2.6函数与集合.doc

2.6 二次函数决 策 指 导 高效精讲知识备考二次函数的解析式（1）一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0)；（2）顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a0);(3)双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或双根式中的一种来求.（1）已知三个点的坐标时，宜用一般式；（2）已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式；（3）若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用双根式求f(x)更方便.二次函数的图象与性质二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为（1）当a0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当（2）当a0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在-上递减；当(3)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，当=b2-4ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|=|x1-x2|=二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它们只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得.二次函数在闭区间上的最值讨论：当a0时，f(x)在区间p,q上的最大值为M，最小值为m,令 一元二次方程根的讨论一元二次方程的根常有以下几种可能，设实系数一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0). (3)方程有一正根一负根ac0.注意 （3）中没有0，因为ac0=b2-4ac0.（4）设f(x)=ax2+bx+c，二次方程ax2+bx+c=0(a0)的区间根问题，一般情况下需要从三个方面考虑：判别式；区间端点函数值的正负；对称轴与区间端点的关系设、是实系数二次方程（）的两实根，则、的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示续表考 点 精 练 自主探究基础备考1.若f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-3,1)上( )A.单调递增 B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f(x)为偶函数，m=0，即f(x)=-x2+3,f(x)在(-3,1)上先增后减.答案：C2.函数f(x)=4x2-mx+5在区间-2,+)上是增函数，则f(1)的取值范围是( )A.f(1)25B.f(1)=25C.f(1)25D.f(1)25解析：由题意，得对称轴方程x=-2，m-16.f(1)=9-m25.答案：A3.设b0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为图中之一：则a的值为（ ）A.1B.-1C.D. 解析：b0,不是前两个图形（前两个图形中b=0）.从后两个图形看-0,a0,故应是第3个图形.过原点，a2-1=0.结合a0,a=-1.答案：B4.关于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大，另一根比1小，则有( )A.-1a2 B.a-2或a1C.-2a1 D.a-1或a2解析：令f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2),由题意应有f(1)0,解得-2a1.答案：C5.函数f(x)=2x2-6x+1在区间-1，1上的最小值是_，最大值是_.答案：-3 9易 错 指 津 自我完善误区备考易错点一 “三个二次”关系不能相互转化致误自我诊断不等式f(x)=ax2-x-c0的解集为x|-2x1，则函数y=f(-x)的图象为( )解析：由“三个二次”之间的关系知-2，1是方程ax2-x-c=0的两根，f(-x)=-x2+x+2，令f(-x)=0,得x=-1或x=2，且f(-x)的图象是开口向下的抛物线.答案：D易错点二条件考虑不全导致解题失误自我诊断若二次方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负根，则实数m的取值范围是_.解析：方法一：设二次方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负根为x1,x2，根据题意，由韦达定理可得故当时，原方程有两个负根方法二：数形结合，考虑二次函数（）的图象二次方程有两个负根就等价于答案：题 型 技 法 互动探究方法备考题型一 求二次函数的解析式【例1】已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1+x)=f(1-x)，直线g(x)=4(x-1)被f(x)的图象截得的弦长为4，求函数f(x)的解析式.解析：设f(x)=a(x-1)2(a0).