0(舍去)所以当x2时，V取极大值且为最大值，最大值为.8.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0)要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为()A.B.C.dD.d答案C解析设断面高为h，则h2d2x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)k·xh2k·x(d2x2)，0<x<d.令f(x)k(d23x2)0，解得xd(舍去负值)当0<x<d时，f(x)>0，f(x)是增加的；当d<x<d时，f(x)<0，f(x)是减少的所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点xd，所以当xd时，f(x)有最大值二、填空题9若函数f(x)x3mx21(m0)在(0,2)内的极大值为最大值，则m的取值范围是_考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数答案(0,3)解析f(x)3x22mxx(3x2m)令f(x)0，得x0或x.x(0,2)，0<<2，0<m<3.10某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为_万元考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案45.6解析设甲地销售x辆，则乙地销售(15x)辆总利润L5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30(x0)令L0.3x3.060，得x10.2，当x10时，L有最大值45.6.11若存在正数x使2x(xa)<1成立，则a的取值范围是_考点函数最值的应用题点存在性问题答案(1，)解析因为2x(xa)<1，所以a>x.令f(x)x，所以f(x)12xln2>0，所以f(x)在(0，)上是增加的，所以f(x)>f(0)011，所以a的取值范围为(1，)三、解答题12已知函数f(x)x(xa)lnx，其中a为常数(1)当a1时，求f(x)的极值；(2)若f(x)是区间内的单调函数，求实数a的取值范围考点导数的综合应用题点导数的综合应用解(1)当a1时，f(x)2x1(x>0)，所以f(x)在区间(0,1)上是减少的，在(1，)上是增加的，于是f(x)有极小值f(1)0，无极大值(2)易知f(x)2xa在区间上是增加的，又由题意可得f(x)2xa0在上无解即f0或f(1)0，解得a1或a1，即a的取值范围为(，11，)13设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1，t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)1m对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m，h(t)<2tm对t(0,2)恒成立，也就是g(t)<0对t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m<0，m>1.故实数m的取值范围是(1，)14函数f(x)ax3ax22ax1的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案D解析f(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图像经过四个象限，则f(2)f(1)<0，即<0，解得a<或a>.15设函数f(x)x32ax23a2xb(0<a<1)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若当xa1，a2时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围；(3)当a时，关于x的方程f(x)0在区间1,3上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围解(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)令f(x)0，得xa或x3a.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)极小值极大值f(x)在(，a)和(3a，)上是减少的，在(a,3a)上是增加的当xa时，f(x)取得极小值，f(x)极小值f(a)ba3；当x3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值f(3a)b.(2)f(x)x24ax3a2，其对称轴为x2a.因为0<a<1，所以2a<a1.所以f(x)在区间a1，a2上是减少的当xa1时，f(x)取得最大值f(a1)2a1；当xa2时，f(x)取得最小值f(a2)4a4.于是有即a1.又因为0<a<1，所以a<1.(3)当a时，f(x)x3x2xb.f(x)x2x，由f(x)0，即x2x0，解得x1，x22，即f(x)在上是减少的，在上是增加的，在(2，)上是减少的要使f(x)0在1,3上恒有两个相异实根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有即解得0<b.