《测量误差分布》PPT课件.ppt

第2章 测量误差分布,误差理论与数据处理,自动化工程学院 陈立军,主要内容,熟悉误差分布的基本概念、常见误差分布特征与处理方法,直方图的绘制 概率密度分布图 误差分布的特征值 常见的误差分布 常用的统计量分布 误差分布的统计检验,主 要 内 容,2.1 测量误差的统计特性 2.2 常见测量误差分布 2.3 常见的统计量分布 2.4 误差分布的分析与检验,1,2,3,4,2.1测量误差的统计特性,一、测量点列图,某钢球工件直径重复测量150次， 得到一个测量样本,单峰性：数据集中在7.335附近,有界性：数据分布在7.085至7.585之间,对称性：正负误差的数目大致相同；,抵偿性：误差的总和大致趋于零,（1）分组数=11，组距=0.05mm； （2）依次定各组的频数、频率和频率密度； （3）以数据为横坐标，频率密度为纵坐标，在横坐标上划出等分的子区间，划出各子区间的直方柱，即为所求统计直方图。,二、统计直方图,绘制统计直方图注意事项,（1）样本大小： 确定误差的分布范围时，取 n=50200 确定误差分布规律时，最好取n=2001000,()子区间个数、间距： 当n=50100时， 个数=610 当n=100200时，个数=912 当n=200500时，个数=1217 当n = 500以上时，个数=20,可用下列两个公式之一来计算分组数 或间距,或,把各直方柱顶部中点用直线连接起来，便得到一条由许多折线连接起来的曲线。当测量样本数n无限增加，分组间隔趋于零，图中直方图折线变成一条光滑的曲线，即测量总体的概率（分布）密度曲线，记为 。这就是用实验方法由样本得到的概率密度分布曲线。,7,7.1,7.2,7.3,7.4,7.5,7.6,0,5,10,15,20,25,三、概率密度（分布）图,（测量总体）,概率密度曲线 完好的描述了随机误差的统计规律。,概率密度函数的几何意义,置信区间,显著性水平（又称显著度或危险率）,置信概率（或置信水平），简记为符号,概率密度的性质,有两个性质,四、统计分布特征值,尽管误差分布反映了该误差的全貌，但在实际使用中更关心代表该误差分布的若干数字特征量。,数学期望,标准偏差,偏态系数,峰态系数,协方差,相关系数,数学期望（加权平均）,定义,一阶原点矩，它表示随机变量分布的位置特征。它与真值之差即为系统误差，如果系统误差可以忽略，则 就是被测量的真值,三条测量值分布曲线的精密度相同，但正确度不同。,数学期望代表了测量的最佳估计值，或相对真值的系统误差大小,标准偏差,二阶中心矩，称为X的标准（偏）差， ，的大小表征了随机误差的分散程度，即大部分分布在 范围内，可作为随机误差的评定尺度,定义,三条误差分布曲线的正确度相同，但精密度不同,标准差代表了该测量条件下的测量结果分散性的大小，或是该测量分布的随机误差大小,偏态系数,定义,三阶中心矩， 将 无量纲化， 称为偏态系数， 描述了测量总体及其误差分布的非对称程度,曲线具有正(右)偏态，曲线具有负(左)偏态,峰态系数,定义,表征了测量总体及其误差分布的峰凸程度。 是将 无量纲化，也称峰度，而 是按标准正态分布归零，即对于正态分布超越系数 视为零,较尖峭的分布有 ，较平坦的分布有,协方差,定义,式中,协方差 表示了两变量间的相关程度,相关系数,定义,表示了两个变量间线性相关的程度,越小，X，Y之间线性相关程度越小， 取值越大，X，Y之间线性相关程度越大,当 ， X与Y正相关，当 ，X与Y负相关,线性相关,正相关,负相关,线性不相关,数学期望,名称,定义,方差,几何意义,误差意义,偏态系数,峰态系数,协方差,位置特征,实际值正确度,弥散,分散性，精密度,不对称,误差分布不对称性,尖峭,误差分布尖峭程度,两误差关联程度,统计分布常用的特征值,2.2 常见测量误差分布,正态分布,标准偏差,均匀分布,三角分布,瑞利分布,反正弦分布,分布,几种常见的误差分布,一、正态分布,服从正态分布的条件,误差因素多而小，无一个占优，彼此相互独立（中心极限定理）。