由韦达定理:由弦长公式得，规律方法：求二次函数解析式一般采用待定系数法.创新预测1已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.解析：方法一：利用二次函数一般式.设f(x)=ax2+bx+c(a0).所求二次函数为y=-4x2+4x+7.方法二：利用二次函数顶点式.设f(x)=a(x-m)2+n（a0）.f(2)=f(-1),抛物线对称轴为又根据题意有最大值为n=8,方法三：利用二次函数两根式。由已知（）的两根为，故可设（）（）（）（），即（） 又函数有最大值解得或（舍）所求函数解析式为（）题型二 二次函数在闭区间上的最值 【例】已知函数（）2在时有最大值，求的值解析：当对称轴时，如图所示，当时，有最大值，（），即，且满足，当0a1时，如图所示，当x=a时，y有最大值，ymax=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,a2-a+1=2，解得a=.0a1,a=（舍去）.当a1时，如图所示，当x=1时，y有最大值，ymax=f(1)=2a-a=2,a=2，且满足a1,a=2.综上可知：a的值为-1或2.规律方法：本题是抛物线开口方向向下，只求最大值，所以分3种情况讨论.当抛物线开口方向向上，求最大值时，只需分2种情况讨论；求最小值时，也得分3种情况，尤其是当x有限制条件，最大值和最小值都要求时，需分4种情况讨论.另外本题属于二次函数“轴变区间定”的问题，应对对称轴进行讨论.创新预测2已知函数f(x)=x2+2ax+2，x-5,5.(1)当a=-1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间-5,5上是单调函数.解析：(1)当a=-1时，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x-5，5.x=1时，f(x)的最小值为1.x=-5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2图象的对称轴为x=-a.f(x)在区间-5,5上是单调函数，-a-5或-a5，故a的取值范围是(-,-55,+).题型三 二次方程实根的分布问题【例3】方程x2-2ax+4=0的两根均大于1，求实数a的取值范围.解析：方法一：设f(x)=x2-2ax+4，由于方程x2-2ax+4=0的两根均大于1.因此，根据二次函数图象应满足：解得2a.故a的取值范围是2, ).方法二：运用韦达定理.设x1,x2为方程x2-2ax+4=0的两根，则有x1+x2=2a,x1x2=4.(*)要使方程x2-2ax+4=0的两根x1,x2均大于1，则需满足将(*)代入上述不等式组中，解得2a.故a的取值范围是2, ).方法三：运用求根公式.方程x2-2ax+4=0的两根为要使两根均大于1，只需小根a-1即可，解得2a.故a的取值范围是2, ).规律方法：比较三种方法，方法一、二计算较简单，方法三易入手，但计算量太大；另外方法一从二次函数的对称轴、判别式及区间端点函数值入手较简捷.创新预测3 已知两点P(0,1)和Q(1,0)，若二次函数y=x2+ax+3的图象与线段PQ有交点，求实数a的取值范围.解析：知P(0,1)、Q（1，0），线段PQ:x+y=1(0x1).线段PQ与y=x2+ax+3的图象有交点，方程组有实数解.方程x2+(a+1)x+2=0有实根x1、x2,且x1、x20,1，x1x2=2.令g(x)=x2+(a+1)x+2,则g(0)=2,方程x2+(a+1)x+2=0的两实根0x11,x21，所以g(1)0.即12+（a+1）1+20,a-4，故实数a的取值范围是（-,-4）.题型四 二次函数的综合应用【例4】（2009北京海淀测试题）设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根、，且.定义函数f(x)=（）求（）（）的值；（）判断（）在区间（，）上的单调性，并加以证明 解析：（1）、是方程x2-mx-1=0的两个实根，当x(,)时，x2-mx-1=(x-)(x-)0,f(x)0,f(x)在(,)上为增函数.创新预测4 已知二次函数f(x)对任意xR都有f(1-x)=f(1+x)成立，设向量a=(sinx,2),b=(2sinx,) 解析：设f(x)的二次项系数为m，其图象上两点为A（1-x,y1）,B(1+x,y2).f(x)关于直线x=1对称，若m0，则当x1时f(x)为增函数；若m0，则当x1时f(x)为减函数.ab=2sin2x+11,cd=cos2x+21,当m0时，f(ab)f(cd)f(2sin2x+1)f(cos2x+2),精 品 作 业 自我测评技能备考一、选择题：每小题6分，共36分.1.（2008江苏南京一模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过第一、二、四象限，则直线y=ax+b不经过第( )A.一象限 B.二象限C.三象限 D.四象限答案：B解析：由题意知故选B.2.（2008福建福州3月质检）已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是( )A.a2或a3B.2a3C.a-3或a-2D.-3a-2答案：A解析：由于二次函数的图象开口向上，对称轴为x=a，若使其在区间(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a2或a3.故答案为A.3.