八年级数学下册第四章因式分解3公式法十字相乘法及分组分解法知识讲解及例题演练北师大版.docx
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八年级数学下册第四章因式分解3公式法十字相乘法及分组分解法知识讲解及例题演练北师大版.docx
十字相乘法及分组分解法【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数;实数系数;字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式,若存在 ,则要点诠释:(1)在对分解因式时,要先从常数项的正、负入手,若,则同号(若,则异号),然后依据一次项系数的正负再确定的符号(2)若中的为整数时,要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于,直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(0)中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把排列如下:按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即,那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即.要点诠释:(1)分解思路为“看两端,凑中间”(2)二次项系数一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式.要点诠释:分组分解法分解因式常用的思路有:方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项按字母分组按系数分组符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性,在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项,在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1.分解因式: 【答案与解析】解:原式 【总结升华】将视作常数,就以为主元十字相乘可解决.举一反三:【变式】分解因式:【答案】解:原式2.分解因式:【思路点拨】该题可以先将看作一个整体进行十字相乘法分解,接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解: 因为 所以:原式2 12 【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便,大家一定要熟练掌握.举一反三:【变式】分解因式:;【答案】解:原式 3.分解下列因式(1) (2)【答案与解析】 解:(1)令,则原式 (2)令,原式 【总结升华】此两道小题结构都非常有特点,欲分解都必须先拆开,再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式整体性想法.整体性思路又称换元法,这与我们生活中搬家有些类似,要先将一些碎东西找包,会省许多事.类型二、分组分解法4.分解因式: 【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学,一看见该式,首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成,第4.5项.【答案与解析】解:原式【总结升华】熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要;我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母,其实代数式学习是一个结构的学习,其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代,故有时要有一些整体性认识的想法.举一反三:【变式1】分解因式:(1)(2)(3)【答案】解:(1)原式;(2)原式;(3)原式.【变式2】分解因式:【答案】解:= =类型三、拆项或添项分解因式5.阅读理解:对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为(x+a)2的形式,但对于二次三项式x2+2ax8a2,就不能直接用公式法了我们可以在二次三项式x2+2ax8a2中先加上一项a2,使其成为完全平方式,再减去a2这项,使整个式子的值不变,于是又:x2+2ax8a2=x2+2ax8a2+a2a2=(x2+2ax+a2)8a2a2=(x+a)29a2=(x+a)+3a(x+a)3=(x+4a)(x2a)像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法(1)请认真阅读以上的添(拆)项法,并用上述方法将二次三项式:x2+2ax3a2分解因式(2)直接填空:请用上述的添项法将方程的x24xy+3y2=0化为(x )(x )=0并直接写出y与x的关系式(满足xy0,且xy)(3)先化简,再利用(2)中y与x的关系式求值【答案与解析】解:(1)x2+2ax3a2=x2+2ax+a24a2=(x+a)24a2=(x+a+2a)(x+a2a)=(x+3a)(xa);(2)x24xy+3y2=x24xy+4y2y2=(x2y)2y2=(x2y+y)(x2yy)=(xy)(x3y);x=y或x=3y;故答案为:y;3y(3)原式=,若x=y,原式=2;若x=3y,原式=【总结升华】此题考查了因式分解添(拆)项法,正确地添(拆)项是解本题的关键