集合与函数复习

1 1 1 集合的含义与表示集合的含义与表示 一 集合的有关概念 一 集合的有关概念 1 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的 不同的东西的全体 人们能意识到 这些东西 并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体 2 一般地 研究对象统称为元素 element 一些元素组成的总体叫集合 set 也 简称集 3 关于集合的元素的特征 1 确定性 设 A 是一个给定的集合 x 是某一个具体对象 则或者是 A 的元 素 或者不是 A 的元素 两种情况必有一种且只有一种成立 2 互异性 一个给定集合中的元素 指属于这个集合的互不相同的个体 对 象 因此 同一集合中不应重复出现同一元素 3 集合相等 构成两个集合的元素完全一样 4 元素与集合的关系 1 如果 A 是集合 A 的元素 就说 A 属于 belong to A 记作 A A 2 如果 A 不是集合 A 的元素 就说 A 不属于 not belong to A 记作 AA 5 常用数集及其记法 非负整数集 或自然数集 记作 N 正整数集 记作 N 或 N 整数集 记作 Z 有理数集 记作 Q 实数集 记作 R 二 集合的表示方法 二 集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合 但这将给我们带来很多不便 除此之外还 常用列举法和描述法来表示集合 1 列举法 把集合中的元素一一列举出来 写在大括号内 2 描述法 把集合中的元素的公共属性描述出来 写在大括号 内 具体方法 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 或变化 范 围 再画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 强调 描述法表示集合应注意集合的代表元素 x y y x2 3x 2 与 y y x2 3x 2 不同 只要不引起误解 集合的代表元素也可省略 例如 整数 即代表整数集 Z 辨析 辨析 这里的 已包含 所有 的意思 所以不必写 全体整数 下列写法 实数集 R 也 是错误的 说明 说明 列举法与描述法各有优点 应该根据具体问题确定采用哪种表示法 要注意 一般集合中元素较多或有无限个元素时 不宜采用列举法 选择合适的表示法表示下列集合 1 方程 的所有实数根组成的集合 或 注 是错误的 2 2 2 xx2 2 21 xxx 2 一次函数 与二次函数 的图像交点组成的集合 或者 1 2 xy xy 2 xx 0 x 所以图像交点组成的集合是 0 0 1 1 1 10 0 yxyx 02 2 x xy 2 xy 3 不等式 2x 1 7 的整数解 原不等式的整数解为 362172xxx3 xZx 4 平面直角坐标系内第一 三象限的角平分线上的所有点 第一 三象限的角平分线即这条直线 所以点的集合为 xy xyyx 了解符号语言与图像语言的关系 如 P PA PB P PA 3 表示的意义 1 1 2集合间的基本关系集合间的基本关系 一一一集合与集合之间的集合与集合之间的 包含包含 关系 关系 子集 子集 一般的 对于两个集合 A B 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素 我们 说这两个集合有包含关系 称集合 A 是集合 B 的子集 记作 ABBA 或 读作 A 包含于 B 或 B 包含 A 当集合 A 不包含于集合 B 时 记作 A B 表示 用 Venn 图表示两个集合间的 包含 关系 二 集合与集合之间的 二 集合与集合之间的 相等相等 关系关系 则中的元素是一样的 因此ABBA 且BA BA 即 AB BA BA 性质 任何一个集合是它本身的子集任何一个集合是它本身的子集 AA 化简集合 A x x 3 3 B x x5 并表示 A B 的关系 三 真子集的概念 三 真子集的概念 若集合 存在元素 则称集合 A 是集合 B 的真子集BA AxBx 且 记作 A B 或 B A 读作 A 真包含于 B 或 B 真包含 A 例 A x x 2m 1 m Z B x x 2n 1 n Z A B 思考 思考 如果上述两个集合中 m n 的数域范围是 N 那么 A 与 B 的关系又是如何 观察 A 正方形 A 矩形 A 平行四边形 性质 性质 传递性 且 则BA CB CA 子集个数问题 子集个数问题 如果一个元素含有 n 个元素 那么它的子集是个 真子集是 1 个 n 2 n 2 非空真子集是 2 个 n 2 例 写出集合 a b 的所有的子集 并指出其中哪些是它的真子集 四 空集的概念 四 空集的概念 方程 x2 1 0 在 R 内无解 也就是说 方程的实数根组成的集合中没有元素 不含有任何元素的集合称为空集 记作 规定 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 规定 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 A 对于任何一个给出的集合 都有两个已经确定的子集 对还是错 B A 五 区分 五 区分 与 a 与 a 0 0 0 是一个具体的数而不是集合 而 0 表示含有一个元素 0 的集合 故有 0 0 表示 空集 不含任何元素 而 表示以一个空集为元素的集合 故有 例 已知非空集合 P 满足 P 1 2 3 4 5 若 a P 则 6 a P 符合上述 要求的集合 P 的个数是 7 个 1 1 3集合间的基本关系集合间的基本关系 1 并集并集 一般地 由所有所有属于集合 A 或或属于集合 B 的元素所组成的集合 称为集合 A 与 B 的并集 并集 记作 A B 读作 A 并 B A B x x A 或或 x B Venn 图表示 说明 两个集合求并集 结果还是一个集合 是由集合 A 与 B 