,一般认为，当影响测量的因素在15个以上，且相互独立，其影响程度相当，可以认为测量值服从正态分布；若要求不高，影响因素则应在5个（至少3个）以上，也可视为正态分布。,概率密度函数,正态分布的密度函数：,为测量总体的数学期望，如不计系统误差，则 即为随机误差,为测量总体的标准差，也是 随机误差的标准差,（1）单峰性：小误差出现的概率比大误差出现的概率大。 （2）对称性：正误差出现的概率与负误差出现的概率相等。 （3）抵偿性：随测量次数增加，算术平均值趋于零。,分布的误差特性,正态分布的这三个特点与误差大样本下的统计特性相符。但在理论上，正态分布无界，这也是正态分布与实际误差有界性不相符之处。,正态分布的置信概率,误差在分布区间 的置信概率,式中,68.26%,95.45%,99.73%,置信概率,正态积分函数，已制成正态积分表,置信因子,正态分布的某些k值的置信概率,3.3,3.0,2.58,2.0,1.96,1.645,1.0,0.6745,0.999,0.9973,0.99,0.954,0.95,0.90,0.683,0.5,0.001,0.0027,0.01,0.046,0.05,0.10,0.317,0.5,(1) 经典误差理论都是建立在正态分布的基础上。凡是有3、5个以上的、差不多微小的、独立影响的合成分布都趋近正态分布。这是被前人早已证明了的中心极限定理告诉我们的一个事实。,正态分布在误差理论和实践中的地位,(2) 许多非正态分布可以用正态分布来表示。,(3) 正态分布的概率密度函数具有简单的数学形式和优良的性质。,当然，也有不少的误差分布并不能简单地用正态分布来描述。因而，现代误差理论及其实践需要进一步研究非正态分布的问题。,二、均匀分布,若误差在某一范围中出现的概率相等，称其服从均匀分布，也称为等概率分布。,概率密度函数,数学期望,方差,标准方差,置信因子,o,-a,a,服从均匀分布的可能情形,(1) 数据截尾引起的舍入误差; (2) 数字显示末位的截断误差 (3) 瞄准误差; (4) 数字仪器的量化误差; (5) 齿轮回程所产生的误差以及基线尺滑轮摩擦引起的误差； (6) 多中心值不同的正态误差总和服从均匀分布。,三、三角分布,概率密度函数,数学期望,标准方差,当两个分布范围相等的均匀分布，其合成误差就是三角分布。,四、反正弦分布,概率密度函数,数学期望,标准方差,a,-a,o,服从反正弦分布的可能情形,度盘偏心引起的测角误差；,正弦（或余弦）振动引起的位移误差；,无线电中失配引起的误差。,五、瑞利分布,概率密度函数,数学期望,标准方差,服从瑞利分布的可能情形,偏心值,在非负值的单向误差中，由于偏心因素所引起的轴的径向跳动,刻度盘、圆光栅盘的最大分度误差,齿轮和分度盘的最大齿距累积误差,六、贝塔分布,概率密度函数,数学期望,标准方差,在给定分布界限 下通过参数 取不同值，贝塔分布可呈对称分布、非对称分布、单峰分布、递增或递减分布等，可逼近常见的正态、三角、均匀、反正弦、瑞利等各种典型分布。贝塔分布具有可逼近各种实际误差分布的多态性。,贝塔分布在理论上就是有界的。不像正态、瑞利等呈拖尾型分布，完全符合误差的基本特性即有界性。,贝塔分布的性质与密度函数图,常见分布的数字特征量,名称,正态分布,区间半宽度,标准差,期望,等价,均匀分布,三角分布,反正弦分布,瑞利分布,2.3 常见的统计量分布,本节介绍常用的统计量分布，包括t分布 F分布， 分布。,前边介绍主要是单个统计量分布，实际中要常用到变量间组合也就是函数的统计分布。,一、 分布,定义,若 为独立服从同分布 的随机误差，则,称服从为自由度为 的 分布 。