（2008山东烟台4月模拟）方程|x2-2x|=a2+1(aR+)的解的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案：B解析：aR+,a2+11.而y=|x2-2x|的图象如图，y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.方程有两个解.4.若函数f(x)=(m-1)x2+(m2-1)x+1是偶函数，则在区间(-,0上，f(x)是( )A.增函数B.减函数C.常数函数D.可能是增函数，也可能是常数函数答案：D解析：f(x)=(m-1)x2+(m2-1)x+1是偶函数，f(-x)=f(x)m=1.当m=1时，f(x)=1,f(x)为常数函数.当m=-1时，f(x)=-2x2+1,在(-,0上为增函数.5.已知函数f(x)=x2-4x,x1,5，则函数f(x)的值域是( )A.-4,+)B.-3，5C.-4，5D.（-4，5答案：C解析：函数f(x)=x2-4x图象的对称轴的方程为x=2,函数f(x)=x2-4x,x1,5的最小值为f(2)=-4,最大值为f(5)=5，其值域为-4,5.6.（2008福建福州4月模拟）“a=1”是“函数f(x)=x2-2ax+3在区间1，+)上为增函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置.若函数f(x)=x2-2ax+3在区间1，+)上为增函数，则有对称轴x=a1,故“a=1”是“函数f(x)=x2-2ax+3在区间1，+)上为增函数”的充分不必要条件.二、填空题：每小题6分，共18分.7.（2007山东）当x(1,2)时，不等式x2+mx+40恒成立，则m的取值范围是_.答案：(-,-5解析：方法一：x2+mx+40在(1,2)上恒成立，即m-(x+)对x(1,2)恒成立.令y=x+，则其在(1,2)上是减函数,4y5，即-5-(x+)-4.m-5.方法二：令f(x)=x2+mx+4,如图所示，只需解得m-5.该方法体现了二次函数图象的优越性.注意到纵截距为4，减少分类讨论.前者为分离变量法，后者为数形结合法.两种方法都是研究参数问题的常用方法.8.（2009吉林实验中学一模）函数y=x+2在区间0，4上的最大值M与最小值N的和M+N=_.答案：8解析：令t=0,2，y=t2+2t=t(t+2)，在t0,2上递增.当t=0时，N=0，当t=2时，M=8.M+N=8.9.（2008江苏徐州三模）已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)，对于任意x2，当x0时，恒有f(x+x)f(x)，则实数a的取值范围是_.答案：-4a4解析：当x0时，恒有f(x+x)f(x)，则当x2时，f(x)为增函数.二次函数g(x)=x2-ax+3a图象的对称轴2.a4.又g(x)0在2，+)上恒成立，g(x)min=g(2)0.a-4.综上，-4a4.三、解答题：10、11题每题15分，12题16分，共46分.10.（2009山东省实验中学第一次诊断）已知对于任意实数x，二次函数f(x)=x2-4ax+2a+12(aR)的值都是非负的，求函数g(a)=(a+1)(|a-1|+2)的值域.解析：由条件知0，即(-4a)2-4(2a+12)0,-a2.当-a1时，g(a)=(a+1)(-a+3)=-a2+2a+3=-(a-1)2+4,由二次函数图象可知，-g(a)4.当1a2时，g(a)=(a+1)2,当a=1时，g(a)min=4，当a=2时，g(a)max=9，4g(a)9.综上所述，g(a)的值域为-，9.11.（2009浙江金丽衢第一学期期末联考）已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0,bR，cR).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,求F(2)+F(-2)的值；(2)若a=1，c=0,且|f(x)|1在区间(0,1恒成立，试求b的取值范围.解析：(1)由已知c=1,a-b+c=0，且- =-1,解得a=1,b=2.f(x)=(x+1)2.F(2)+F(-2)=(2+1)2+-(-2+1)2=8.(2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1x2+bx1在(0,1上恒成立，即b-x且b-x在(0,1上恒成立.又-x的最小值为0,-x的最大值为-2，-2b0.12.（2009吉林长春一模）设f(x)=ax2+bx+c，若6a+2b+c=0，f(1)f(3)0.(1)若a=1，求f(2)的值；(2)求证：方程f(x)=0必有两个不等实根x1、x2,且3x1+x25.解析：(1)6a+2b+c=0,a=1,f(2)=4a+2b+c=-2a=-2.(2)首先说明a0,f(1)f(3)=(a+b+c)(9a+3b+c)=-(5a+b)(3a+b)0,若a=0，则f(1)f(3)=-b20，与已知矛盾，a0,其次说明二次方程f(x)=0必有两个不等实根x1、x2,f(2)=4a+2b+c=-2a,若a0，二次函数f(x)=ax2+bx+c图象开口向上，而此时f(2)0.若a0，二次函数f(x)=ax2+bx+c图象开口向下，而此时f(2)0.故二次函数图象必与x轴有两个不同的交点,二次方程f(x)=0必有两个不等实根x1、x2.（或利用=b2-4ac=b2+4a(6a+2b)=b2+8ab+24a2=(b+4a)2+8a20来说明）a0,将不等式-(5a+b)(3a+b)0两边同除以-a2得(+3)( +5)0,-5-3.3x1+x2=-5.