的所有元素组成的一个 新的集合 重复元素只看成一个元素 说明 连续的 用不等式表示的 实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示 问题 问题 在上图中我们除了研究集合 A 与 B 的并集外 它们的公共部分 即问号部分 还应是我们所关心的 我们称其为集合 A 与 B 的交集 2 交集 一般地 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合 叫做集合 A 与 B 的交集交集 记作 A B读作 A 交 B 即 A B x A 且且 x B 交集的 Venn 图表示 说明 两个集合求交集 结果还是一个集合 是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合 例 若集合 P y y x2 6x 10 M y y x2 2x 8 则 P M 集合 A x B x 且满足 A B 则 a 的取值范围是42 xax 3 补集 全集 全集 一般地 如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素 那么就称这 个集合为全集 通常记作 U 补集 补集 对于全集 U 的一个子集 A 由 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称 为集合 A 相对于全集 U 的补集 记作 CUA 即 CUA x x U 且 x A A B A A A U U C CU UA A 补集的 Venn 图表示 说明 补集的概念必须要有全集的限制说明 补集的概念必须要有全集的限制 4 求集合的并 交 补是集合间的基本运算 运算结果仍然还是集合 区分交集与并集 的关键是 且 与 或 在处理有关交集与并集的问题时 常常从这两个字眼出发去 揭示 挖掘题设条件 结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达 增强数形结合的思 想方法 5 集合基本运算的一些结论 A BA A BB A A A A A B B A AA B BA B A A A A A A B B A CUA A U CUA A 若 A B A 则 AB 反之也成立 若 A B B 则 AB 反之也成立 若 x A B 则 x A 且 x B 若 x A B 则 x A 或 x B 1 设 A 奇数 B 偶数 则 A Z A B Z B A B 2 设 A 奇数 B 偶数 则 A Z Z B Z Z A B Z 2 5 0 31 24 4 2 1 2 3 CBACBA xxxCxxBxxA BAZ m mBZ n nA 那么 或 集合 则 集合 1 已知 X x x2 px q 0 p2 4q 0 A 1 3 5 7 9 B 1 4 7 10 且 试求 p q XBX AX 提示 X 是 B 的子集 且 X 中的元素不在 A 中XBX AX 2 集合 A x x2 px 2 0 B x x2 x q 0 若 AB 2 0 1 求 p q 提示 A 中判别式 0 即 A 中定有两个元素 A 2 21 x x 21 xx 3 A 2 3 a2 4a 2 B 0 7 a2 4a 2 2 a 且 AB 3 7 求 B 1 2 1函数的概念函数的概念 一 函数的有关概念 1 函数的概念 设 A B 是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一个 数 x 在集合 B 中都有唯一唯一确定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作 y f x x A 其中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域值域 注意 注意 y f x 是函数符号 可以用任意的字母表示 如 y g x 1 函数符号 y f x 中的 f x 表示与 x 对应的函数值 一个数 而不是 f 乘 x 2 2 构成函数的三要素 定义域 对应关系和值域 一次函数 二次函数 反比例函数的定义域和值域 求函数定义域定义域的基本方法 1 分式中分母不能为 0 2 偶次根式的被开方式不小于 0 3 f x 0中的底 f x 不能为 0 4 如果 f x 是由 n 个部分构成的 那么函数的定义域是使每部分的式子都有意义的 实数的集合 例 1 2 2 xxy 12 xxx或者 注 一元二次不等式用穿针引线法 例 2 1 1 11 2 xxy 例 3 1 3 xx x y 例 4 已知函数 的定义域 求的定义域是 23 4 2 xfxf 例 5 的定义域 求的定义域是 23 4 2 12 xfxf 求函数值域值域的基本方法 1 观察法 可运用于形如的函数 bax dcx y 例 1 1 13 x x y 1 4 3 1 4 1 3 xx x 可取 0 以外的任何实数 所以 y 能取 3 以外的任何实数 1 4 x 2 反表示法 就是用 y 来表示 x 或者 x2 例 2 且 2 1 2 2 x x y0 1 12 2 y y x1 y 所以值域为 1 2 1 yy 注意 一般来说 反表示后 若得到 x f y 则 f y 的分母不等于 0 若得到 x2 f y 则 f y 0 练 例 1 用反表示法 例 2 用观察法 3 判别式法 适用于形如 的函数 cbxax cxbxa y cbxax dx y 2 2 2 1 Rx 例 322 1 2 2 xx xx y 解 由已知得 0 13 12 12 2 yxyxy 若 则 代入上式 左边0 矛盾 012 y 2 1 y 2 1 y 则012 yRx 0 13 12 4 12 2 yyy x 解得 即函数的值域是 y 2 1 10 3 y 2 1 10 3 y 练 1 322 2 2 xx xx y 4 二次函数法 配方法 例 若实数 x y 满足 求的值域xyx44 22 22 yxS 3 1 3 2 4 