,概率密度函数,数学期望,标准方差,二、t分布,定义,若随机误差 ，随机误差 ，且 和 相互独立，则,服从的分布称为自由度为 的t分布。,概率密度函数,数学期望,标准方差,o,当自由度足够大时，t分布趋近于正态分布。,t分布在误差理论和实践中的应用,t分布在研究正态小子样（测量次数较少时），是一个严密而有效的理论分布。,正态样本的算术平均值构成的如下统计量,服从自由度为 的t分布。,其测量算术平均值满足,t分布的临界值 ，满足,三、F分布,定义,若 ， ，则,称服从为自由度为 的F分布 。,概率密度函数,数学期望,标准方差,2.4 误差分布的分析与检验,本节介绍确定误差分布规律的几种方法，包括物理来源法，函数关系法以及图形判断法。最后介绍有关分布检验的知识，,包括正态分布统计检验（夏皮罗-威尔克检验、偏态系数和峰态系数检验）和一般分布检验（皮尔逊 检验）。,物理来源判断法,根据测量误差产生的来源，可以判断其属于何种类型,如其测量受到至少有三个以上独立的、微小而大小相近的因素的影响，则可认为它服从或接近正态分布。,测量值在某范围内各处出现的机会相等，则可认为它服从均匀分布。,一、误差分布的分析与判断,函数关系法,利用随机变量的函数关系，来判断误差属于何种分布。,若 与 都在-a，a内服从均匀分布，则 服从三角分布,若 与 都服从正态分布 ，则 服从偏心分布(瑞利分布),若 服从均匀分布，则 服从反正弦分布,图形判断法,对重复测量获得的样本数据绘出频率密度直方图，并与各种常见的概率密度分布曲线相比较，判断它与何种分布相接近。,统计检验的步骤,1、概念,事先对分布形式作出某种假设,然后利用样本信息来判断原假设是否成立,2、类型,正态分布统计检验,一般分布检验,夏皮罗-威尔克检验,偏态系数检验,峰态系数检验,皮尔逊检验,二、误差分布的统计检验,皮尔逊 检验( 且已知 ),1、提出原假设,总体 的分布函数 未知,某个已知的分布函数,2、计算统计量,总体中抽取出一个容量为 的样本,把整个数轴分成 个区间,频数，样本的观察值落在第 个区间的个数,由 计算出总体 在各区间内取值的概率,检验(续),3、在给定显著性水平 下，由分布表查得临界值 。,4、作出决策。,若 ，拒绝 ，则认为 。反之，,思路是当样本个数充分大时，频率和概率应当相差不会太大，如果超出某种限度，则假设就会推翻。,皮尔逊检验(分布中含有未知参数),1、提出原假设,总体 的分布函数 未知,某个已知形式的分布函数， 未知参数,2、计算统计量,总体中抽取出一个容量为 的样本,在 下利用样本给出 的极大似然估计,把整个数轴分成 个区间,频数，样本的观察值落在第 个区间的个数,由 计算出总体 在各区间内取值的概率,3、在给定显著性水平 下，由分布表查得临界值 。,4、作出决策。,若 ，拒绝,皮尔逊检验(续),【例2-1】,用阿贝比较仪测量某轴承直径 100次，依次测得 ， 的数据见下所列， 的单位0.1 。检验 是否服从正态分布。,0 -5 11 -10 17 -3 -13 6 4 7 1 -5 -6 -3 13 -1 -1 5 9 7 -3 9 -8 3 -2 -24 -30 -2 1 -2 4 2 -5 -13 1 -7 -1 0 -4 -7 0 7 17 5 10 0 -2 6 3 8 6 -3 -3 -10 0 5 2 -8 0 4 2 2 6 -11 5 2 7 -1 12 0 -19 10 -1 7 9 2 -5 14 -6 -5 8 3 8 -9 4 -5 -8 8 -8 4 -13 -9 -10 -10 2 13 2 -4 6 -7,计算步骤,【解】,检验,由于 中含有未知参数，故需先进行参数估计。