八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线线段垂直平分线的几种应用讲义北师大版.docx

线段垂直平分线的几种应用【名师点睛】线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系垂直，数量关系平分，利用垂直平分线的这些性质可以求线段的长度。角的度数等，还可以解决试剂生活中的选址等问题。类型1线段垂直平分线的性质在求线段中的应用1.如图，ABC中，AB.AC的垂直平分线交BC于点D. E，已知ADE的周长为12cm，则BC=_.解答：DF、EG分别是线段AB.AC的垂直平分线，AD=BD，AE=CE，AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，ADE的周长为12cm，即AD+DE+AE=12cm，BC=12cm.故答案为：12cm.2.如图，在ABC中，C=90°，A=15°，DE垂直平分AB于点E，交AC于点D.若BC=2cm，求AD的长. 解答：连接BD，DE垂直平分AB于点E，交AC于点D，AD=BD，A=ABD.A=15°，ABD=15°.在BDC中，BDC=A+ABD=15°+15°=30°.C=90°，BC=2cm，BD=2CD=4cm，AD=4cm.类型2线段垂直平分线的性质在求角中的应用3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知ADE=40°，则DBC=    °.解答：AB=AC，DE垂直平分AB，ADE=40°，ADE=EDB=40°，AE=BE，A=ABD=50°.AB=AC，ABC=ACB=12(180°-A)=65°，DBC=ABC-ABD=15°4.如图，在RtABC中，C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将CAB分成两个角1，2，且1:2=2:5，求ADC的度数.解答：设1=2x，则2=5x.DE是AB的垂直平分线，DA=DB，B=2=5x，ADC=B+2=10x.C=90°，ADC+1=90°，即10x+2x=90°，x=7.5°，ADC=10x=75°.5.已知：如图，在ABE中，AB，AE边上的垂直平分线m1，m2分别交BE于点C，D，且BC=CD=DE.（1）求证：ACD是等边三角形；（2）求BAE的度数.解答：（1）证明：m1，m2是AB.AE的垂直平分线，BC=AC，AD=DE.又BC=CD=DE，AC=CD=AD，ACD是等边三角形.（2）ACD是等边三角形，CAD=ACD=ADC=60°.BC=AC，AD=DE，ACD=2BAC，ADC=2EAD，BAC=EAD=30°，BAE=30°+30°+60°=120°.类型3线段垂直平分线的性质在实际中的应用6.如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？解答：如图，连接AB.BC，分别作AB.BC的垂直平分线DE.GF，两直线的交点M即为所求.类型4线段垂直平分线的判定在判断两线位置关系中的应用7.如图，AD为ABC的角平分线，AE=AF，请判断线段AD所在的直线是否是线段EF的垂直平分线.如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解答：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.理由如下：AD平分BAC，BAD=CAD.在AED和AFD中，AE=AF，BAD=CAD，AD=AD，AEDAFD，DE=DF，D在EF的垂直平分线上.AE=AF，A在EF的垂直平分线上，线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.类型7利用线段垂直平分线的性质探究角之间的变化规律8.如图，在ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交BC的延长线于M,A=40°.（1）在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，A=40°，求NMB的大小；（2）如果将（1）中的A的度数改为70°，其余条件不变，再求NMB的大小；（3）你发现了什么样的规律？试证明你发现的规律；（4）将（1）中的A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改？（不需说明理由）解答：（1）AB=AC，ABM=ACB.BAC=40°，ABM=ACB，ABM=×(180°-BAC)=70°.MNB=90°，ABM=70°，NMB=90°-ABM=90°-70°=20°.（2）与（1）同理可得B=×(180°-BAC)=55°，NMB=90°-55°=35°.（3）规律：NMB=A.理由如下：AB=AC，ABM=ACB.ABM=×(180°-A).ABM=×(180°-A)，BNM=90°，BMN=90°-ABM=A.（4）如果将A改为钝角，这个规律性的认识也无需修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所形成的锐角等于顶角的一半.类型8利用线段垂直平分线的判定证明线段的垂直平分线9.如图，四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD，CB=CD.（1）八年级王建同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线ACBE，垂足为E，并且BE=ED，你同意王建同学的判断吗？请说明理由；（2）设对角线AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积.解答：（1）王建同学的判断是正确的理由：AB=AD，点A在BD的垂直平分线上CB=CD，点C在BD的垂直平分线上AC为BD的垂直平分线，BE=DE，ACBD（2）由（1）得ACBDS四边形ABCD=SCBD+SABD=BD·CE+BD·AE=BD·AC=ab类型9利用线段垂直平分线的性质和判定探究线段垂直平分线的条件10.如图,在四边形ABCD中,已知ADBC，E为CD的中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：CF=AD；(2)若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上?为什么?解答：(1)证明：ADBC，F=DAE.又FEC=AED，ECF=ADE，E为CD中点，CE=DE，在FEC与AED中，FEC=AED，CE=DE，ECF=ADE，FECAED，CF=AD；(2)当BC=6时，点B在线段AF的垂直平分线上，其理由是：BC=6，AD=2，AB=8，AB=BC+AD，又CF=AD，BC+CF=BF，AB=BF，ABF是等腰三角形，点B在AF的垂直平分线上。