3 4 4 40 04 044 2 2 2222 22 x xx xyxSxxx xxy 于是即 函数应该是取之间的部分 在该区间上是 4 x 3 2 y 0 40 x 单调递增的 当 16 0 max 4Sx时 min 0Sx时 160 S 5 换元法 例 函数23418123 22 xxxxy 令 x 的范围是 0 4 23418 4 3 22 xxxxy 2 4xxt 的范围是 0 4 所以 t 的范围是 0 2 2 4xx 则23183 2 tty4 3 3 2 t 再结合函数图像计算函数的值域 3 区间的概念 1 区间的分类 开区间 闭区间 半开半闭区间 2 无穷区间 3 区间的数轴表示 1 3 1函数的单调性函数的单调性 一 函数单调性定义 1 增函数 一般地 设函数 y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个 自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是增 减 函 数 注意 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 1 增 是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 总有 f x1 f x2 2 2 函数的单调性定义 如果函数 y f x 在某个区间上是增函数或是减函数 那么就说函数 y f x 在这一 区间具有 严格的 单调性 区间 D 叫做 y f x 的单调区间 3 判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f x 在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤 取 x1 x2 D 且 x10 的解集 函数最大 小 值定义 一般地 设函数 y f x 的定义域为 I 如果存在实数 M 满足 1 对于任意的 x I 都有 f x M 2 存在 x0 I 使得 f x0 M 那么 称 M 是函数 y f x 的最大值 注意 函数最大 小 首先应该是某一个函数值 即存在 x0 I 使得 f x0 M 1 函数最大 小 应该是所有函数值中最大 小 的 即对于任意的 x I 都有 f x 2 M f x M 2 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值的方法 利用二次函数的性质 配方法 求函数的最大 小 值 1 利用图象求函数的最大 小 值 2 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值 3 如果函数 y f x 在区间 a b 上单调递增 在区间 b c 上单调递减则函数 y f x 在 x b 处有最大值 f b 如果函数 y f x 在区间 a b 上单调递减 在区间 b c 上单调递增则函数 y f x 在 x b 处有最小值 f b 例 1 教材 P36例 3 利用二次函数的性质确定函数的最大 小 值 说明 对于具有实际背景的问题 首先要仔细审清题意 适当设出变量 建立适当的 函数模型 然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大 小 值 练 如图 把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料 如果矩形一边长为 x 面积为 y 试将 y 表示成 x 的函数 并画出 函数的大致图象 并判断怎样锯 才能使得截面面积最大 1 3 2函数的奇偶性函数的奇偶性 一 函数的奇偶性定义 25 1 偶函数 一般地 对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 f x 就叫做偶函 数 2 奇函数 一般地 对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 f x 就叫做奇函 数 注意 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 1 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 对于定义域内的任 2 意一个 x 则 x 也一定是定义域内的一个自变量 即定义域关于原点对称 二 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称 奇函数的图象关于原点对称 三 判断函数奇偶性的步骤 1 确定函数的定义域 并判断其定义域是否关于原点对称 2 确定 f x 与 f x 的关系 3 作出相应结论 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是偶函数 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是奇函数 说明 说明 函数具有奇偶性的一个必要条件是 定义域关于原点对称 所以判断函数的奇偶性 应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称 若不是即可断定函数是非奇非偶函数 例 判断下列函数的奇偶性 1 1 22 2 x xx xf 2 xxxf2 3 3 axf Rx 4 1 1 xx xx xf 0 0 x x 函数的奇偶性与单调性的关系函数的奇偶性与单调性的关系 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致 例 已知 f x 是奇函数 在 0 上是增函数 证明 f x 在 0 上也是增函数 已知是定义在 R 上的函数 xf 设 2 xfxf xg 2 xfxf xh 试判断的奇偶性 1 xhxg与 试判断的关系 2 xfxhxg与 由此你能猜想得出什么样的结论 并说明理由 3