在正态分布下， 和 的极大似然估计为,将 取值分成8组，然后计算概率,计算结果,频数,7,0.107,10.75,-3.75,1.31,15,0.160,16.01,-1.01,0.06,13,0.133,13.37,-0.37,0.08,9,0.098,9.87,-0.87,0.08,10,0.098,9.87,0.13,0,16,0.133,13.37,2.63,0.52,21,0.160,16.01,4.99,1.56,9,0.107,10.75,-1.75,0.28,100,3.82,结论,给定显著性水平 ，自由度8-2-1=5,由 分布表查得临界值,因为,所以，接受 ，故可认为这些测量服从正态分布,组数,未知数个数,夏皮罗威尔克检验,夏皮罗-威尔克检验又称W检验,时检验效果最佳，并且计算简便。,只能用于正态性检验,W检验的实施步骤,从总体中抽取出一个容量为 的样本,(1) 将样本的观测值按由小到大排列成为其次序统计量,(2) 计算检验统计量,(3) 查表。由夏皮罗-威尔克值表查出 ， 为给定的显著性水平；,(4) 判断。若 ，则拒绝正态性假设,夏皮罗威尔克,当 n为偶数时取n/2，当n奇数时取（n1）/2,【例2-2】,用夏皮罗-威尔克法检验该组数据是否来自正态分布。,将某量独立测得结果按从小到大排列成（n=10）,108，109，110，110，110，112，112，116，119，124,【解】,查夏皮罗-威尔克系数 表得出,计算结果,计算,给定显著性水平 ，查表得,因为， ，故拒绝正态性假设,偏态系数检验,(1) 给出备择假设 （正偏）或 （负偏）,(2) 计算检验统计量,(3) 查表。 根据显著性水平 和样本容量 ，由偏态统计量的分位数表查出,(4) 判断。当备择假设为 时，若 ，则拒绝正态性假设；当备择假设为 时，若 ，则拒绝正态性假设,【例2-3】,有下列一组测量数据，确定这批数据是否来自正态分布,-0.40 -1.80 -2.14 0.40 -1.40 0.67 -1.40 -1.51 1.40 -1.40 -1.38 -1.40 1.20 -2.14 -0.60 -2.33 1.24 -0.40 -0.32 -0.22 -1.60 -1.40 -0.51 -0.20 -1.40 -1.72 -1.60 -1.20 -1.80 1.20 -1.40 -0.80 -1.72 -0.71 -1.40 -1.20 -1.91 -0.69 -1.60 -1.39 -2.20 -1.40 -0.40 0.40 -1.80 -1.80 -1.60 0 -1.95 1.20,计算结果,计算统计量,由,得,因此, 选择备择假设,给定显著性水平 ，当n=50时，查表得,因为， ，故拒绝正态性假设,峰态系数检验,(1) 给出备择假设 （正偏）或 （负偏）,(2) 计算检验统计量,(3) 查表。 根据显著性水平 和样本容量 ，由峰态统计量的分位数表查出 或,(4) 判断。当备择假设为 时，若 ，则拒绝正态性假设；当备择假设为 时，若 ，则拒绝正态性假设,【例2-4】,利用某测量仪器进行40次测量，测得与理论值的如下一系列偏差数据, 确定这批数据是否来自正态分布,0.038 0.240 0.124 0.054 -0.061 -0.004 -0.004 -0.006 0.007 0.001 0.061 0.043 0.035 0.163 -0.008 -0.010 0.006 -0.008 -0.024 0.007 0.028 0.108 0.155 -0.159 -0.032 0.003 -0.007 -0.018 -0.008 -0.011 0.060 0.067 -0.025 -0.096 -0.223 0.004 -0.007 -0.007 -0.010 0.014,计算结果,计算统计量,由,得,因此, 选择备择假设,给定显著性水平 ，当n=40时，查表得,因为， ，故拒绝正态性假设,思考与练习题,Question?,